2025届高考数学一轮总复习单元质检卷一集合常用逻辑用语与不等式

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这是一份2025届高考数学一轮总复习单元质检卷一集合常用逻辑用语与不等式，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合A={x|x≥2},B={x|x2-2x<3},则(∁RA)∩B=( )
A.{x|2≤x<3}
B.{x|-1C.{x|2D.{x|-12.(2023贵州贵阳模拟)已知命题p:∀n∈N,2n-2不是素数,则?p为( )
A.∃n∉N,2n-2是素数
B.∀n∈N,2n-2是素数
C.∀n∉N,2n-2是素数
D.∃n∈N,2n-2是素数
3.已知不等式>0的解集为(-2,a),则实数a的值是( )
A.-1B.-
C.1D.±1
4.已知函数f(x)=2x+2-x-a则“a<1”是“f(x)>0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.(2023广西南宁二模)某单位为提升服务质量,花费3万元购进了一套先进设备,该设备每年管理费用为0.1万元,已知使用x年的维修总费用为万元,则该设备年平均费用最少时的年限为( )
A.7B.8
C.9D.10
6.某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税,税率为R%(即每销售100元征税R元),若年销售量为30-R万件,要使附加税不少于128万元,则R的取值范围是( )
A.[4,8]
B.[6,10]
C.[4%,8%]
D.[6%,100%]
7.已知关于x的不等式mx2-6x+3m<0在区间(0,2]上有解,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,)B.-∞,
C.(,+∞)D.,+∞
8.已知a,b,c是正实数,且不等式a2+b2+c2+mb(a+c)≥0恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,-]
B.[-,+∞)
C.[,+∞)
D.(-∞,]
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.(2023湖南张家界二模)下列命题正确的是( )
A.若a>b,则ac2>bc2
B.若a>|b|,则a2>b2
C.若a>b,则a3>b3
D.若|a|>b,则a2>b2
10.(2023山东济宁二模)已知m>0,n>0,且m+n=2mn,则下列结论中正确的是( )
A.mn≥1
B.m+n≤
C.m2+n2≥2
D.2m+n≥3+2
11.已知命题p:x2+3x-4<0,q:2ax-1<0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的值可以是( )
A.-B.1
C.D.0
12.已知a>0,b>0,alg42+blg16,则下列结论正确的是( )
A.4a+b=5
B.4a+b=
C.ab的最大值为
D.的最小值为
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(2023广东佛山一中一模)若两个正实数x,y满足4x+y-xy=0,且不等式xy≥m2-6m恒成立,则实数m的取值范围是 .
14.函数f(x)=9x+31-2x的最小值是 .
15.若不等式ax2+bx+c≤0的解集为R,则的最大值为 .
16.已知f(x)=若关于x的不等式f(x+a)>f(2a-x2)在区间[a-1,a+1]上恒成立,则实数a的取值范围是 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)设全集是R,集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|1-a(1)若a=1,求(∁RA)∩B;
(2)问题:已知 ,求实数a的取值范围.
从下面给出的三个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并进行解答.
①A∩B=B;②A∪B=R;③A∩B=⌀.
18.(12分)已知命题p:∃x∈R,x2+2ax-8-6a=0,命题q:∀x∈[1,2],x2-ln x+k-a≥0.
(1)若当k=0时,命题p和q都是真命题,求实数a的取值范围;
(2)若“命题q为真命题”是“命题p为假命题”的必要不充分条件,求实数k的取值范围.
19.(12分)已知f(x)=ax2+(a2-3)x-3a.
(1)若关于x的不等式f(x)<0的解集为{x|x>1或x<-3},求实数a的值;
(2)若关于x的不等式f(x)+x+a<0的解集中恰有2个整数,求正整数a的值.
20.(12分)已知函数f(x)=在(0,+∞)上有最小值1.
(1)求实数m的值;
(2)若关于x的方程[f(x)]2-(2k+1)·f(x)+k2+k=0恰好有4个不相等的实数根,求实数k的取值范围.
21.(12分)某厂家拟在2024年举行某产品的促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x(单位:万件)与年促销费用m(m≥0)(单位:万元)满足x=4-.已知生产该产品的固定成本为8万元,生产成本为16万元/万件,厂家将产品的销售价格定为万元/万件(产品年平均成本)的1.5倍.
(1)将2024年该产品的利润y(单位:万元)表示为年促销费用m(单位:万元)的函数;
(2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?
22.(12分)已知函数f(x)=mx2-(m+1)x+1.
(1)若m>0,求不等式f(x)<0的解集;
(2)若对任意x∈[1,2],f(x)≤2恒成立,求实数m的取值范围;
(3)若a,b,c为正实数,且的最大值等于f(2),求实数m的值.
单元质检卷一集合、常用逻辑用语与不等式
1.B
解析由x2-2x<3,即(x-3)(x+1)<0,解得-12.D
解析命题p为全称量词命题,该命题的否定为?p:∃n∈N,2n-2是素数.故选D.
3.C
解析因为>0,即<0,即不等式(ax-1)(x+2)<0的解集为(-2,a),所以a>0,且=a,所以a=1,故选C.
4.A
解析因为2x+2-x-a≥2-a=2-a(当且仅当x=0时,等号成立),所以由a<1,得f(x)>1>0;由f(x)>0,得a<2.故“a<1”是“f(x)>0”的充分不必要条件,故选A.
5.C
解析由题意,该设备x年的平均费用y=(x∈N*),∵x>0,则y=≥2,当且仅当,即x=9时,等号成立.故选C.
6.A
解析根据题意,要使附加税不少于128万元,则30-R×160×R%≥128,整理得R2-12R+32≤0,解得4≤R≤8.所以R的取值范围是[4,8].
7.A
解析由题意得,mx2-6x+3m<0,x∈(0,2],即m<,故问题转化为m<在区间(0,2]上有解.设g(x)=,则g(x)=,x∈(0,2],对于x+≥2,当且仅当x=∈(0,2]时取等号,则g(x)max=,故m<.
8.B
解析因为a,b,c是正实数,所以不等式可化为m≥-,而,因此-≤-,当且仅当a2==c2,即b=a=c时,等号成立,故-的最大值为-,因此m≥-,即实数m的取值范围是[-,+∞),故选B.
9.BC
解析对于A,若c=0,则ac2=bc2,故A错误;对于B,若a>|b|,则a>0,故|a|>|b|,两边平方,可得a2>b2,故B正确;对于C,因为y=x3在R上单调递增,所以若a>b,则a3>b3,故C正确;对于D,若|a|>b,不妨设a=0,b=-2,显然不满足a2>b2,故D错误.故选BC.
10.AC
解析因为m>0,n>0,m+n=2mn,2mn=m+n≥2,所以mn≥1,当且仅当m=n=1时,等号成立,故A正确;当m=n=1时,m+n=2mn,则m+n=1+1>,故B错误;因为mn≥1,所以m2+n2≥2mn≥2,故C正确;当m=n=1时,则2m+n=3<3+2,故D错误.故选AC.
11.CD
解析对于p:-4-1,p是q的既不充分也不必要条件,故A错误;对于B,当a=1时,q:x<,p是q的既不充分也不必要条件,故B错误;对于C,当a=时,q:x<1,p是q的充分不必要条件,故C正确;对于D,当a=0时,q:x∈R,p是q的充分不必要条件,故D正确.故选CD.
12.BCD
解析由alg42+blg16可得,即4a+b=,故A错误,B正确;因为=4a+b≥2⇒ab≤,当且仅当a=,b=时,等号成立,所以ab的最大值为,故C正确;因为(4a+b)=5+≥(5+2)=,当且仅当a=,b=时,等号成立,所以的最小值为,故D正确.故选BCD.
13.[-2,8]
解析∵正实数x,y满足4x+y-xy=0,
∴xy=4x+y≥2=4,即≥4⇒xy≥16,当且仅当y=4x=8时,等号成立,由xy≥m2-6m恒成立,可得m2-6m≤16,解得-2≤m≤8.
14.2
解析f(x)=9x+31-2x=9x+=9x+≥2=2,当且仅当9x=,即x=时取等号,所以函数f(x)的最小值为2.
15.
解析当a=0时,若不等式bx+c≤0的解集为R,则b=0,c≤0,
要使有意义,c<0,则=0.
当a≠0时,若不等式ax2+bx+c≤0的解集为R,则所以.
由b2≤4ac,得ac≥0.
当c=0时,b=0,此时=0;
当c<0时,ac>0,令t=>0,则,
当且仅当时,等号成立.
综上所述,的最大值为.
16.-∞,-∪(2,+∞)
解析∵y=-x2+2x+3在(-∞,0]上单调递增,y=x2+4x+3在(0,+∞)上单调递增,-02+2×0+3=02+4×0+3,∴f(x)=在(-∞,+∞)上单调递增.又不等式f(x+a)>f(2a-x2)在区间[a-1,a+1]上恒成立,∴x+a>2a-x2,即aa,∴a∈R,∴a≤-;当a-1<-a,∴a<-,∴-a,∴a>2或a<0,∴a>2.综上,a<-或a>2.
17.解(1)解不等式x2-2x-3>0,得A={x|x<-1或x>3},所以(∁RA)={x|-1≤x≤3}.
若a=1,则B={x|0所以(∁RA)∩B={x|0(2)选①:A∩B=B,则B⊆A.
当B=⌀时,有1-a≥2a+3,即a≤-;
当B≠⌀时,有此时两不等式组均无解.
综上,所求实数a的取值范围是-∞,-.
选②:A∪B=R,因为B={x|1-a所以解得a>2.
故所求实数a的取值范围是(2,+∞).
选③:A∩B=⌀,因为B={x|1-a当B≠⌀时,有解得-综上,所求实数a的取值范围是(-∞,0].
18.解(1)若命题p为真命题,则有Δ=4a2-4(-8-6a)≥0,即a2+6a+8≥0,解得a≤-4或a≥-2;
若当k=0时,命题q为真命题,则x2-lnx-a≥0,即a≤x2-lnx在区间[1,2]上恒成立,
令g(x)=x2-lnx,x∈[1,2],则g'(x)=x-≥0,
所以g(x)在区间[1,2]上单调递增,最小值为g(1)=,故a≤.
因此当命题p和q都是真命题时,实数a的取值范围是(-∞,-4]∪-2,.
(2)当命题q为真命题时,x2-lnx+k-a≥0在[1,2]上恒成立,由(1)可知a≤+k;
当命题p为假命题时,由(1)可知-4因为“命题q为真命题”是“命题p为假命题”的必要不充分条件,所以+k≥-2,解得k≥-.
故实数k的取值范围是-,+∞.
19.解f(x)=ax2+(a2-3)x-3a=(ax-3)(x+a).
(1)若不等式f(x)<0的解集为{x|x>1或x<-3},则a<0,且-a=1,=-3,故a=-1.
(2)不等式f(x)+x+a<0,即ax2+(a2-2)x-2a<0的解集中恰有2个整数,
即不等式(ax-2)(x+a)<0的解集中恰有2个整数.又a为正整数,-a所以解集必含0,即两整数解为-1,0或0,1.
当a>2时,整数解为-2,-1,0,不符合;
故a=1或a=2.
20.解(1)当x>0时,f(x)==x+,
若m≤0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,无最小值,所以m>0,
故f(x)=x+≥2,当且仅当x=时,等号成立,f(x)取到最小值2=1,所以m=.
(2)依题意,f(x)=作出函数f(x)的大致图象如下:
方程[f(x)]2-(2k+1)f(x)+k2+k=0,
即[f(x)-k][f(x)-k-1]=0,
故f(x)=k或f(x)=k+1.
方程恰好有4个不相等的实数根,作直线y=k和y=k+1,则两直线与函数有4个交点,结合图象可知解得0故实数k的取值范围为(0,1).
21.解(1)由题意知,每万件产品的销售价格为1.5×万元,
又x=4-,则2024年的利润y=1.5x×-8-16x-m=36--m(m≥0).
(2)由(1)知,y=36--m=-+m+1+37.
∵当m≥0时,m+1>0,∴+(m+1)≥2=8,当且仅当m=3时,等号成立,
∴y≤-8+37=29,当且仅当m=3时,ymax=29.
故该厂家2024年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大为29万元.
22.解(1)f(x)=mx2-(m+1)x+1=(mx-1)(x-1).
当0当m>1时,f(x)<0的解集为x当m=1时,f(x)<0无实数解.
(2)当m=0时,f(x)=-x+1.
对任意x∈[1,2],f(x)≤f(1)=0<2恒成立.
当m>0时,函数f(x)的图象开口向上,若对任意x∈[1,2],f(x)≤2恒成立,只需
即解得m≤.
故当0当m<0时,对任意x∈[1,2],x-1≥0,mx-1<0,f(x)=(mx-1)(x-1)≤0<2恒成立.
综上可知,实数m的取值范围为-∞,.
(3)若a,b,c为正实数,则由基本不等式得,a2+b2≥ab,b2+c2≥bc,
两式相加得a2+b2+c2≥(2ab+bc),
变形得,
当且仅当a2=b2且c2=b2,即a=2c=b时,等号成立.
所以f(2)=,即2m-1=,m=.

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