2025届高考数学一轮总复习单元质检卷七平面解析几何

这是一份2025届高考数学一轮总复习单元质检卷七平面解析几何，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.过圆(x+2)2+y2=4的圆心且与直线x+y=0垂直的直线方程为( )
A.x+y-2=0B.x-y-2=0
C.x-y+2=0D.x+y+2=0
2.已知椭圆C:=1的离心率为,则椭圆C的长轴长为( )
A.2B.4C.4D.8
3.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=( )
A.2B.2C.3D.3
4.阿基米德不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为,面积为20π,则椭圆C的标准方程为( )
A.=1B.=1
C.=1D.=1
5.(2023广西南宁二模)已知椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1(-,0),F2(,0),离心率分别为e1,e2,点P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限的公共点,且∠F1PF2=,若e2=,则椭圆C1的方程为( )
A.=1B.=1
C.=1D.+y2=1
6.2021年4月12日,四川省三星堆遗址考古发掘3号坑出土一件完整的圆口方尊,这是经科学考古发掘出土的首件完整圆口方尊(如图1所示).北京冬奥会火种台“承天载物”的设计理念正是来源于此,它的基座沉稳,象征“地载万物”,顶部舒展开翩,寓意迎接纯洁的奥林匹克火种,一种圆口方尊的上部(如图2所示)外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴所在的直线旋转形成的曲面,该曲面的高为50 cm,上口直径为 cm,下口直径为25 cm,最小横截面的直径为20 cm,则该双曲线的离心率为( )
图1
图2
A.B.2C.D.
7.设F1,F2是双曲线C:-y2=1的两个焦点,点O为坐标原点,点P在双曲线C上,且|OP|=|OF1|,则△PF1F2的面积为( )
A.B.2C.D.1
8.已知椭圆=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,点A是椭圆的下顶点,直线AF2交椭圆于另一点P,若|PF1|=|PA|,则椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.(2023广东江门一模)已知曲线C:x2sin α+y2cs α=1(0≤α<π),则下列说法正确的是( )
A.若曲线C表示两条平行线,则α=0
B.若曲线C表示双曲线,则<α<π
C.若0<α<,则曲线C表示椭圆
D.若0<α<,则曲线C表示焦点在x轴的椭圆
10.设圆锥曲线Γ有两个焦点F1,F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线Γ的离心率等于( )
A.B.C.D.2
11.设直线l:mx-y-2m+2=0(m∈R)交圆C:(x-3)2+(y-4)2=9于A,B两点,则下列说法正确的有( )
A.直线l恒过定点(1,2)
B.弦AB长的最小值为4
C.当m=1时,圆C关于直线l对称的圆的方程为(x-4)2+(y-3)2=9
D.过坐标原点O作直线l的垂线,垂足为点M,则线段MC长的最小值为
12.已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线与C交于A,B两点,点A在第一象限,点M(p,0),若|AF|=|AM|,则( )
A.直线AB的斜率为2
B.|OB|=|OF|
C.|AB|>4|OF|
D.∠OAM+∠OBM<180°
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知椭圆C的焦点在x轴上,且离心率为,则椭圆C的方程可以为 .
14.(2023山东济南一模)在平面直角坐标系xOy中,圆C1:x2+y2=2关于直线l对称的圆为C2:x2+y2+2x-4y+3=0,则l的方程为 .
15.记双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值 .
16.已知椭圆=1(a>b>0)的焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),若过点F1的直线和圆+y2=c2相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF2⊥x轴,则该直线的斜率是 ,椭圆的离心率是 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一个焦点为(,0),一条渐近线方程为2x-y=0.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)已知倾斜角为的直线l与双曲线C交于A,B两点,且线段AB的中点的纵坐标为4,求直线l的方程.
18.(12分)已知抛物线C1:y2=2px(p>0)的焦点与双曲线C2:=1的右顶点重合.
(1)求抛物线C1的标准方程;
(2)设过点(0,1)的直线l与抛物线C1交于不同的两点A,B,点F是抛物线C1的焦点,且=1,求直线l的方程.
19.(12分)(2023天津,18)设椭圆=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,右焦点为F,已知|A1F|=3,|A2F|=1.
(1)求椭圆方程及其离心率;
(2)已知点P是椭圆上一动点(不与顶点重合),直线A2P交y轴于点Q,若△A1PQ的面积是△A2FP面积的二倍,求直线A2P的方程.
20.(12分)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)上有一动点P,左、右焦点分别为F1,F2,且F2(2,0),定直线l:x=,PM⊥l,点M在直线l上,且满足.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若直线l0的斜率k=1,且l0过双曲线的右焦点,且与双曲线的右支交于A,B两点,求△ABF1的外接圆方程.
21.(12分)已知抛物线E:y2=2px(p>0),点Q,m为E上一点,且Q到E的准线的距离等于其到坐标原点O的距离.
(1)求E的标准方程;
(2)设AB为圆(x+2)2+y2=4的一条不垂直于y轴的直径,分别延长AO,BO交E于C,D两点,求四边形ABCD面积的最小值.
22.(12分)已知抛物线C:y2=4px(p>0)的焦点为F,且点M(1,2)到点F的距离比到y轴的距离大p.
(1)求抛物线C的方程.
(2)若直线l:x-m(y+2)-5=0与抛物线C交于A,B两点,是否存在实数m使|MA||MB|=64?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
单元质检卷七 平面解析几何
1.C
解析圆(x+2)2+y2=4的圆心为(-2,0),与直线x+y=0垂直的直线的斜率为1,所以所求直线为y-0=1·(x+2),即x-y+2=0.
2.C
解析由题可知c2=m+4-m=4,所以c=2.
因为e=,所以m=8,
所以椭圆C的长轴长为2=4.
故选C.
3.B
解析设点A(xA,yA),由题意知点F(1,0),则|BF|=2.
由抛物线的定义知|AF|=xA+1,
又|AF|=|BF|,所以xA+1=2,即xA=1,所以=4.
所以|AB|==2.
4.D
解析设椭圆C的标准方程为=1(a>b>0),焦距为2c,
则解得故选D.
5. A
解析 如图,由椭圆C1与双曲线C2共焦点,得c1=c2=.
∵e2=,∴a2==1,b2=,∴C2的方程为x2-=1.
由余弦定理知-2|PF1|·|PF2|cs∠F1PF2,
得12=-|PF1|·|PF2|.
∵|PF1|-|PF2|=2a2=2,得|PF2|=2,|PF1|=4.
根据椭圆定义,知|PF1|+|PF2|=2a1=6,所以a1=3,b1=,故椭圆C1的方程为=1.
故选A.
6.D
解析设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),
则由题意知最小横截面的直径为20cm,可知a=10.
设点A,t,B,t-50(t>0),
则=1,=1,
解得t=32,b=24,
所以e=.
7.D
解析由已知,不妨设F1(-2,0),F2(2,0).
由题可知a=,c=2.
因为|OP|=|OF1|=|F1F2|,
所以点P在以线段F1F2为直径的圆上.
所以△PF1F2是以点P为直角顶点的直角三角形.
所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
即|PF1|2+|PF2|2=16.
又||PF1|-|PF2||=2a=2,
所以12==|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=16-2|PF1||PF2|.
所以|PF1||PF2|=2.
所以|PF1||PF2|=1.
故选D.
8.A
解析由题可知|AF1|=|AF2|=a,|PF1|+|PF2|=2a.
因为|PF1|=|PA|,
所以|PF2|=a,|PF1|=a,cs∠APF1=,
化简得a2=3c2.
又e=∈(0,1),
所以椭圆的离心率为.
故选A.
9.BD
解析 对于A,举特例,当α=时,C的方程为x2=1,即x=-1或x=1,曲线C为两条平行线,A错误;
对于B,若C表示双曲线,则sinαcsα<0.∵0≤α<π,∴sinα>0,csα<0,则<α<π,B正确;
对于C,若C表示椭圆,则解得0<α<且α≠,C错误;
对于D,若0<α<,则00,C的方程为=1,曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,D正确.
故选BD.
10.AC
解析设圆锥曲线的离心率为e.
已知|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2.
若圆锥曲线Γ为椭圆,则e=;
若圆锥曲线Γ为双曲线,则e=.
综上,曲线Γ的离心率为.
故选AC.
11.BC
解析直线l的方程可化为m(x-2)=y-2,过定点(2,2),即A错误;设P(2,2),则圆心到直线的距离d≤CP=,且半径r=3,所以最小弦长为2=4,即B正确;当m=1时,直线l的方程为x-y=0,则点C(3,4)关于直线l对称的点为(4,3),即C正确;当垂足为M(2,2)时,MC=,即D错误.故选BC.
12.ACD
解析选项A,由题意知,点A为FM的中点,则xA=p,所以=2pxA=2p·p=p2(yA>0).
所以yA=p,故kAB==2,故选项A正确;
选项B,由斜率为2可得直线AB的方程为x=y+,联立抛物线方程得y2-py-p2=0,
设B(xB,yB),
则p+yB=p,则yB=-,代入抛物线方程得=2p·xB,
解得xB=.
|OB|=,故选项B错误;
选项C,|AB|=p++p=p>2p=4|OF|,故选项C正确;
选项D,由选项A,B知,Ap,p,B,-p,所以=p,p·,-p=-p2=-p2<0,所以∠AOB为钝角.
又=-p·-,-p=-p2=-p2<0,所以∠AMB为钝角.
所以∠OAM+∠OBM<180°.
故选项D正确.故选ACD.
13.=1(答案不唯一)
解析因为焦点在x轴上,所以设椭圆的方程为=1(a>b>0).
又因为离心率为,所以,所以,即.
所以本题答案不唯一,可取a2=4,b2=3.
14.2x-4y+5=0
解析 圆C1的圆心为C1(0,0),半径为,圆C2化为(x+1)2+(y-2)2=2,圆心C2(-1,2),半径为,
所以=-2,线段C1C2的中点为-,1.因为直线l为线段C1C2的中垂线,
所以直线l的方程为y-1=x+,即2x-4y+5=0.
15.2(答案不唯一,只要1解析由题意知,双曲线C的渐近线方程为y=±x,要使直线y=2x与双曲线C无公共点,只需≤2即可.
由≤2,得≤4,所以e2≤5.故116.
解析不妨设c=2,切点为B,椭圆右顶点为A,
则sin∠PF1F2=sin∠BF1A=,tan∠PF1F2=,
所以k=.
又k=,|F1F2|=2c=4,所以|PF2|=,
所以|PF1|=,所以2a=|PF1|+|PF2|=4,即a=2,所以e=.
17.解(1)由题可知c=.
因为双曲线C的一条渐近线方程为2x-y=0,
所以=2.
又c2=a2+b2,所以5=a2+4a2,解得a2=1,b2=4,
所以双曲线C的标准方程为x2-=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点的坐标为(x0,4),则=1,①
=1.②
②-①得,
所以=4·,
即k==x0.
又k=tan=-1,所以x0=-1,
所以直线l的方程为y-4=-(x+1),即x+y-3=0.
18.解(1)由题可知,双曲线C2:=1的右顶点为(2,0),有=2.解得p=4.
抛物线C1的标准方程为y2=8x.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).
由题可知直线l的斜率存在且不为零,故设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).
联立得k2x2+(2k-8)x+1=0.
由Δ>0得(2k-8)2-4k2>0,解得k<2,
由根与系数的关系,得x1+x2=-,x1x2=.
∵=1,F(2,0),
∴=(x1-2)(x2-2)+y1y2=1.
∴x1x2-2(x1+x2)+4+(kx1+1)(kx2+1)=(1+k2)x1x2+(k-2)(x1+x2)+5=1.
∴k2+4k-5=0.解得k=1或k=-5.
∴直线l的方程为x-y+1=0或5x+y-1=0.
19.解(1)设椭圆的焦距为2c,
则解得b2=a2-c2=3,e=,所求椭圆方程为=1.
(2)由已知=2,
∵|A1F|=3,|A2F|=1,∴=3.
∴=6.
由题意可设直线A2P的方程为y=k(x-2)(k≠0).
则直线A2P与y轴交于点Q(0,-2k),
由消去x,得(4k2+3)y2+12ky=0,点P的纵坐标yP=.
∵=6,∴|A1A2||yQ|=6×|A2F||yP|(yQ为点Q的纵坐标),
即×4×|-2k|=6××1×,解得k=±.
直线A2P的方程为y=(x-2)或y=-(x-2).
20.解(1)设点P(x,y).∵,
∴.
∴(x-2)2+y2=.∴1+y2=.
∴双曲线的标准方程为-y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).
由题可知直线l0:y=x-2,
联立得2x2-12x+15=0,
x1+x2=6,x1x2=.
又y1+y2=x1+x2-4=2,
故AB的中点为M(3,1).又△ABF1外接圆圆心Q在AB的垂直平分线l1上,l1:y=-x+4.
|AB|==2.
设圆心Q为(x0,y0),满足
解得
半径R=,
外接圆方程为.
21.解 (1)设抛物线的焦点为F,则F坐标为,0,由题意知|QO|=|QF|,
故=2×,解得p=1.
故抛物线E的标准方程为y2=2x.
(2)由题意,直线AC的斜率存在且不为0,设直线AC的方程为y=kx,
设点A(x1,y1),C(x2,y2),
联立得(k2+1)x2+4x=0,
由x1≠0,得x1=.
联立得k2x2-2x=0,
由x2≠0,得x2=.
|AC|=·|x2-x1|=.
因为AC⊥BD,用-代替k,得|BD|=.
故四边形ABCD的面积S=|AC|·|BD|=.
令|k|+=t(t≥2),S==6t+.
设函数f(t)=6t+(t≥2),f'(t)=6->0,故f(t)单调递增.
故当t=2,即|k|=1时,S取到最小值16,
所以四边形ABCD面积的最小值是16.
22.解(1)因为点M到点F的距离比到y轴的距离大p,
所以点M到点F的距离与到直线x=-p的距离相等,
所以点M在抛物线C上,所以4=4p,解得p=1,
所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)存在.
联立得y2-4my-8m-20=0.
由题可知Δ=16m2+4(8m+20)>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=4m,y1y2=-4(2m+5).
因为=(x1-1)(x2-1)+(y1-2)·(y2-2)=+(y1-2)(y2-2)=+y1y2-2(y1+y2)+5=-4(2m+5)-8m+5=0,
所以MA⊥MB,即△MAB为直角三角形.
设d为点M到直线l的距离,
则|MA||MB|=|AB|·d
=
=4·|1+m|·
=16·|1+m|·
=64,
所以(m+1)4+4(m+1)2-32=0,
解得(m+1)2=4或(m+1)2=-8(舍去),
所以m=1或m=-3,
所以当实数m=1或m=-3时,|MA||MB|=64.