2025届高考数学一轮总复习单元质检卷二函数与基本初等函数

这是一份2025届高考数学一轮总复习单元质检卷二函数与基本初等函数，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若函数f(x)=的定义域是{x|x∈R,x≠2},则函数f(x)的值域为( )
A.(-∞,-2)∪(-2,+∞)
B.(-∞,2)∪(2,+∞)
C.(-∞,-2)
D.(-2,+∞)
2.已知2a=5,lg83=b,则4a-3b=( )
A.25B.5C.D.
3.函数y=4x-6·2x+8的所有零点的和等于( )
A.8B.6C.3D.2
4.(2023湖南长沙一模)已知a=lg21.8,b=lg43.6,c=,则( )
A.a>b>cB.a>c>b
C.b>a>cD.b>c>a
5.已知函数f(x)=ln|x|+ex+e-x,则f-,f,f的大小关系是( )
A.f->f>f
B.f>f->f
C.f>f->f
D.f>f>f-
6.(2023广西南宁二模)某企业为了响应落实国家污水减排政策,加装了污水过滤排放设备,在过滤过程中,污染物含量M(单位:mg/L)与时间t(单位:h)之间的关系为M=M0e-kt(其中M0,k是正常数),已知经过1 h,设备可以过滤掉50%的污染物,则过滤掉80%的污染物需要的时间约为( )(结果精确到0.01 h,参考数据:lg 2≈0.30)
h h
h h
7.已知a,b,c均为大于0的实数,且2a=3b=lg5c,则a,b,c的大小关系正确的是( )
A.a>b>cB.a>c>b
C.c>a>bD.c>b>a
8.若函数f(x+2)为偶函数,对∀x1,x2∈[2,+∞),x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,则( )
A.f(lg26)B.f(lg312)C.f>f(lg26)>f(lg312)
D.f(lg312)>f(lg26)>f
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.如图,某池塘里浮萍的面积y(单位:m2)与时间t(单位:月)的关系为y=at,下列说法正确的是( )
A.浮萍每月的增长率均相等
B.第5个月时,浮萍面积就会超过30 m2
C.浮萍从4 m2蔓延到12 m2需经过1.5个月
D.若浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3
10.(2023福建厦门二模)定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)=f(2+x)+4x,函数f(2x+1)的图象关于点(0,2)对称,则( )
A.f(x)的图象关于(1,2)对称
B.4是f(x)的一个周期
C.f(2)=4
D.f(2 023)=-4 042
11.已知函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,如图所示,则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是( )
12.(2023湖南长沙一模)已知函数y=与y=ex的图象相交于A,B两点,与y=ln x的图象相交于C,D两点,若A,B,C,D四点的横坐标分别为x1,x2,x3,x4,且x1A.x1+x2=0B.x3x4=1
C.x1ln x3=1D.x4=1
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(2023山东济宁二模)已知a∈R,函数f(x)=f(f())=2,则a= .
14.已知f(x)为定义在R上的奇函数,且f(x)+f(2-x)=0,当-115.函数y=的图象与函数y=4sin πx(-4≤x≤6)的图象所有交点的横坐标之和为 .
16.已知函数f(x)=x,g(x)=ax2-x,其中a>1.若∀x1∈[1,3],∃x2∈[1,3],使得f(x1)f(x2)=g(x1)g(x2)成立,则实数a= .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)(2023河北高三学业考试)已知函数y=lgax过定点(m,n),函数f(x)=+n的定义域为[-1,1].
(1)求定点(m,n)并证明函数f(x)的奇偶性;
(2)判断并证明函数f(x)在[-1,1]上的单调性;
(3)解不等式f(2x-1)+f(x)<0.
18.(12分)(2023全国高三专题练习)设函数f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数.
(1)若f(1)>0,判断f(x)的单调性并求不等式f(x+2)+f(x-4)>0的解集;
(2)若f(1)=,且g(x)=a2x+a-2x-4f(x),求g(x)在[1,+∞)上的最小值.
19.(12分)已知函数f(x)=xe1+x+x2.
(1)用定义法证明:函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;
(2)判断函数f(x)在(-∞,0)上的零点个数.
20.(12分)环保生活,低碳出行,电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车在一段国道上进行测试,国道限速80 km/h.经多次测试得到该汽车每小时耗电量M(单位:Wh)与速度v(单位:km/h)的数据如下表所示.
为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系,现有以下三种函数模型供选择:
M1(v)=300lgav+p(a>0,且a≠1),
M2(v)=1 000v+q,
M3(v)=v3+bv2+cv(p,q,b,c∈R).
(1)当0≤v<80时,请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型,并说明理由;
(2)求出(1)中所选函数模型的函数解析式;
(3)根据(2)中所得函数解析式,求解如下问题:现有一辆同型号电动汽车从A地驶到B地,前一段是200 km的国道(汽车行驶速度低于80 km/h),后一段是60 km的高速路(汽车行驶速度不低于80 km/h),假设汽车在两段路上都匀速行驶.若高速路上该汽车每小时耗电量N(单位:Wh)与速度v(单位:km/h)的关系满足N(v)=2v2-10v-20(80≤v≤120),则如何行使才能使得总耗电量最少,最少为多少?
21.(12分)已知函数f(x)=(x-1)·|x-a|.
(1)若a=2,求函数f(x)在区间0,上的最大值;
(2)已知函数g(x)=f(x)+|x-a|-x+a-m,若存在实数a∈(-1,2],使得函数g(x)有三个零点,求实数m的取值范围.
22.(12分)已知函数f(x)=lga(ax+1)+bx(a>0,且a≠1,b∈R)是偶函数,函数g(x)=ax(a>0,且a≠1).
(1)求实数b的值;
(2)若函数h(x)=f(x)-x-a有零点,求实数a的取值范围.
单元质检卷二 函数与基本初等函数
1.A
解析 由x+a≠0,得x≠-a,因此a=-2,所以f(x)=-2-.因为≠0,所以-2-≠-2,即函数f(x)的值域为(-∞,-2)∪(-2,+∞),故选A.
2.C
解析由lg83=b,得8b=3,即23b=3,则2a-3b=,所以4a-3b=,故选C.
3.C
解析 令y=4x-6·2x+8=0,即(2x-4)(2x-2)=0,即2x=4或2x=2,解得函数的零点为x1=2,x2=1,故零点之和等于3.
4.C
解析a=lg21.8=lg41.82,∴a-b=lg41.82-lg43.6=lg4lg2=c,∴a>c,∴b>a>c.故选C.
5.C
解析 由f(-x)=ln|-x|+e-x+e-(-x)=ln|x|+ex+e-x=f(x),且f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),得f(x)为偶函数,所以f-=f.当x>0时,f(x)=lnx+ex+e-x,则f'(x)=>0,即f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.因为,所以f6.D
解析依题意,(1-50%)M0=M0e-k,则e-k=0.5.设过滤掉80%的污染物需要的时间为t,则(1-80%)M0=M0e-kt,因此0.2=e-kt=(e-k)t=(0.5)t,所以t=≈2.33.故选D.
7.C
解析因为a,b,c均为大于0的实数,所以2a=3b=lg5c=t>1,进而将问题转化为函数y=2x,y=3x,y=lg5x的图象与直线y=t>1的交点的横坐标的关系.作出函数图象,如图,由图可知c>a>b.
8.A
解析因为对∀x1,x2∈[2,+∞),且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,
所以函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递减.又函数f(x+2)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f=f.
因为lg26=1+lg23>2,lg312=1+lg34>2,
lg23+1-=lg23-=lg23-lg2=lg23-lg2>0,所以lg23+1>,
lg34+1-=lg34-=lg34-lg3=lg34-lg3<0,所以lg34+1<,
所以lg26>>lg312>2,
所以f(lg26)即f(lg26)9.ABD
解析∵函数y=at的图象经过点(1,2),∴2=a1,即a=2,∴y=2t.对于A,∵=1,∴浮萍每月的增长率均相等,故A正确;对于B,第5个月时,浮萍的面积为25=32m2,超过了30m2,故B正确;对于C,第2个月时浮萍的面积为4m2,第3.5个月时浮萍的面积为23.5==8≈11.31<12m2,故C错误;对于D,∵2=,3=,6=,∴t1=lg22,t2=lg23,t3=lg26,∴t1+t2=t3,故D正确.
10.AD
解析对于A,因为函数f(2x+1)的图象关于点(0,2)对称,所以f(-2x+1)+f(2x+1)=4,令2x+1=t,则f(2-t)+f(t)=4,f(x)的图象关于点(1,2)对称.选项A正确;对于B,由题设条件得f(2+x)+2(2+x)=f(2-x)+2(2-x),令g(x)=f(x)+2x,有g(2+x)=g(2-x),则g(x)的图象关于直线x=2对称,因为f(1-2x)+f(1+2x)=4,有f(1-2x)+2(1-2x)+f(1+2x)+2(1+2x)=8,即g(1-2x)+g(1+2x)=8,则g(x)的图象关于点(1,4)对称.所以g(x)+g(2-x)=8,又g(2+x)=g(2-x),所以g(x)+g(2+x)=8,所以g(2+x)+g(4+x)=8,所以g(x+4)=g(x),所以4为g(x)的一个周期,即f(x+4)+2(x+4)=f(x)+2x,则f(x+4)=f(x)-8,即4不是f(x)的周期.选项B不正确;对于C,由上知g(x)的图象关于点(1,4)对称,且关于直线x=2对称,则令g(x)=sinx-+4符合题意,而f(2)=g(2)-4=1≠2.故C不正确;对于D,因为g(x)的图象关于点(1,4)对称,所以g(1)=4,故g(2023)=g(4×505+3)=g(3)=g(1)=4,有f(2023)=-4042.选项D正确.故选AD.
11.ABD
解析 由题图可得a1=2,即a=2.y=a-x=x单调递减,且过点(-1,2),故A正确;y=x-a=x-2为偶函数,在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增,故B正确;y=a|x|=2|x|=为偶函数,结合指数函数图象可知对应不正确,故C错误;y=|lgax|=|lg2x|,根据“上不动、下翻上”可知D正确,故选ABD.
12.ABD
解析作出三个函数图象如下图所示,
由题意x1是方程ex=的一个根,则,将-x1代入得,
∴-x1也是方程ex=的一个根,∴-x1=x2,故x1+x2=0,故A正确;
由题意x3是方程lnx=的一个根,则lnx3=,则ln=-lnx3=-,
∴也是方程lnx=的一个根,∴=x4,故x3x4=1,故B正确;
设点P(x0,y0)在函数y=上,则满足y0=,即y0x0-y0-x0-1=0,点P(x0,y0)关于直线y=x的对称点为P'(y0,x0),将P'(y0,x0)代入y=得x0=,即可y0x0-y0-x0-1=0,
∴点P'(y0,x0)在函数y=上,即函数y=的图象关于直线y=x对称,又y=lnx,y=ex关于直线y=x对称,因此可知点A,B分别与点C,D关于直线y=x对称,由此可得
∴=x3=,x4=1,故D正确;
由于x1=lnx3,若x1lnx3=1,则=1,又x1≠±1,故C错误.故选ABD.
13.-1
解析因为>2,所以f()=lg2(5-3)=1<2,
所以f(f())=f(1)=3+a=2,解得a=-1.
14.-
解析由题意得f(2-x)=-f(x)=f(-x),
所以f(2+x)=f(x),即f(x)的周期为2,
所以f(2+lg25)=f2×2+lg2=flg2=-flg2,又-1所以f(2+lg25)=-=-.
15.12
解析 设f(x)=,g(x)=4sinπx,当x≠1时,f(2-x)==-f(x),即f(2-x)+f(x)=0,所以函数f(x)=的图象关于点(1,0)对称,g(2-x)=4sin[π(2-x)]=4sin(2π-πx)=-4sinπx=-g(x),即g(2-x)+g(x)=0,所以函数g(x)=4sinπx的图象也关于点(1,0)对称,作出函数y=与函数y=4sinπx(-4≤x≤6)的图象,如图所示.
由图象可知,两个函数图象共有12个交点,形成6对关于点(1,0)对称的点对,因此两个函数所有交点的横坐标之和为6×2=12.
16.
解析 已知a>1,由f(x1)f(x2)=g(x1)g(x2),得x1x2=(a-x1)(a-x2),
即(ax1-1)(ax2-1)=1,即ax2-1=.
所以x2=对于∀x1∈[1,3],∃x2∈[1,3]成立,所以1≤≤3对∀x1∈[1,3]恒成立,
∴max≤a≤1+min,
∴+1≤a≤1+,∴a=.
17.解(1)∵函数y=lgax过定点(m,n),∴定点为(1,0),
∴f(x)=,且定义域为[-1,1].
∴f(-x)==-f(x),
∴函数f(x)为奇函数.
(2)f(x)在[-1,1]上单调递增.
证明:任取x1,x2∈[-1,1],且x1∴x1-x2<0,1-x1x2>0,
则f(x1)-f(x2)=<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数.
(3)由f(2x-1)+f(x)<0,得f(2x-1)<-f(x),∵函数f(x)为奇函数,∴f(2x-1)∵f(x)在区间[-1,1]上是增函数,
∴解得0≤x<.
故不等式的解集为0,.
18.解(1)由f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1)为R上的奇函数,
得f(0)=0,则k-1=0,即k=1,∴函数f(x)=ax-a-x.
由f(1)>0,得a->0且a>0,解得a>1,则f(x)=ax-a-x是增函数.
又由f(x+2)+f(x-4)>0,得f(x+2)>-f(x-4)=f(4-x),
所以x+2>4-x,解得x>1,即不等式的解集是(1,+∞).
(2)由(1)知,f(x)=ax-a-x.
由f(1)=,得a-,解得a=2,
故g(x)=22x+2-2x-4(2x-2-x)=(2x-2-x)2-4(2x-2-x)+2,
令t=2x-2-x,则t=2x-2-x在[1,+∞)上是增函数,故t≥21-2-1=,
所以g(t)=t2-4t+2t≥,
所以函数g(t)图象的对称轴为直线t=2>,且开口向上,
所以函数g(t)min=g(2)=22-4×2+2=-2,
即函数g(x)的最小值为-2.
19.(1)证明 设∀x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=x1-x2(x1-x2)+(x1-x2)(x1+x2).
因为00,
所以<1,>e,所以x1所以x1-x2所以(x1-x2)<0,(x1-x2)(x1+x2)<0,
所以(x1-x2)+(x1-x2)(x1+x2)<0,
即f(x1)-f(x2)<0,所以函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
(2)解f(x)=xe1+x+x2=x(e1+x+x),x∈(-∞,0).
令g(x)=e1+x+x,x∈(-∞,0),因为y=e1+x与y=x在区间(-∞,0)上均单调递增,
所以g(x)=e1+x+x在区间(-∞,0)上单调递增.
又g(0)=e,g(-1)=e1-1-1=0,
所以当x<-1时,g(x)<0;
当-10.
所以当x<-1时,f(x)>0;
当-1所以f(x)在(-∞,0)上有且仅有1个零点.
20.解 (1)若选M1(v)=300lgav+p,则当v=0时,该函数无意义,不符合题意.
若选M2(v)=1000v+q,显然该函数是减函数,这与M(40)故选择M3(v)=v3+bv2+cv.
(2)选择M3(v)=v3+bv2+cv,由表中数据,得
解得
所以当0≤v<80时,M3(v)=v3-2v2+150v.
(3)由题意知,该汽车在国道路段所用时间为(0所耗电量f(v)=·M3(v)=·v3-2v2+150v=5(v2-80v+6000)=5(v-40)2+22000(0所以当v=40时,f(v)min=22000.
该汽车在高速路段所用时间为(80≤v≤120)h,
所耗电量g(v)=·N(v)=·(2v2-10v-20)=120v--600(80≤v≤120),
易知g(v)在区间[80,120]上单调递增,
所以g(v)min=g(80)=120×80--600=8985.
故当该汽车在国道上的行驶速度为40km/h,在高速路上的行驶速度为80km/h时,总耗电量最少,最少为22000+8985=30985(Wh).
21.解(1)当a=2时,f(x)=(x-1)|x-2|.
若x∈[0,2],则f(x)=-(x-1)(x-2)=-x-2+,所以f(x)max=f=.
若x∈2,,则f(x)=(x-1)(x-2)=x-2-,f(x)在此区间上单调递增,
所以f(x)max=f=.
综上,f(x)在区间0,上的最大值为.
(2)令g(x)=x|x-a|-(x-a)-m=0,
则方程x|x-a|-(x-a)=m在a∈(-1,2]时有三个根,
即函数h(x)=的图象与直线y=m有三个交点.
当-1此时,h可得-当1≤a≤2时,h(x)在区间-∞,,(a,+∞)上单调递增,在区间,a内单调递减,
此时,0又∈1,,故0综上,实数m的取值范围为-1,.
22.解(1)因为f(x)为偶函数,所以∀x∈R,有f(-x)=f(x).
即lga(a-x+1)-bx=lga(ax+1)+bx在R上恒成立.
所以lga(a-x+1)-lga(ax+1)=2bx在R上恒成立.
所以2bx=-x,故b=-.
(2)若函数h(x)=f(x)-x-a有零点,
则方程lga(ax+1)-x=a有解,
即lga1+=a有解.
令p(x)=lga1+,则函数y=p(x)的图象与直线y=a有交点.
当01,
所以p(x)=lga1+<0,
所以lga1+=a无解.
当a>1时,因为1+>1,
所以p(x)=lga1+>0,
由lga1+=a有解可知a>0,所以a>1.
故a的取值范围是(1,+∞).v
0
10
40
60
M
0
1 325
4 400
7 200