2025届高考数学一轮总复习第三章函数与基本初等函数课时规范练8函数的奇偶性与周期性

这是一份2025届高考数学一轮总复习第三章函数与基本初等函数课时规范练8函数的奇偶性与周期性，共6页。试卷主要包含了已知函数f=为奇函数,则a=等内容，欢迎下载使用。

1.(2023北京昌平二模)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-,则f(-1)=( )
A.1B.-1C.2D.-2
2.已知函数f(x)=为奇函数,则a=( )
A.-1B.
C.-D.1
3.(多选)(2023云南昆明一中模拟)函数f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且f(x)-g(x)=x3+x2-1,则( )
A.f(-1)=-1
B.g(-1)=2
C.f(1)+g(1)=1
D.f(1)+g(1)=2
4.定义在R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,且f(-3)=0,若不等式f(x-m)>0的解集为(-1,5),则m的值为( )
A.3B.2C.-2D.-3
5.(多选)(2023湖南雅礼中学一模)已知不恒为0的函数f(x),满足∀x,y∈R,f(x)+f(y)=2ff,则( )
A.f(0)=0
B.f(0)=1
C.f(x)为奇函数
D.f(x)为偶函数
6.(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)的图象关于直线x=1对称,当x∈(0,1]时,f(x)=-x2+2x,则下列结论正确的是( )
A.f(x)的值域为(0,1]
B.f(x)的周期为2
C.f(x+1)是偶函数
D.f(2 021)=1
7.函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=a(x+1)-2x,则f(f(3))= .
8.已知函数f(x)满足f(x)+f(-x)=2,g(x)=+1,y=f(x)与y=g(x)的图象交于点(x1,y1),(x2,y2),则y1+y2= .
综合提升组
9.函数f(x)=ex-2-e2-x的图象( )
A.关于点(-2,0)对称
B.关于直线x=-2对称
C.关于点(2,0)对称
D.关于直线x=2对称
10.(多选)(2023新高考Ⅰ,11)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则( )
A.f(0)=0
B.f(1)=0
C.f(x)是偶函数
D.x=0为f(x)的极小值点
11.(多选)已知∀x∈R,函数f(x)满足f(-x)=f(x),且f(x+2)=-f(2-x),则下列结论一定正确的是( )
A.f(x)的图象关于点(-2,0)对称
B.f(x)是周期为4的周期函数
C.f(x)的图象关于直线x=-2对称
D.f(x+4)为偶函数
12.(2023广西玉林三模)函数f(x)对任意x,y∈R总有f(x+y)=f(x)+f(y),当x<0时,f(x)<0,f(1)=,则下列命题中正确的是( )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)是R上的减函数
C.f(x)在[-6,6]上的最小值为-2
D.若f(x)+f(x-3)≥-1,则实数x的取值范围为[3,+∞)
13.已知函数f(x)=(x∈R且x≠1)的最大值为M,最小值为m,则M+m的值为 .
创新应用组
14.(多选)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=1-x,则( )
A.f(x)是周期函数
B.f(x)在(-1,1)上单调递减
C.f(x)的图象关于直线x=3对称
D.f(x)的图象关于点(2,0)对称
15.(多选)(2023湖南长沙一中模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x-2)=-f(x),且f(x)在[0,1]上是增函数,则( )
A.f(x)关于x=-1对称
B.f(x+4)=f(x)
C.f->f
D.f(n)=0
课时规范练8 函数的奇偶性与周期性
1.A
解析∵函数f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-1+2=1.故选A.
2.D
解析函数的定义域为{x|x≠-1且x≠a},因为f(x)=为奇函数,所以定义域关于原点对称,则a=1,所以f(x)=,f(-x)==-f(x),满足f(x)为奇函数,故选D.
3.AC
解析由f(x)-g(x)=x3+x2-1,得f(-x)-g(-x)=-x3+x2-1,又f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,∴-f(x)-g(x)=-x3+x2-1.由得f(x)=x3,g(x)=-x2+1.对于A,f(-1)=(-1)3=-1,A正确;对于B,g(-1)=-(-1)2+1=0,B错误;对于CD,f(1)+g(1)=1-1+1=1,C正确,D错误.故选AC.
4.B
解析 定义在R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,且f(-3)=0,可得f(3)=f(-3)=0,f(x)=f(|x|),不等式f(x-m)>0即为f(|x-m|)>f(3),可得|x-m|<3,即m-35.BD
解析令x=y=0,则f(0)+f(0)=2f(0)·f(0),∴f(0)=0或1.令y=x,则f(x)+f(x)=2f(x)·f(0),若f(0)=0,则f(x)=0,与f(x)不恒为0矛盾,∴f(0)=1,∴选项B正确,选项A错误;令y=-x,则f(x)+f(-x)=2f(0)·f(x)=2f(x),∴f(x)=f(-x),∴f(x)为偶函数,∴选项D正确,C错误.故选BD.
6.CD
解析对于A,当x∈(0,1]时,f(x)=-x2+2x,此时07.11
解析由f(0)=a-1=0,得a=1.当x<0时,-x>0,f(-x)=-x+1-2-x=-f(x),即f(x)=x-1+2-x,所以f(x)=于是f(3)=4-23=-4,f(-4)=-5+24=11,故f(f(3))=11.
8.2
解析因为f(x)+f(-x)=2,所以曲线y=f(x)关于点(0,1)对称,曲线y=g(x)=+1也关于点(0,1)对称,则交点(x1,y1)与(x2,y2)关于点(0,1)对称,所以y1+y2=2.
9.C
解析∵f(x)=ex-2-e2-x,∴f(2+x)=e2+x-2-e2-(2+x)=ex-e-x,f(2-x)=e2-x-2-e2-(2-x)=e-x-ex,
∴f(2+x)+f(2-x)=0,因此,函数f(x)的图象关于点(2,0)对称,故选C.
10.ABC
解析对于选项A,令x=0,y=0,f(0)=0,所以A正确;对于选项B,令x=1,y=1,f(1×1)=12×f(1)+12×f(1)=2f(1),解得f(1)=0,所以B正确;对于选项C,令x=-1,y=-1,f[(-1)×(-1)]=(-1)2×f(-1)+(-1)2×f(-1)=2f(-1),解得f(-1)=0;再令x=-1,y=x,f[(-1)×x]=x2×f(-1)+(-1)2×f(x),f(-x)=f(x),所以C正确;对于选项D,用特值法,函数f(x)=0,为常数函数,且满足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),而常数函数没有极值点,所以D错误.故选ABC.
11.AD
解析因为f(x+2)=-f(2-x),所以f(x)的图象关于点(2,0)对称.又因为函数f(x)为偶函数,所以f(x)是最小正周期为8的周期函数,且它的图象关于点(-2,0)对称和关于直线x=4对称,所以f(x+4)为偶函数,故选AD.
12.C
解析取x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0.令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x),∴函数f(x)是奇函数,A错误;令x1,x2∈R且x113.2
解析f(x)==1-,则函数的定义域为R.
设g(x)=,x∈R,
则g(-x)==-=-g(x),
∴g(x)为奇函数,∴g(x)max+g(x)min=0.
∵M=f(x)max=1-g(x)min,m=f(x)min=1-g(x)max,∴M+m=2-[g(x)max+g(x)min]=2.
14.ACD
解析对于A,因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),所以f(x+2+2)=-f(x+2),f(0)=0,所以f(x+4)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数,故A正确;对于B,当x∈[-1,0)时,-x∈(0,1],则f(-x)=1-(-x)=1+x,因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以-f(x)=1+x,即f(x)=-1-x,因为f(x)=所以f(x)在区间(-1,1)内不是单调递减,故B错误;对于C,由已知得f(x+6)=f(x+2)=-f(x)=f(-x),所以f(x-3+6)=f[-(x-3)],即f(x+3)=f(3-x),所以f(x)的图象关于直线x=3对称,故C正确;对于D,因为f(x+4)=f(x)=-f(-x),所以f(x+4)+f(-x)=0,所以f(x-4+4)+f[-(x-4)]=0,即f(x)+f(4-x)=0,所以f(x)的图象关于点(2,0)对称,故D正确.故答案为ACD.
15.BC
解析∵f(x)为偶函数,f(x-2)=-f(x),∴f(x-2)+f(x)=0,即f(x-2)+f(-x)=0,∴函数f(x)的图象关于点(-1,0)对称,A错误;又f(x+4)=-f(x+2)=f(x),B正确;∵f(x)在[0,1]上是增函数,且函数f(x)的周期为4,∴f-=f>f=f-=f,故C正确;∵f(x-2)+f(x)=0,∴f(1)+f(3)=0,f(2)+f(4)=0,即f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,∴f(n)=f(1)+f(2)+f(3)=f(2),而f(2)的值不确定,故D错误.故选BC.