2025届高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用课时规范练16利用导数研究函数的单调性

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1.函数f(x)=e-xcs x(x∈(0,π))的单调递增区间为( )
A.0,B.,π
C.0,D.,π
2.(2023广西玉林二模)若函数f(x)=(ax+1)ex在[1,2]上为增函数,则a的取值范围是( )
A.-,+∞B.-,+∞
C.-,+∞D.[0,+∞)
3.已知函数f(x)=2x2-ln x,若f(x)在区间(2m,m+1)内单调递增,则实数m的取值范围是( )
A.,1B.,+∞
C.,1D.[0,1)
4.(2023山东济宁二模)设a=,b=ln,c=sin,则( )
A.bC.c5.(多选)已知函数f(x)=2x3+a(x-1)ex在区间[0,3]上不单调,则实数a的值可以是( )
A.B.-
C.-D.
6.已知函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0),若f(x)的单调递减区间是(0,4),则实数k的值为 .
7.已知函数f(x)=x(2x-2-x),则不等式2f(x)-3<0的解集为 .
综合提升组
8.已知函数f(x)=则使不等式f(ln x)>-成立的实数x的取值范围为( )
A.0,B.,+∞
C.(0,e)D.(e,+∞)
9.(2023陕西商洛二模)已知函数g(x)=2x-2ln x,若函数f(x)=g(x)-2m+3有2个零点,则实数m的取值范围是( )
A.-,+∞B.,+∞
C.-,+∞D.,+∞
10.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)-f(x)<0,其中f'(x)是f(x)的导函数.若2f(m-2 022)>(m-2 022)f(2),则实数m的取值范围为 .
创新应用组
11.已知函数f(x)=ex-e-x,g(x)=sin x+x3-ax.对于任意x1,x2且x1≠x2,都有>0,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,0)
B.(-∞,0]
C.(-∞,1)
D.(-∞,1]
12.已知函数f(x)=2sin x+e-x-ex,则不等式f(a2-a+1)+f(-2a+1)>0的解集为 .
课时规范练16 利用导数研究函数的单调性
1.D
解析f'(x)=-e-xcsx-e-xsinx=-e-x(csx+sinx)=-e-xsinx+,
当x∈0,时,e-x>0,sinx+>0,则f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈,π时,e-x>0,sinx+<0,则f'(x)>0,f(x)单调递增.
故函数f(x)的单调递增区间为,π.
2.B
解析依题意得f'(x)=(ax+a+1)ex≥0对x∈[1,2]恒成立,即ax+a+1≥0对x∈[1,2]恒成立.因为y=ax+a+1的图象为直线,所以解得a≥-.故选B.
3.A
解析函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=4x-.由f'(x)>0,即4x->0,解得x>,所以f(x)的单调递增区间为,+∞.因为f(x)在区间(2m,m+1)内单调递增,所以(2m,m+1)⊆,+∞,所以解得≤m<1,因此实数m的取值范围是,1.
4.A
解析令g(x)=x-1-lnx(x>0),则g'(x)=1-.当g'(x)>0时,x>1;当g'(x)<0时,0b.设f(x)=sinx-x,则f'(x)=csx-1在区间0,内是减函数,且f'=cs-1=-1=>0,所以函数f(x)在区间0,内是增函数.所以f>f(0)=0,即sin,所以c>a.故选A.
5.BC
解析由f(x)=2x3+a(x-1)ex,得f'(x)=6x2+axex.由题意知f'(x)=0在区间(0,3)内有解,即-a=在区间(0,3)内有解 .令g(x)=,则g'(x)=,令g'(x)=0,得x=1,当x∈(0,1)时,g'(x)>0;当x∈(1,3)时,g'(x)<0,所以g(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,3)内单调递减.所以当x=1时,g(x)有极大值.g(0)=0,g(1)=,g(3)=,在区间(0,3)内,当直线y=-a与g(x)的图象有交点时,0<-a≤,但当-a=,即a=-时,f(x)在区间[0,3]上单调递减,所以0<-a<,即-6.
解析由f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0),得f'(x)=3kx2+6(k-1)x.因为f(x)的单调递减区间是(0,4),所以f'(x)<0的解集为(0,4),所以x=4是方程3kx2+6(k-1)x=0的一个根,所以12k+6(k-1)=0,解得k=.
7.(-1,1)
解析因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=(-x)(2-x-2x)=x(2x-2-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.因为f'(x)=2x-2-x+xln2(2x+2-x),当x>0时,f'(x)>0,所以f(x)单调递增.
又因为f(0)=0,f(1)=2-,由2f(x)-3<0可得f(x)8.C
解析因为f(0)=0,当x>0时,f(x)=-f(-x),所以,当x<0时,也有f(x)=-f(-x),即函数f(x)是奇函数.当x≤0时,f(x)=ex-x-1,则f'(x)=ex-1≤0,f(x)单调递减,所以奇函数f(x)在R上是减函数.又f(-1)=,所以f(1)=-f(-1)=-,所以f(lnx)>-即为f(lnx)>f(1),所以lnx<1,得09.D
解析∵g(x)定义域为(0,+∞),g'(x)=2-,∴当x∈(0,1)时,g'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0.∴g(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)上单调递增,∴g(x)≥g(x)min=g(1)=2,可得g(x)图象如图所示,
∵f(x)有2个零点,∴2m-3>2,解得m>,即实数m的取值范围为,+∞.故选D.
10.(2 022,2 024)
解析函数f(x)的定义域为(0,+∞),由xf'(x)-f(x)<0,得'=<0.
设F(x)=,x∈(0,+∞),则F'(x)<0,所以函数F(x)在区间(0,+∞)上单调递减.
又2f(m-2022)>(m-2022)f(2),
所以m-2022>0,且,
所以011.D
解析因为>0,所以f(x1)-f(x2)与g(x1)-g(x2)同号,因此f(x)与g(x)的单调性相同.因为f'(x)=ex+e-x>0在R上恒成立,所以函数f(x)在R上单调递增,因此g(x)也在R上单调递增,而g'(x)=csx+x2-a,所以csx+x2-a≥0恒成立,即a≤csx+x2恒成立.令h(x)=csx+x2,则h'(x)=x-sinx.设m(x)=x-sinx,则m'(x)=1-csx≥0,所以函数m(x)单调递增.又因为m(0)=0,所以当x<0时,m(x)<0,即h'(x)<0,h(x)单调递减;当x>0时,m(x)>0,即h'(x)>0,h(x)单调递增,所以h(x)=csx+x2的最小值为h(0)=1,因此a≤1.故选D.
12.{a|1解析因为函数f(x)的定义域为R,且满足f(-x)=2sin(-x)+ex-e-x=-2sinx-e-x+ex=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.f'(x)=2csx-e-x-ex=2csx-(e-x+ex),因为e-x+ex≥2=2,当且仅当e-x=ex,即x=0时,等号成立,所以f'(x)≤0,所以f(x)在R上是减函数.
又因为f(a2-a+1)+f(-2a+1)>0,即f(a2-a+1)>-f(-2a+1),即f(a2-a+1)>f(2a-1),所以a2-a+1<2a-1,即a2-3a+2<0,解得1

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