2025届高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用课时规范练20利用导数研究函数的零点

这是一份2025届高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用课时规范练20利用导数研究函数的零点，共8页。试卷主要包含了已知函数f=ex-，已知函数f=ln+axe-x，又因为f'=2x-3+,等内容，欢迎下载使用。
(1)求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调区间,并判断函数f(x)的零点个数.
2.设函数f(x)=a2x2+ax-3ln x+1,其中a>0.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若y=f(x)的图象与x轴没有公共点,求a的取值范围.
3.设函数f(x)=ax2-ln x,其中a∈R.
(1)若a=,求函数f(x)的单调区间;
(2)若方程f(x)=x恰有两个不等实数根,求实数a的取值范围.
4.(2023山东济宁一模)已知函数f(x)=(x-3)ex-(x2-4x).
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)当00.
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若方程=x-aln x恰有两个不相等的实数根,求a的取值范围.
6.已知函数f(x)=ln(1+x)+axe-x.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)若f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,求a的取值范围.
课时规范练20 利用导数研究函数的零点
1.解(1)因为函数的定义域为(0,+∞),f(3)=ln3,
所以切点为(3,ln3).又因为f'(x)=2x-3+,
所以f'(3)=,即切线斜率为k=,
所以切线方程是y=(x-3)+ln3,
即10x-3y+3ln3-30=0.
(2)由(1)知f'(x)=,
令f'(x)=0,得x1=,x2=1.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示.
如表格,函数f(x)的单调递增区间是0,和(1,+∞),单调递减区间是,1.
又因为f(x)的极大值f=-+ln0,即f(x)的单调递增区间为(1,+∞).
(2)若f(x)=x恰有两个不等实数根,则ax2-lnx=x,即a=恰有两个不等实数根.
令g(x)=,
则g'(x)=,
令h(x)=1-x-2lnx,因为h'(x)=-1-0;当x∈(1,+∞)时,h(x)0;
当10.
所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,1)和(2,+∞);单调递减区间为(1,2).
(2)f'(x)=(x-2)ex-ea(x-2)=(x-2)(ex-ea).
令f'(x)=0,得x=2或x=a.
由于00,∴当00.
∴函数f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞).
(2)∵x>0,a>0,=x-alnx=lnex-alnx=ln,
设t=>0,则=lnt.
令h(t)=lnt-,则h'(t)=,
∴当00;当x>a时,k'(x)0且x→0时,k(x)→-∞;当x→+∞时,k(x)→-∞,
∴只需要k(a)=alna-a+1>0,即lna+-1>0.
构造函数m(a)=lna+-1,则m'(a)=.
∴当00.
∴函数m(a)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
∵m(1)=0,∴当a≠1时,lna+-1>0恒成立,
∴a的取值范围为(0,1)∪(1,+∞).
6.解(1)当a=1时,f(x)=ln(1+x)+xe-x,则f'(x)=+e-x-xe-x,所以f(0)=0,f'(0)=2,所以所求切线方程为y=2x.
(2)当a≥0时,若x>0,则f(x)=ln(1+x)+axe-x>0恒成立,不符合题意,舍去.
当a-1,a0恒成立,即f'(x)>0恒成立,所以f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,所以当x>0时,f(x)>f(0)=0,不符合题意,舍去.
若a0,
当x>1时,g(x)>0恒成立,所以存在唯一的x1∈(-1,0),x2∈(0,1),使g(x)=0.
所以f(x)在区间(-1,x1),(x2,+∞)内单调递增,在区间(x1,x2)内单调递减,所以f(x1)>f(0)=0,f(x2)0恒成立;当x∈(0,x2)时,f(x)