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2025届高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布课时规范练60排列与组合
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这是一份2025届高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布课时规范练60排列与组合，共6页。试卷主要包含了下列等式中,成立的有，故选B等内容，欢迎下载使用。
1.有5名同学被安排在周一至周五值日,已知同学甲只能在周一值日,那么5名同学值日顺序的编排方案共有( )
A.12种B.24种
C.48种D.120种
2.(多选)下列等式中,成立的有( )
A.
B.
C.
D.=n
3.(2023全国乙,理7)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )
A.30种B.60种
C.120种D.240种
4.从4名男生和2名女生中选出2名男生和1名女生担任元旦联欢晚会的主持人,则不同的选法共有( )
A.6种B.12种C.24种D.18种
5.某大学计算机学院的丁教授在2022年人工智能方向招收了6名研究生.丁教授拟从人工智能领域的语音识别、人脸识别、数据分析、机器学习、服务器开发共5个方向展开研究.每个方向均有研究生学习,每位研究生只参与一个方向的学习.其中小明同学因录取分数最高主动选择学习人脸识别,其余5名研究生均表示服从丁教授统一安排,则这6名研究生不同的分配方向共有( )
A.480种B.360种
C.240种D.120种
6.(2023河北邯郸三模)某医院安排3名男医生和2名女医生去甲、乙、丙三所医院支援,每所医院安排一到两名医生,其中甲医院要求至少安排一名女医生,则不同的安排方法有( )
A.18种B.30种
C.54种D.66种
7.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有( )
A.144个B.120个
C.96个D.72个
8.(多选)在100件产品中,有98件合格品,2件不合格品,从这100件产品中任意抽出3件,则下列结论中正确的有( )
A.抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的方法有种
B.抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的方法有种
C.抽出的3件中至少有1件是不合格品的方法有()种
D.抽出的3件中至少有1件是不合格品的方法有()种
9.某校举办优质课比赛,决赛阶段共有6名教师参加.如果甲、乙、丙三人中有一人第一个出场,且最后一个出场的只能是甲或乙,则不同的出场方案共有 种.
10.从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人,组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有 种不同的选法.(用数字作答)
综合提升组
11.在一次学校组织的研究性学习成果报告会上,有A,B,C,D,E,F共6项成果要汇报,如果B成果不能最先汇报,而A,C,D按先后顺序汇报(不一定相邻),那么不同的汇报安排种数为( )
A.100B.120C.300D.600
12.某市践行“干部村村行”活动,现有3名干部下乡到5个村蹲点指导工作,每个村必须有1名干部,每名干部至多去3个村,则不同的选派方案共有( )
A.243种B.210种
C.150种D.125种
13.(多选)有13名医生,其中女医生6人,现从中抽调5名医生组成医疗小组前往疫区.若医疗小组至少有2名男医生,同时至多有3名女医生,设不同的选派方法种数为N,则下列等式能成为N的算式的是( )
A.
B.
C.
D.
14.“碳中和”是指企业、团体或个人等测算在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量,通过植树造林、节能减排等形式,以抵消自身产生的二氧化碳排放量,实现二氧化碳“零排放”.某“碳中和”研究中心计划派5名专家分别到A,B,C三地指导“碳中和”工作,每位专家只去一个地方,且每地至少派驻1名专家,则不同的分派方法的种数为( )
A.90B.150C.180D.300
15.(2023河北张家口一模)小李在2005年10月18日出生,他在设置手机的数字密码时,打算将自己出生日期的后6个数字0,5,1,0,1,8进行某种排列,从而得到密码.如果排列时要求两个1不相邻,两个0也不相邻,那么小李可以设置的不同密码有 个(用数字作答).
16.(2023湖南怀化二模)信息技术辅助教学已经成为教学的主流趋势,为了了解学生利用学习机学习的情况,某研究机构在购物平台上购买了6种主流的学习机,并安排4人进行相关数据统计,且每人至少统计1种学习机的相关数据(不重复统计),则不同的安排方法有 种.
创新应用组
17.从装有n+1个不同小球的口袋中取出m个小球(0A.B.
C.D.
18.已知某超市为顾客提供A,B,C,D四种结账方式.若顾客甲不能用D方式结账,顾客乙只能用A方式结账,顾客丙、丁用哪种方式结账都可以.这四名顾客购物后,恰好用了其中的三种结账方式,那么他们结账方式的可能情况有 种.
课时规范练60 排列与组合
1.B
解析因为同学甲只能在周一值日,所以除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日,所以5名同学值日顺序的编排方案共有=24(种).故选B.
2.BCD
解析=n(n-1)·…·(n-m+1)=,故A错误;根据组合数性质知B,C正确;=n,故D正确.故选BCD.
3.C
解析(方法1 直接法)甲在6种课外读物中任选2种,有种选法,乙先在甲选的2种课外读物中选1种,有种选法,再在甲选2种课外读物后剩下的4种中选1种有种选法,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有×2×4=120种.
(方法2 间接法)甲、乙两位同学各自选读2种课外读物共有种选法,甲、乙所选都不同有种选法,甲、乙所选都相同有种选法,故这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法有·(-1)=120种.故选C.
4.B
解析由题意,从4名男生和2名女生中选出2名男生和1名女生担任元旦联欢晚会的主持人,可分两步:第一步,先从4名男生中选出2人,有=6种选法;第二步,从2名女生中选出1人,有=2种选法.由分步乘法计数原理可得,共有=12种不同的选法.故选B.
5.B
解析分两类:(1)人脸识别方向不安排其他研究生,则有=240种不同的分配方向.
(2)人脸识别方向安排1名其他研究生,则有=120种不同的分配方向.
综上,共有240+120=360种不同的分配方向.
6.C
解析 由题意可知,向甲、乙、丙三所医院分配医生的人数有三种类型,分别为1,2,2;2,1,2;2,2,1.
因为甲医院要求至少有一名女医生,第一种方案共有=12种.
第二种方案分两种情况,甲医院有两名女医生、甲医院有一名女医生,共有=21种.
同理,第三种方案有21种.
所以共有12+21+21=54种不同的安排方法.故选C.
7.B
解析由题意可知,4开头的满足题意的偶数的个数为,5开头的满足题意的偶数的个数为,根据分类加法计数原理可得,比40000大的偶数共有=120个.故选B.
8.ACD
解析根据题意,若抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品,即抽出的3件产品中有2件合格品,1件不合格品,则合格品的取法有种,不合格品的取法有种,恰好有1件是不合格品的取法有种,故A正确,B错误;若抽出的3件中至少有1件是不合格品,有2种情况,①抽出的3件产品中有2件合格品,1件不合格品,有种取法;②抽出的3件产品中有1件合格品,2件不合格品,有种取法.则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有()种,故C正确;在100件产品中任选3件,有种取法,其中全部为合格品的取法有种,则抽出的3件中至少有1件是不合格品的方法有()种,故D正确.故选ACD.
9.96
解析若第一场比赛甲或乙出场,则最后一个出场的是甲或乙,故不同的出场方案有=48种;
若第一场比赛丙出场,最后一个出场的是甲或乙,故不同的出场方案有=48种.
根据分类加法计数原理,不同的出场方案共有48+48=96(种).
10.660
解析第一类,从8名学生中选1女3男,有=40种不同的选法,从4人中选2人作为队长和副队长有=12种不同的选法,故共有40×12=480种不同的选法;第二类,从8名学生中选2女2男,有=15种不同的选法,从4人中选2人作为队长和副队长有=12种不同的选法,故共有15×12=180种不同的选法.根据分类加法计数原理,共有480+180=660种不同的选法.
11.A
解析不考虑限制条件共有种,B最先汇报共有种,如果B不能最先汇报,而A,C,D按先后顺序汇报(不一定相邻)有=100种不同的安排.
12.C
解析3名干部可供选派,下乡到5个村蹲点指导工作,每个村都需要1名干部,每名干部至多去3个村,于是可以把5个村分为(1,1,3)和(1,2,2)两组.当为(1,1,3)时,有=60种不同的选派方案;当为(1,2,2)时,有=90种不同的选派方案.根据分类加法计数原理,可得不同的选派方案共60+90=150(种).故选C.
13.BC
解析13名医生,其中女医生6人,则男医生7人.
(方法1 直接法)若选派2男3女,则不同的选派方法有;若选派3男2女,则不同的选派方法有;若选派4男1女,则不同的选派方法有;若选派5男,则不同的选派方法有.由分类加法计数原理,知不同的选派方法种数为N=.
(方法2 间接法)13名医生,任取5人,减去抽调4名女医生和5名女医生的情况,即N=.故选BC.
14.B
解析根据题意有两种方式.
第一种方式,有一个地方去3名专家,剩下的2名专家各去一个地方,
共有×3×2×1=60(种)方法.
第二种方式,有一个地方去1名专家,另两个地方各去2名专家,
共有×3×2×1=90.
所以不同的分派方法的种数为60+90=150.
15.84
解析 先排1,1,5,8这四个数,当1和1不相邻时,有种排法,再插入两个0,共有种不同的排法;
当1和1相邻时,有种排法,再插入两个0,其中一个0插在两个1之间,共有种排法.
所以共有=84(种)不同的排法.
即小李可以设置84种不同密码.
16.1 560
解析 由题意,学习机的分配方法有3,1,1,1和2,2,1,1两类情况,
若按3,1,1,1分组再分配给4人,共有=20×24=480种安排方法.
若按2,2,1,1分组再分配给4人,共有=1080种安排方法.
故共有480+1080=1560(种)不同的安排方法.
17.A
解析在+…+中,从第一项到最后一项表示从装有n个白球,k个黑球的袋子里,取出m个球的所有情况取法总数的和,故式子表示的意思为从装有n+k个球中取出m个球的不同取法数.故选A.
18.26
解析①当甲、丙、丁顾客都不选C方式时,则甲有2种选择,当甲选择A方式时,其余2人有=2(种)选择;当甲选择B方式时,丙、丁可以都选D方式,或者其中一人选择D方式,另一人只能选A或B方式,有1+=5(种)选择.故有2+5=7(种)选择.
②当甲、丙、丁顾客都不选B方式时,则甲有2种选择,当甲选择A方式时,其余2人有=2(种)选择;当甲选择C方式时,丙、丁可以都选D方式,或者其中一人选择D方式,另一人只能选C或A方式,故有1+=5(种)选择.故有2+5=7(种)选择.
③当甲、丙、丁顾客都不选D方式时,若有人使用A方式,则有=6(种)选择;若没有人使用A方式,则有=6(种)选择.故有6+6=12(种)选择.
根据分类加法计数原理可得共有7+7+6+6=26(种)不同的结账方式.
1.有5名同学被安排在周一至周五值日,已知同学甲只能在周一值日,那么5名同学值日顺序的编排方案共有( )
A.12种B.24种
C.48种D.120种
2.(多选)下列等式中,成立的有( )
A.
B.
C.
D.=n
3.(2023全国乙,理7)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )
A.30种B.60种
C.120种D.240种
4.从4名男生和2名女生中选出2名男生和1名女生担任元旦联欢晚会的主持人,则不同的选法共有( )
A.6种B.12种C.24种D.18种
5.某大学计算机学院的丁教授在2022年人工智能方向招收了6名研究生.丁教授拟从人工智能领域的语音识别、人脸识别、数据分析、机器学习、服务器开发共5个方向展开研究.每个方向均有研究生学习,每位研究生只参与一个方向的学习.其中小明同学因录取分数最高主动选择学习人脸识别,其余5名研究生均表示服从丁教授统一安排,则这6名研究生不同的分配方向共有( )
A.480种B.360种
C.240种D.120种
6.(2023河北邯郸三模)某医院安排3名男医生和2名女医生去甲、乙、丙三所医院支援,每所医院安排一到两名医生,其中甲医院要求至少安排一名女医生,则不同的安排方法有( )
A.18种B.30种
C.54种D.66种
7.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有( )
A.144个B.120个
C.96个D.72个
8.(多选)在100件产品中,有98件合格品,2件不合格品,从这100件产品中任意抽出3件,则下列结论中正确的有( )
A.抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的方法有种
B.抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的方法有种
C.抽出的3件中至少有1件是不合格品的方法有()种
D.抽出的3件中至少有1件是不合格品的方法有()种
9.某校举办优质课比赛,决赛阶段共有6名教师参加.如果甲、乙、丙三人中有一人第一个出场,且最后一个出场的只能是甲或乙,则不同的出场方案共有 种.
10.从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人,组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有 种不同的选法.(用数字作答)
综合提升组
11.在一次学校组织的研究性学习成果报告会上,有A,B,C,D,E,F共6项成果要汇报,如果B成果不能最先汇报,而A,C,D按先后顺序汇报(不一定相邻),那么不同的汇报安排种数为( )
A.100B.120C.300D.600
12.某市践行“干部村村行”活动,现有3名干部下乡到5个村蹲点指导工作,每个村必须有1名干部,每名干部至多去3个村,则不同的选派方案共有( )
A.243种B.210种
C.150种D.125种
13.(多选)有13名医生,其中女医生6人,现从中抽调5名医生组成医疗小组前往疫区.若医疗小组至少有2名男医生,同时至多有3名女医生,设不同的选派方法种数为N,则下列等式能成为N的算式的是( )
A.
B.
C.
D.
14.“碳中和”是指企业、团体或个人等测算在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量,通过植树造林、节能减排等形式,以抵消自身产生的二氧化碳排放量,实现二氧化碳“零排放”.某“碳中和”研究中心计划派5名专家分别到A,B,C三地指导“碳中和”工作,每位专家只去一个地方,且每地至少派驻1名专家,则不同的分派方法的种数为( )
A.90B.150C.180D.300
15.(2023河北张家口一模)小李在2005年10月18日出生,他在设置手机的数字密码时,打算将自己出生日期的后6个数字0,5,1,0,1,8进行某种排列,从而得到密码.如果排列时要求两个1不相邻,两个0也不相邻,那么小李可以设置的不同密码有 个(用数字作答).
16.(2023湖南怀化二模)信息技术辅助教学已经成为教学的主流趋势,为了了解学生利用学习机学习的情况,某研究机构在购物平台上购买了6种主流的学习机,并安排4人进行相关数据统计,且每人至少统计1种学习机的相关数据(不重复统计),则不同的安排方法有 种.
创新应用组
17.从装有n+1个不同小球的口袋中取出m个小球(0
C.D.
18.已知某超市为顾客提供A,B,C,D四种结账方式.若顾客甲不能用D方式结账,顾客乙只能用A方式结账,顾客丙、丁用哪种方式结账都可以.这四名顾客购物后,恰好用了其中的三种结账方式,那么他们结账方式的可能情况有 种.
课时规范练60 排列与组合
1.B
解析因为同学甲只能在周一值日,所以除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日,所以5名同学值日顺序的编排方案共有=24(种).故选B.
2.BCD
解析=n(n-1)·…·(n-m+1)=,故A错误;根据组合数性质知B,C正确;=n,故D正确.故选BCD.
3.C
解析(方法1 直接法)甲在6种课外读物中任选2种,有种选法,乙先在甲选的2种课外读物中选1种,有种选法,再在甲选2种课外读物后剩下的4种中选1种有种选法,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有×2×4=120种.
(方法2 间接法)甲、乙两位同学各自选读2种课外读物共有种选法,甲、乙所选都不同有种选法,甲、乙所选都相同有种选法,故这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法有·(-1)=120种.故选C.
4.B
解析由题意,从4名男生和2名女生中选出2名男生和1名女生担任元旦联欢晚会的主持人,可分两步:第一步,先从4名男生中选出2人,有=6种选法;第二步,从2名女生中选出1人,有=2种选法.由分步乘法计数原理可得,共有=12种不同的选法.故选B.
5.B
解析分两类:(1)人脸识别方向不安排其他研究生,则有=240种不同的分配方向.
(2)人脸识别方向安排1名其他研究生,则有=120种不同的分配方向.
综上,共有240+120=360种不同的分配方向.
6.C
解析 由题意可知,向甲、乙、丙三所医院分配医生的人数有三种类型,分别为1,2,2;2,1,2;2,2,1.
因为甲医院要求至少有一名女医生,第一种方案共有=12种.
第二种方案分两种情况,甲医院有两名女医生、甲医院有一名女医生,共有=21种.
同理,第三种方案有21种.
所以共有12+21+21=54种不同的安排方法.故选C.
7.B
解析由题意可知,4开头的满足题意的偶数的个数为,5开头的满足题意的偶数的个数为,根据分类加法计数原理可得,比40000大的偶数共有=120个.故选B.
8.ACD
解析根据题意,若抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品,即抽出的3件产品中有2件合格品,1件不合格品,则合格品的取法有种,不合格品的取法有种,恰好有1件是不合格品的取法有种,故A正确,B错误;若抽出的3件中至少有1件是不合格品,有2种情况,①抽出的3件产品中有2件合格品,1件不合格品,有种取法;②抽出的3件产品中有1件合格品,2件不合格品,有种取法.则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有()种,故C正确;在100件产品中任选3件,有种取法,其中全部为合格品的取法有种,则抽出的3件中至少有1件是不合格品的方法有()种,故D正确.故选ACD.
9.96
解析若第一场比赛甲或乙出场,则最后一个出场的是甲或乙,故不同的出场方案有=48种;
若第一场比赛丙出场,最后一个出场的是甲或乙,故不同的出场方案有=48种.
根据分类加法计数原理,不同的出场方案共有48+48=96(种).
10.660
解析第一类,从8名学生中选1女3男,有=40种不同的选法,从4人中选2人作为队长和副队长有=12种不同的选法,故共有40×12=480种不同的选法;第二类,从8名学生中选2女2男,有=15种不同的选法,从4人中选2人作为队长和副队长有=12种不同的选法,故共有15×12=180种不同的选法.根据分类加法计数原理,共有480+180=660种不同的选法.
11.A
解析不考虑限制条件共有种,B最先汇报共有种,如果B不能最先汇报,而A,C,D按先后顺序汇报(不一定相邻)有=100种不同的安排.
12.C
解析3名干部可供选派,下乡到5个村蹲点指导工作,每个村都需要1名干部,每名干部至多去3个村,于是可以把5个村分为(1,1,3)和(1,2,2)两组.当为(1,1,3)时,有=60种不同的选派方案;当为(1,2,2)时,有=90种不同的选派方案.根据分类加法计数原理,可得不同的选派方案共60+90=150(种).故选C.
13.BC
解析13名医生,其中女医生6人,则男医生7人.
(方法1 直接法)若选派2男3女,则不同的选派方法有;若选派3男2女,则不同的选派方法有;若选派4男1女,则不同的选派方法有;若选派5男,则不同的选派方法有.由分类加法计数原理,知不同的选派方法种数为N=.
(方法2 间接法)13名医生,任取5人,减去抽调4名女医生和5名女医生的情况,即N=.故选BC.
14.B
解析根据题意有两种方式.
第一种方式,有一个地方去3名专家,剩下的2名专家各去一个地方,
共有×3×2×1=60(种)方法.
第二种方式,有一个地方去1名专家,另两个地方各去2名专家,
共有×3×2×1=90.
所以不同的分派方法的种数为60+90=150.
15.84
解析 先排1,1,5,8这四个数,当1和1不相邻时,有种排法,再插入两个0,共有种不同的排法;
当1和1相邻时,有种排法,再插入两个0,其中一个0插在两个1之间,共有种排法.
所以共有=84(种)不同的排法.
即小李可以设置84种不同密码.
16.1 560
解析 由题意,学习机的分配方法有3,1,1,1和2,2,1,1两类情况,
若按3,1,1,1分组再分配给4人,共有=20×24=480种安排方法.
若按2,2,1,1分组再分配给4人,共有=1080种安排方法.
故共有480+1080=1560(种)不同的安排方法.
17.A
解析在+…+中,从第一项到最后一项表示从装有n个白球,k个黑球的袋子里,取出m个球的所有情况取法总数的和,故式子表示的意思为从装有n+k个球中取出m个球的不同取法数.故选A.
18.26
解析①当甲、丙、丁顾客都不选C方式时,则甲有2种选择,当甲选择A方式时,其余2人有=2(种)选择;当甲选择B方式时,丙、丁可以都选D方式,或者其中一人选择D方式,另一人只能选A或B方式,有1+=5(种)选择.故有2+5=7(种)选择.
②当甲、丙、丁顾客都不选B方式时,则甲有2种选择,当甲选择A方式时,其余2人有=2(种)选择;当甲选择C方式时,丙、丁可以都选D方式,或者其中一人选择D方式,另一人只能选C或A方式,故有1+=5(种)选择.故有2+5=7(种)选择.
③当甲、丙、丁顾客都不选D方式时,若有人使用A方式,则有=6(种)选择;若没有人使用A方式,则有=6(种)选择.故有6+6=12(种)选择.
根据分类加法计数原理可得共有7+7+6+6=26(种)不同的结账方式.
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