2025届高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布课时规范练62随机事件与概率

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1.在一次抛硬币的试验中,某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验,发现正面朝上出现了40次,那么出现正面朝上的频率和概率分别为( )
A.0.4,0.4B.0.5,0.5
C.0.4,0.5D.0.5,0.4
2.某工厂生产了一批节能灯泡,这批产品按质量分为一等品、二等品、不合格品.从这批产品中随机抽取一件进行检测,设“抽到一等品”的概率为0.75,“抽到二等品”的概率为0.2,则“抽到不合格品”的概率为( )
C.0.8
3.(2023山东济宁一模)从1至6的6个整数中随机取3个不同的整数,其中恰有两个是偶数的概率为( )
A.B.
C.D.
4.从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )
A.B.
C.D.
5.(多选)掷两枚硬币,若记出现“两枚正面朝上”“两枚反面朝上”“一正一反”的概率分别为P1,P2,P3,则下列判断中,正确的是( )
A.P1=P2=P3
B.P1+P2=P3
C.P1+P2+P3=1
D.2P1=2P2=P3
6.抛掷一枚质地均匀的骰子的试验,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A+发生的概率为( )
A.B.
C.D.
7.已知事件A,B互斥,且事件A发生的概率P(A)=,事件B发生的概率P(B)=,则事件A,B都不发生的概率是 .
8.某班级分别从3名男生a1,a2,a3和2名女生b1,b2中各随机抽取1名学生组队参加知识竞赛,则男生a1和女生b1同时被抽中的概率为 .
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9.春节是中华民族的传统节日,在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸,而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿.某商家在春节前开展商品促销活动,顾客凡购物金额满80元,则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件,若有5名顾客都领取一件礼品,则他们中恰有3人领取的礼品种类相同的概率是( )
A.B.
C.D.
10.(多选)(2023山东烟台二中模拟)已知甲袋内有a个红球,b个黑球,乙袋内有b个红球,a个黑球(a,b∈N*),从甲、乙两袋内各随机取出1个球,记事件A=“取出的2个球中恰有1个红球”,B=“取出的2个球都是红球”,C=“取出的2个球都是黑球”,则( )
A.P(A+B)≤0.75
B.P(A)>P(B)
C.P(B)D.P(A+B)=P(A+C)
11.(多选)某研究机构为了实时掌握当地新增高速运行情况,在某服务区从小型汽车中抽取了80名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速(单位:km/h)分成六段:[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90],得到如图所示的频率分布直方图.下列结论正确的是( )
A.这80辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5
B.在该服务区任意抽取一辆车,估计车速超过75 km/h 的概率为0.65
C.若从样本中车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆,则至少有一辆车的车速在[65,70)的概率为
D.若从样本中车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆,则车速都在[65,70)内的概率为
12.(2023陕西西安二模)琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅.为弘扬中国传统文化,某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“八雅”知识讲座,每“雅”安排一节,连排八节,则“琴”“棋”“书”“画”互不相邻的概率为 .
13.写算,是一种格子乘法,也是笔算乘法的一种,用以区别筹算与珠算,它由明代数学家吴敬在其撰写的《九章算法比类大全》一书中提出,是从天元式的乘法演变而来.例如计算89×61,将被乘数89计入上行,乘数61计入右行,然后以乘数61的每位数字乘被乘数89的每位数字,将结果计入相应的格子中,最后从右下方开始按斜行加起来,满十向上斜行进一,如图,即得5 429.类比此法画出354×472的表格,若从表内的18个数字(含相同的数字,表周边数据不算在内)中任取2个数字,则它们之和大于10的概率为 .
14.(2023广西南宁二模)为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆,某学校开展了航天知识竞赛活动,共有100人参加了这次竞赛.已知所有参赛学生的成绩均位于区间[50,100],将他们的成绩(满分100分)分成五组,依次为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],制成如图所示的频率分布直方图.
(1)试估计这100人的竞赛成绩的平均数;
(2)采用按比例分配的分层随机抽样的方法,从竞赛成绩在[80,100]内的学生中随机抽取6人作为航天知识宣讲使者,再从第四组和第五组的使者中随机抽取2人作为组长,求这2人来自同一组的概率.
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15.从A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查,调查结果如下:
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.
课时规范练62 随机事件与概率
1.C
解析100次试验中有40次正面朝上,所以正面朝上的频率为=0.4.因为硬币质地均匀,所以正面朝上和反面朝上的概率都是0.5.故选C.
2.A
解析“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件,
所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.75+0.2=0.95.
“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件,故其概率为1-0.95=0.05.
故选A.
3.C
解析 由题意知所求概率P=.故选C.
4.C
解析从6张卡片中无放回随机抽取2张,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共15个,其中数字之积是4的倍数的样本点有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6),共6个,故所求概率为,故选C.
5.BCD
解析掷两枚硬币,出现“两枚正面朝上”的概率为P1=;出现“两枚反面朝上”的概率为P2=;出现“一正一反”的概率为P3=.故A错误,B,C,D正确.
6.C
解析抛掷一枚骰子的试验有6种等可能结果.依题意得P(A)=,P(B)=,
所以P()=1-P(B)=1-.
因为表示“出现5点或6点”的事件,所以事件A与互斥,从而P(A+)=P(A)+P()=.
故选C.
7.
解析因为事件A,B互斥,且P(A)=,P(B)=,则事件A,B至少有一件发生的事件为A+B,其概率为P(A+B)=P(A)+P(B)=,事件A,B都不发生的事件是A+B的对立事件,则其概率为1-P(A+B)=1-.
所以事件A,B都不发生的概率是.
8.
解析抽取1名男生、1名女生的样本空间Ω={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2)}.所以男生a1和女生b1同时被抽中的概率P=.
9.D
解析先考虑恰有3人领取的礼品种类相同,先从5人中选取3人有=10种,再从三类礼品中领取一件有=3种,另外2人从剩下的二类礼品中任意选择有2×2=4种,按照分步乘法计数原理,可得恰有3人领取的礼品种类相同时有10×3×4=120种不同的选择.又5名顾客各领取一件礼品有35=243种,故恰有3人领取的礼品种类相同的概率是.
10.BD
解析 若取出的2个球为1个红球1个黑球,其概率P(A)=.
若2个球都是红球,其概率P(B)=.
若2个球都是黑球,其概率P(C)==P(A),且P(B)=P(C),
故B正确,C错误;
而P(A+B)=P(A)+P(B)==1-≥1-=0.75,故A错误;
P(A+B)=P(A)+P(B)=P(A)+P(C)=P(A+C),D正确.故选BD.
11.ABC
解析根据题干中的频率分布直方图可知,这80辆小型车辆车速主要集中在[75,80),众数为=77.5,故A正确;车速超过75km/h 的概率为(0.06+0.05+0.02)×5=0.65,故B正确;车速在[60,70)内的车辆共有80×(0.01+0.02)×5=12(辆),车速都在[65,70)内的车辆有80×0.02×5=8(辆),所以任意抽取2辆,至少有一辆车的车速在[65,70)的概率为P=,故C正确;车速都在[65,70)内的概率为P=,故D错误.故选ABC.
12.
解析 由题意可知样本空间数N=,由插空法可知“琴”“棋”“书”“画”互不相邻的样本点数n=,
所以“琴”“棋”“书”“画”互不相邻的概率P=.
13.
解析画出354×472的表格,如图所示,则表内不同的数有0,1,2,3,5,6,8,
从中任取2个,共有种不同的取法,其中6与8各2个,3与5各1个,
从中任取2个,它们之和大于10的取法为(3,8),(5,6),(5,8),(6,8),(6,6),(8,8),
故所求概率为.
14.解 (1)依题意可得(0.015+a+0.035+0.025+0.005)×10=1,解得a=0.020.
根据频率分布直方图知,每组的频率依次为0.15,0.20,0.35,0.25,0.05,
则平均数的估计值为55×0.15+65×0.20+75×0.35+85×0.25+95×0.05=73.5,
所以这100人的竞赛成绩的平均数的估计值为73.5.
(2)由题意可知,竞赛成绩在[80,90),[90,100]两个组的人数之比为5∶1,
若采用分层随机抽样从中抽取6人,所以每组各抽取的学生人数分别为6×=5,6×=1.
从6人中随机抽取2人,共有=15种结果,
其中这2人来自同一组(记为事件M)的有=10种结果,则P(M)=.
所以这2人来自同一组的概率为.
15.解(1)共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),用频率估计概率,可得所求概率为0.44.
(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得频率分布表如下:
(3)记事件A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;记事件B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.
用频率估计概率及由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)>P(A2),故甲应选择L1;
P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)>P(B1),故乙应选择L2.所用时间/分钟
10~20
20~30
30~40
40~50
50~60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
所用时间/分钟
10~20
20~30
30~40
40~50
50~60
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1