2025届高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布课时规范练64离散型随机变量的分布列均值与方差

这是一份2025届高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布课时规范练64离散型随机变量的分布列均值与方差，共9页。试卷主要包含了已知随机变量X的分布列如下，设随机变量X的分布列如下表,，已知随机变量X的分布列如下表,，1B，已知排球发球考试规则等内容，欢迎下载使用。

1.(2023广东广州二模)已知随机变量X的分布列如下:
若E(X)=,则m=( )
A.B.
C.D.
2.设随机变量X的分布列如下表,则P(|X-2|=1)=( )
A.B.C.D.
3.设随机变量X的分布列如下表,
则方差D(X)=( )
A.0B.1C.2D.3
4.设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4),又X的均值为E(X)=3,则a+b=( )
A.B.0C.-D.
5.已知随机变量X的分布列如下表,
若E(X)=1,则D(X)=( )
A.0.1B.0.2C.0.4D.0.6
6.(多选)设随机变量ξ的分布列为P=ak(k=1,2,3,4,5),则( )
A.15a=1
B.P(0.5<ξ<0.8)=0.2
C.P(0.1<ξ<0.5)=0.2
D.P(ξ=1)=0.3
7.已知随机变量ξ的分布列如下表,则x= .
8.(2023广东深圳二模)某校体育节组织定点投篮比赛,每位参赛选手共有3次投篮机会.统计数据显示,每位选手投篮投进与否满足:若第k次投进的概率为p(0(1)若选手甲第1次投进的概率为p(0(2)设选手乙第1次投进的概率为,每投进1球得1分,投不进得0分,求选手乙得分X的分布列与均值.
综合提升组
9.已知排球发球考试规则:每位考生最多可发球三次,若发球成功,则停止发球,否则一直发到3次结束为止.某考生一次发球成功的概率为p(01.75,则p的取值范围为 ( )
A.B.
C.D.
10.(多选)已知m,n均为正数,随机变量X的分布列如下表,
则下列结论一定成立的是( )
A.P(X=1)B.E(X)=1
C.mn≤
D.D(X+1)<1
11.(多选)袋内有形状、大小完全相同的2个黑球和3个白球,从中不放回地每次任取1个小球,直至取到白球后停止取球,设取球次数为ξ,则下列说法正确的是( )
A.抽取2次后停止取球的概率为
B.停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为
C.取球次数ξ的均值为2
D.取球次数ξ的方差为
12.已知随机变量X的分布列为
已知a>0,b>0,当D(X)最大时,E(X)= .
13.现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则P(ξ=2)= ,E(ξ)= .
14.已知某盒子中共有6个小球,编号为1号至6号,其中有3个红球、2个黄球和1个绿球,这些球除颜色和编号外完全相同.
(1)若从盒中一次随机取出3个球,求取出的3个球中恰有2个颜色相同的概率;
(2)若从盒中逐一取球,每次取后立即放回,共取4次,求恰有3次取到黄球的概率;
(3)若从盒中逐一取球,每次取后不放回,记取完黄球所需次数为X,求随机变量X的分布列及均值E(X).
15.(2023广东梅州统考三模)某校高三1 000名学生的一模考试数学成绩频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是[30,50),[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150].
(1)求图中a的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这1 000名学生的一模考试数学成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(3)从一模数学成绩位于[90,110),[110,130)的学生中采用分层随机抽样抽取8人,再从这8人中随机抽取2人,这2人中一模数学成绩在区间[90,110)的人数记为X,求X的分布列及均值.
创新应用组
16.(2023河北邯郸三模)邯郸是历史文化名城,被誉为“中国成语典故之都”.为了让广大市民更好地了解并传承成语文化,当地文旅局拟举办猜成语大赛.比赛共设置n道题,参加比赛的选手从第一题开始答题,一旦答错则停止答题,否则继续,直到答完所有题目.设某选手答对每道题的概率均为p(0(1)记答题结束时答题个数为X,当n=3时,若E(X)>1.75,求p的取值范围.
(2)①记答题结束时答对个数为Y,求E(Y);
②当p=时,求使E(Y)>4的n的最小值.
(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)
课时规范练64 离散型随机变量的分布列、均值与方差
1.B
解析 由已知得解得m=.故选B.
2.C
解析由+m+=1,得m=,所以P(|X-2|=1)=P(X=1)+P(X=3)=.
3.B
解析由题得,a=1-0.1-0.3-0.4=0.2,则E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4=2,E(X2)=1×0.2+4×0.3+9×0.4=5,D(X)=E(X2)-[E(X)]2=5-4=1,故选B.
4.A
解析依题意可得X的分布列为
依题意得,
解得a=,b=0,故a+b=.故选A.
5.C
解析由分布列的性质,可得0.2+a+b=1,解得a+b=0.8.①
∵E(X)=1,∴0×0.2+1×a+2×b=1,即a+2b=1,②
联立①②,解得a=0.6,b=0.2.
D(X)=(0-1)2×0.2+(1-1)2×0.6+(2-1)2×0.2=0.4.
故选C.
6.ABC
解析随机变量ξ的分布列为P=ak(k=1,2,3,4,5),Pξ=+Pξ=+Pξ=+Pξ=+P(ξ=1)=a+2a+3a+4a+5a=15a=1,解得a=,故A正确;P(0.5<ξ<0.8)=P=3×=0.2,故B正确;P(0.1<ξ<0.5)=P+P+2×=0.2,故C正确;P(ξ=1)=5×≠0.3,故D错误.故选ABC.
7.
解析由题得,x2+x+=1,化简得x+x-=0,解得x=或x=-.因为0≤x≤1,所以x=.
8.解 (1)记选手甲第k次投进为事件Ak(k=1,2,3),未投进为事件,选手甲至少投进一次这一事件的概率为1-P().
P()=(1-p)1-1-=1-,
故选手甲至少投进一次的概率为1-P()=.
(2)得分X等于乙投进的次数,则X的可能取值为0,1,2,3.
记选手乙第k次投进为事件Bk(k=1,2,3),
由题意可知P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=,P(X=0)=P()=,
投进1次对应事件为B1B2B3,P(X=1)=,
投进2次对应事件为B1B2+B1B3+B2B3,P(X=2)=,
投进3次对应事件为B1B2B3,P(X=3)=.所以X的分布列为
选手乙得分的均值E(X)=0×+1×+2×+3×.
9.A
解析由题可知P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2,则E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2>1.75,解得p>或p<,由p∈(0,1),可得p∈.故选A.
10.BCD
解析由分布列的性质,得m+n+m=2m+n=1,P(X=1)=n,P(X≠1)=2m.当m=,n=时,P(X=1)=P(X≠1),故选项A错误;因为E(X)=n+2m=1,故选项B正确;因为m,n均为正数,所以1=n+2m≥2,即mn≤,当且仅当n=2m=时,等号成立,故选项C正确;由n=1-2m>0,得011.BD
解析由题意可知随机变量ξ的可能取值有1,2,3,则P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=.对于A选项,抽取2次后停止取球的概率为P(ξ=2)=,A选项错误;对于B选项,停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为P(ξ=1)+P(ξ=2)=,B选项正确;对于C选项,取球次数ξ的均值为E(ξ)=1×+2×+3×,C选项错误;对于D选项,取球次数ξ的方差为D(ξ)=,D选项正确.故选BD.
12.
解析由题知b=1-3a,E(X)=2a+2(1-3a)=2-4a,则D(X)=(4a-2)2·a+(4a-1)2·2a+(4a)2·(1-3a)=-16a2+6a.故当a=时,D(X)最大,此时E(X)=.
13.
解析P(ξ=2)=,
ξ的所有可能取值为1,2,3,4.
P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,
P(ξ=3)=,P(ξ=4)=,
故E(ξ)=1×+2×+3×+4×.
14.解(1)从盒中一次随机取出3个球,记取出的3个球中恰有2个颜色相同为事件A,则事件A包含事件“3个球中有2个红球”和事件“3个球中有2个黄球”,
由古典概型的概率公式和互斥事件的概率加法公式得P(A)=.
故取出的2个球颜色相同的概率为.
(2)盒中逐一取球,取后立即放回,每次取到黄球的概率为,记“取4次恰有3次黄球”为事件B,则P(B)=.
故取4次恰有3次黄球的概率为.
(3)X的可能取值为2,3,4,5,6,
则P(X=2)=,P(X=3)=,
P(X=4)=,P(X=5)=,
P(X=6)=,
所以随机变量X的分布列为
所以随机变量X的均值为E(X)=2×+3×+4×+5×+6×.
15.解 (1)由题干中频率分布直方图可知,(0.0025+2a+0.0075+2×0.0150)×20=1,所以a=0.0050.
(2)该1000名学生的数学成绩的平均分约为
40×0.05+60×0.15+80×0.3+100×0.3+120×0.1+140×0.1=91.
(3)由(1)知,a=0.0050,所以一模数学成绩在区间[90,110)与[110,130)的人数之比为3∶1,
所以抽取的8人中有6人的数学成绩在区间[90,110)内,所以X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,
所以X的分布列为
E(X)=0×+1×+2×.
16.解 (1)根据题意,X可取1,2,3,
P(X=1)=1-p,
P(X=2)=p(1-p),P(X=3)=p2,
E(X)=1-p+2p(1-p)+3p2=p2+p+1.
由E(X)=p2+p+1>1.75,得p>.
又0(2)①P(Y=k)=pk(1-p),其中k=0,1,2,…,n-1,P(Y=n)=pn,
Y的均值为E(Y)=p(1-p)+2p2(1-p)+…+(n-1)pn-1(1-p)+npn
=(1-p)[p+2p2+3p3+…+(n-1)pn-1]+npn.
设Sn=p+2p2+3p3+…+(n-1)pn-1,
利用乘公比错位相减,可得(1-p)Sn=p+p2+p3+…+pn-1-(n-1)pn,
所以E(Y)=p+p2+p3+…+pn-1-(n-1)pn+npn=p+p2+p3+…+pn-1+pn=.
②依题意,>4,
即,即n+1>≈9.848,
所以n>8.848.又n∈N*,故n的最小值为9.X
1
2
P
m
n
X
1
2
3
4
P
m
X
0
1
2
3
P
0.1
a
0.3
0.4
X
0
1
2
P
0.2
a
b
ξ
0
1
2
P
x2
x
X
0
1
2
P
m
n
m
X
0
1
2
P
a
2a
b
X
1
2
3
4
P
a+b
2a+b
3a+b
4a+b
X
0
1
2
3
P(X)
X
2
3
4
5
6
P
X
0
1
2
P