2025届高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布课时规范练65二项分布超几何分布正态分布

这是一份2025届高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布课时规范练65二项分布超几何分布正态分布，共7页。试卷主要包含了2B，已知X~B,且E=6,则D=等内容，欢迎下载使用。

1.(2023浙江宁波二模)设随机变量ξ服从正态分布,ξ的正态曲线如图所示,若P(ξ<0)=p,则P(0<ξ<1)与D(ξ)分别为( )

A.-p,B.p,
C.-p,D.p,
2.已知随机变量X服从正态分布N(1,σ2),若P(X≤0)=0.2,则P(X≤2)=( )
A.0.2B.0.4
C.0.6D.0.8
3.已知X~B(20,p),且E(X)=6,则D(X)=( )
A.1.8B.6
C.2.1D.4.2
4.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数,则P(ξ≤1)=( )
A.B.
C.D.
5.已知随机变量X服从正态分布N(6,σ2)(σ>0),若P(X≥3)=0.8,则P(3≤X≤9)=( )
A.0.2B.0.4
C.0.6D.0.8
6.一袋中装有5个红球和3个黑球(除颜色外无区别),任取3球,记其中黑球个数为X,则E(X)=( )
A.B.
C.D.
7.(多选)某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高,得出株高X(单位:cm)服从正态分布,其正态密度函数为f(x)=,x∈(-∞,+∞),则下列说法中正确的是( )
A.该地水稻的平均株高为100 cm
B.该地水稻株高的方差为10
C.随机测量一株水稻,其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大
D.随机测量一株水稻,其株高在[80,90]和在[100,110](单位:cm)的概率一样大
8.在一次投篮游戏中,每人投篮3次,每投中一次记10分,没有投中扣5分,某人每次投中目标的概率为,则此人恰好投中2次的概率为 ,得分的方差为 .
9.某企业加工了一批新零件,其综合质量指标值X服从正态分布N(80,σ2),且P(X≤60)=0.2,现从中随机抽取该零件500个,估计综合质量指标值位于[60,100]的零件个数为 .
10.某种水果按照果径大小可分为四类:标准果、优质果、精品果、礼品果,某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个,利用水果的等级分类标准得到的数据如下:
(1)若将频率视为概率,从这100个水果中有放回地随机抽取3个,求恰好有2个水果是礼品果的概率;(结果用分数表示)
(2)用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个,再从抽取的10个水果中随机抽取2个,若X表示抽到的精品果的数量,求X的分布列和均值.
综合提升组
11.某射击运动员每次击中目标的概率固定,他准备进行n(n∈N*)次射击,设击中目标的次数为X,已知P(X=1)=P(X=n-1),且E(X)=4,则D(X)=( )
A.B.C.1D.2
12.(多选)掷一个质地不均匀的圆形卡片6次,每次掷出正面朝上的概率均为,恰好出现k次正面朝上的概率记为Pk,则下列说法正确的是( )
A.P1=P5
B.P1C.Pk=1
D.P0,P1,P2,…,P6中最大值为P4
13.在某次大型联考中,所有学生的数学成绩X~N(100,225).若成绩不高于m+10的同学人数和不低于2m-20的同学人数相同,则整数m的值为 .
14.袋子中有5个大小质地完全相同的小球,其中有3个红球,2个黄球,从袋中一次性随机取出3个小球后,再将小球放回.则“取出的3个小球中有2个红球,1个黄球”的概率为 ,记“取出的3个小球中有2个红球,1个黄球”发生的次数为X,若重复5次这样的实验,则X的均值为 .
15.(2023浙江温州三模)某校开展“学习二十大,永远跟党走”网络知识竞赛.每人可参加多轮答题活动,每轮答题情况互不影响.每轮比赛共有两组题,每组都有两道题,只有第一组的两道题均答对,方可进行第二组答题,否则本轮答题结束.已知甲同学第一组每道题答对的概率均为,第二组每道题答对的概率均为,两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章.
(1)记甲同学在一轮比赛答对的题目数为X,请写出X的分布列,并求E(X);
(2)若甲同学进行了10轮答题,试问获得多少枚纪念章的概率最大.
创新应用组
16.某省高考改革:高考总成绩由语文、数学、外语3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级.参照正态分布原则,确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时,将A至E等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间,得到考生的等级成绩.某校高一年级共2 000人,为给高一学生合理选科提供依据,对六个选考科目进行测试,其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N(60,169).
(1)估计物理原始成绩在区间[47,86]的人数;
(2)按高考改革方案,若从全省考生中随机抽取3人,记X表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数,求X的分布列和均值.
(附:若随机变量ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.997 3)
课时规范练65 二项分布、超几何分布、正态分布
1.C
解析 根据题意,且P(ξ<0)=p,则P(0<ξ<1)=-p,由正态曲线得ξ~N1,,所以D(ξ)=.故选C.
2.D
解析因为P(X≤0)=0.2,所以P(X≤2)=1-P(X≤0)=1-0.2=0.8.故选D.
3.D
解析因为X服从二项分布X~B(20,p),所以E(X)=20p=6,得p=0.3,故D(X)=np(1-p)=20×0.3×0.7=4.2.故选D.
4.D
解析P(ξ≤1)=1-P(ξ=2)=1-.
5.C
解析因为X服从正态分布N(6,σ2)(σ>0),P(X≥3)=0.8,所以P(X≥9)=P(X≤3)=1-P(X≥3)=0.2,所以P(3≤X≤9)=1-P(X≤3)-P(X≥9)=0.6.故选C.
6.A
解析由题意可知,随机变量X的可能取值有0,1,2,3,则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.故随机变量X的均值为E(X)=0×+1×+2×+3×.故选A.
7.AC
解析f(x)=,故μ=100,σ2=100,故A正确,B错误;P(X≥120)=P(X≤80)>P(X≤70),故C正确;根据正态分布的对称性知P(100≤X≤110)=P(90≤X≤100)>P(80≤X≤90),故D错误.故选AC.
8. 150
解析由题意可知,记X为投中目标的次数,得分为Y,则X~B3,,所以在3次射击中,此人恰好投中2次的概率为P(X=2)=×2×1-=.由题意可知,Y=15X-15,所以得分的方差为D(Y)=D(15X-15)=152D(X)=15×15×3××1-=150.
9.300
解析由题意,这种新零件的综合质量指标值X服从正态分布N(80,σ2),则正态分布的对称轴为x=80.根据正态分布的对称性,得P(60≤X≤100)=2(P(X≤80)-P(X≤60))=2×(0.5-0.2)=0.6.
所以从中随机抽取该零件500个,估计综合质量指标值位于[60,100]的零件个数为500×0.6=300.
10.解(1)设从这100个水果中随机抽取1个是礼品果为事件A,则P(A)=,现有放回地随机抽取3个,设抽到礼品果的个数为X,则X~B,故恰好有2个水果是礼品果的概率为P(X=2)=.
(2)用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个,其中精品果有4个,非精品果有6个,再从中随机抽取2个,则精品果的数量X服从超几何分布,
所有可能的取值为0,1,2,
则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.
故X的分布列为
所以E(X)=1×+2×.
11.D
解析设该射击运动员每次击中目标的概率为p(012.BD
解析P1=,P5=×5×,P113.70
解析由题意P(X≤m+10)=P(X≥2m-20).
又X~N(100,225),所以m+10+2m-20=200,所以m=70.
14. 3
解析设事件A为“取出的3个球中有2个红球,1个黄球”,则P(A)=.
由题意可得,重复5次这样的实验,事件A发生的次数X服从二项分布,即X~B,
则E(X)=5×=3.
15.解 (1)由题意,X可取0,1,2,3,4.
P(X=0)=1-×1-=,
P(X=1)=×1-=,
P(X=2)=×1-×1-=,
P(X=3)=×1-=,
P(X=4)=,
则X的分布列为:
E(X)=0×+1×+2×+3×+4×.
(2)每一轮获得纪念章的概率为P=P(X=3)+P(X=4)=,
每一轮相互独立,则每一轮比赛可视为二项分布,
设10轮答题获得纪念章的数量为Y,则Y~B10,,
P(Y=k)=,k=0,1,2,…,10.
由
得
解得≤k≤.
又k=0,1,2,…,10,得k=4,则获得4枚纪念章的概率最大.
16.解(1)因为物理原始成绩ξ~N(60,132),
所以P(47≤ξ≤86)=P(47≤ξ≤60)+P(60≤ξ≤86)=P(60-13≤ξ≤60+13)+P(60-2×13≤ξ≤60+2×13)≈=0.8186.所以物理原始成绩在[47,86]的人数约为2000×0.8186≈1637(人).
(2)由题意得,随机抽取1人,其成绩在区间[61,80]内的概率为.
所以随机抽取三人,则X的所有可能取值为0,1,2,3,且X~B,
所以P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=.
所以X的分布列为
所以均值E(X)=3×.等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数
10
30
40
20
X
0
1
2
P
X
0
1
2
3
4
P
X
0
1
2
3
P