北京市西城区北京师范大学第二附属实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

这是一份北京市西城区北京师范大学第二附属实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题，共9页。试卷主要包含了已知数列满足，记，，，则，已知函数，，下列说法不正确的是等内容，欢迎下载使用。
班级__________姓名__________学号__________成绩__________
考生须知：
1．本试卷共4页，共三道大题，21道小题，答题卡共4页，满分150分，考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号．
3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．已知等差数列中，，，则（ ）
A．8B．9C．12D．18
2．已知数列的前项和，则（ ）
A．16B．32C．48D．64
3．下列函数中，图像存在与轴平行的切线的是（ ）
A．B．C．D．
4．函数的导函数为（ ）
A：B．
C．D．
5．已知，均为等比数列，则下列各项中不一定为等比数列的是（ ）
A．B．C．D．
6．已知数列满足：．若，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知为无穷等差数列，则“存在，且，使得”是“存在且，使得”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．记，，，则（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数，记，下列说法中正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．在上单调递减
C．在上单调递增，在上单调递减
D．在上单调递减，在上单调递增
10．已知函数，，下列说法不正确的是（ ）
A．若，则在上单调递增
B．若0为的极大值点，则
C．的图像经过一个定点
D．若，则方程有三个不相等的实数根
二、填空题（本大题共5小题，、每小题5分，共25分）
11．已知等比数列中，，则的公比为_________．
12．若函数在区间上的平均变化率恰等于其在处的瞬时变化率，则_________；_________．
13．设等差数列的公差为，前n项和为，已知．
（1）若，则_________；
（2）若，则的最小值为_________．
14．已知函数，则的极大值为_________；的单调递减区间为_________．
15．设为无穷数列，记，其中为常数且．给出下列四个结论：
①若，，则为单调递增数列；
②若，，则为单调递减数列；
③若，则对任意且，均存在最大项；
④若，则对任意且，均存在最小项．
其中所有正确结论的序号是_________．
三、解答题（本大题共6小题，共85分）
16．（本小题满分14分）
已知函数．
（I）求在处的切线方程；
（II）求的单调区间和极值．
17．（本小题满分13分）
己知数列满足：，且对任意，都有．
（I）直接写出的值；
（II）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．
18．（本小题满分15分）
己知为等差数列，为等比数列，，．
（I）求和的通项公式；
（II）求的前n项和；
（III）若对任意，有恒成立，求实数的最小值．
19．（本小题满分13分）
某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划再修建一条连接两条公路、贴近山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为，计划修建的公路为，如图所示．已知M，N为的两个端点，点到的距离分别为20千米和5千米，点到的距离分别为4千米和25千米，分别以所在的直线为x，y轴，建立平面直角坐标系．假设曲线符合函数（其中a，k为常数）模型．
（I）求a，k的值；
（II）设公路l与曲线C相切于点P，点P的横坐标为t．
①求公路l所在直线的方程；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求如最短长度．
20．（本小题满分15分）
已知函数．
（I）当时，求的零点；
（II）讨论在上的最大值；
（III）是否存在实数，使得对任意，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
21．（本小题满分15分）
若项数为的数列，，…，满足：，，且存在，使得则称数列具有性质．
（I）（1）若，写出所有具有性质的数列；
（2）若，，写出一个具有性质的数列；
（II）若，数列具有性质，求的最大项的最小值；
（III）已知数列，均具有性质，且对任意，当时，都有，．记集合，，求中元素个数的最小值．
参考答案
一、选择题（每小题4分，共40分）
二、填空题（每小题5分，共25分）
三、解答题（共35分）
16．解：（I）的定义域为，．
，．
因此，在处的切线方程为：．
化简得．
（II），
令，解得或3．
当变化时，，的变化情况如下表：
因此，的单调递增区间为，；单调递减区间为，
的极大值为，极小值为．
17．解：（I），，．
（II）猜想：
下用数学归纳法证明：
①当时，成立．
②假设时成立，即：．
则当时：．
故对也成立．
由①②，对任意成立，即．
18．解：（I）设的公差为d，的公比为．
由题知：．
解得：，，则，．
，解得：，．
因为各项均为正数，所以，，．
（II）记的前n项和为．
．
（III）由题意，恒成立．记，则．
当时，；当时，．
因此．因此的最小值为2．
19．解：（I）由题意，，解得．
（II）曲线，．．
曲线在处的切线方程为，即．
切线与坐标轴的交点为，．
公路的长度满足：．
根据均值不等式，，
当且仅当，即时取等．
所以当时，公路的长度最短，最短长度为千米．
20．解：的定义域为．
（I）当时，，零点为．
（II）．
令，则．
在区间内，
当（即）时，在上单调递减，．
当（即）时，在上，单调递增，．
当（即）时，在上单调递增，在上单调递减，．
综上：（略）
（III）由（II）知在上，．
构造函数，由题意，应使．．
令，得．
所以．
所以使的实数只有，即的取值范围是．
21．解：（I）①：1，2，1或1，3，1或1，3，2；
②：1，2，4，3；（或：1，3，4，3，：1，3，5，3）
（II）当时，．
由，累加得；①
由，累加得．②
得．
又，所以．
所以数列的最大项的最小值为1013，
一个满足条件的数列为
（III），，…，，累加得．
又，所以．
同理，．
所以，．
因为，
所以．
所以中元素个数的最小值为3．
当时，一组满足条件的数列为
此时．
当时，由题意，和只能均为1，3，2，结论仍成立．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
D
A
A
B
C
B
D
题号
11
12
13
14
15
答案
；
；
2；
；，
②③④
3
+
0
-
0
+
极大值
极小值
+
0
-
极大值
1
-
0
+
极小值