河南省郑州市基石中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

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1．A
【分析】先求导，令导函数值为3，解方程即可.
【详解】函数定义域为，，则，
解得或（舍去）.
故选：A.
2．D
【分析】
根据已知列出事件和事件的结果，求出，，然后利用条件概率公式求解即可.
【详解】
掷一个均匀的骰子，有，，，，，共种结果，
事件包含点数为，共种结果，所以；
事件包含点数为共种结果，所以，
所以．
故选：D
3．B
【分析】利用捆绑法即得.
【详解】由题意利用捆绑法求解，甲、乙两人必须相邻的方法数为种．
故选：．
4、B
【分析】利用为等差数列可求的值.
【详解】因为为等差数列，为其前项和，
故，
所以，解得.
故选：B.
5．B
【分析】由已知结合正态分布曲线的对称性即可求解．
【详解】，且，
，且，
．
故选B．
【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
6．B
【分析】写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，再代入通项即可得解.
【详解】的展开式的通项为，
令，得，所以常数项为．
故选：B．
7．C
【分析】首先设切点为，利用导数的几何意义得到，从而得到直线方程为，再将切点代入直线求解即可.
【详解】设切点为，，则，
所以直线方程为.
又因为在直线上，所以，解得.
所以.
故选：C
8．B
【分析】用赋值法即可求解.
【详解】因为，
令得， ①，
令得， ②，
①②得，，
所以.
故选：B
9．AC
【分析】根据二项分布的期望、方差公式计算可得；
【详解】解：因为，所以，．
故选：AC
10．AC
【分析】
只需把分别代入数列通项公式检验即得.
【详解】
对于A项，分别把代入，即得，故A项正确；
对于B项，把代入即得，与数列不符，故B项错误；
对于C项，分别把代入，即得，故C项正确；
对于D项，把代入即得，与数列不符，故D项错误.
故选：AC.
11．AB
【分析】当 时，求出函数的导数，判断函数单调性，求得极值，判断A;根据导数的几何意义可求得参数的值，判断B;利用导数与函数单调性的关系可得不等式，求得a的范围，判断C;根据导数的几何意义，利用斜率关系，列出相应等式，化简可得，判断D.
【详解】当 时, ,则，
当或时，，递增，当时，，递减，
故时，取得极大值 ，A正确；
由可知，若，的斜率为2，
则，故B正确；
若在上单调递增，则恒成立，
即 ，当时，在上单调递增，
故，C错误；
若存在过点P的直线与曲线相切于点，则，
则的斜率为，则 ，
即，
即，即，
故，D错误，
故选：AB.
12．-1
【分析】求出函数的f（x）的导数f′（x），代入即可得到结论．
【详解】解：函数的f（x）的导数f′（x）＝12csx，
则f′（0）＝12cs0＝12＝1，
故答案为1
【点睛】本题主要考查函数的导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，比较基础．
13．(0，)
【分析】对函数求导后，由题意可知在有2个不同的零点，从而可得方程在上有两个不同的实根，再结二次函数的性质可求得结果
【详解】解：因为函数有两个不同的极值点，
所以在有2个不同的零点，
所以方程在上有两个不同的实根，
所以，解得，
故答案为：(0，)
14．9
【解析】先由，利用性质计算出，然后利用对数的运算性质计算即可.
【详解】∵为正项等比数列，∴若都有
∴
又，∴即，∴
∴
=2+2+2+2+1
=9
故答案为：9
【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质．
15．(1)
(2)
【分析】（1）由表格数据直接计算平均数即可；
（2）根据表格数据可求得样本中心点，代入回归方程即可求得.
【详解】（1）.
（2）由表格数据知：，
，解得：.
16．（1）答案见解析；（2）有的把握认为喜爱打篮球与性别有关．
【分析】（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为，可得喜爱打篮球的学生，从而即可补充列联表；
（2）利用参考公式求出，然后对照临界值表，即可得答案.
【详解】解：（1）因为在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为，
所以喜爱打篮球的学生共有人，
所以列联表补充如下：
（2）∵，
∴有的把握认为喜爱打篮球与性别有关．
17．（1）126；（2）5789
18．(1)，；
(2)
【分析】（1）由题意，列出关于公差与公比的方程组，求解方程组，然后根据等差、等比数列的通项公式即可得答案；
（2）由（1）可得，利用分组求和法及等比、等差数列的前n项和公式即可求解.
【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，
由，可得，
由题意，，整理得，
解得或（舍去），则，
所以，；
（2）由（1）可得：，
.
因为在上单调递增，所以可得：
，所以，
当时，，
当时，，
故满足的最小的正整数n的值为.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意得到，，从而得到，再解方程组即可.
（2）根据题意得到在上有两个不相等的实数根，从而得到，再解不等式组即可.
（3）根据题意得到，设，得到，根据，再利用二次函数的性质得到，，从而得到，解不等式即可.
【详解】（1）∵，又是奇函数，∴，
，∴解得，∴.
经验证，函数满足定义域，成立，
所以.
（2）方程在上有两个不同的根，
即在上有两个不相等的实数根，
需满足，解得.
（3）有题意知，
令
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
∴
∵函数的对称轴为，
∴函数在上单调递增.
当时，；当时，；
即，
又∵对都有恒成立，
∴，
即，
解得，又∵，
∴的取值范围是.
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生
20
5
25
女生
10
15
25
合计
30
20
50