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重庆市第十一中学校2024届九年级中考一诊数学试卷（含解析）
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这是一份重庆市第十一中学校2024届九年级中考一诊数学试卷（含解析），共31页。试卷主要包含了作图请一律用2B铅笔完成；等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．试题卷上各题的答案用签字笔书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图（包括作辅助线）请一律用2B铅笔完成；
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列各数中是无理数（ ）
A. 1.010010001B. C. D.
答案：C
解析：是无理数，
1.010010001，，是有理数，
故选：C．
2. 如图，由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：解：这个几何体俯视图是：
故选：B．
3. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A. 图像位于第二、四象限
B. 图像与坐标轴有公共点
C. 图像所在的每一个象限内，随的增大而减小
D. 图像经过点，则
答案：C
解析：解：A．的图像位于第一、三象限，故该选项不符合题意；
B． 的图像与坐标轴没有有公共点，故该选项不符合题意；
C． 图像所在的每一个象限内，随的增大而减小，故该选项符合题意；
D． 由的图像经过点，则，计算得或，故该选项不符合题意．
故选C．
4. 如图，△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB：OE＝2：3，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（ ）
A. 2B. 6C. 8D. 9
答案：D
解析：解：∵△ABC与△DEF是位似图形， OB：OE＝2：3，
∴S△ABC:S△DEF=(2:3)2=4:9，
∵△ABC的面积为4，
∴S△DEF=9
故选D．
5. 如图，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解：∵，，
∴，
∴．
故选：A．
6. 估计的值应在（ ）
A. 4和5之间B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间
答案：D
解析：解：，
∵，
∴，
∴的值应在7和8之间，
故选：D．
7. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 （ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：由图可得，
甲烷的化学式中的有1个，有（个，
乙烷的化学式中的有2个，有（个，
丙烷的化学式中的有3个，有（个，
，
十二烷的化学式中的有12个，有（个，
即十二烷的化学式为，
故选：C．
8. 如图，正五边形内接于，连接，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：∵，
∴，
故选D．
9. 如图，矩形中，点为边的中点，连接，过作交于点，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：延长，交的延长线于点，如图所示：
在矩形中，，，
，
为边中点，
，
在和中，
，
∴，
，
，
垂直平分，
，
，
∵，
，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
10. 对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：．
①对－2，3，5，9进行“差绝对值运算”的结果是35；
②x，，5的“差绝对值运算”的最小值是；
③a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种；
以上说法中正确的个数为（ ）
A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个
答案：C
解析：①对，3，5，9进行“差绝对值运算”得：，
故①正确；
②对，，5进行“差绝对值运算”得：，
表示的是数轴上点到和5的距离之和，
的最小值为，
，，5的“差绝对值运算”的最小值是：，故②不正确；
对，，进行“差绝对值运算”得：，
当，，，；
当，，，；
当，，不可能；
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，不可；
当，，，；
，，的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有7种，
故③不正确，
综上，故只有1个正确的．
故选：C．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 计算：_______．
答案：
解析：解：原式
故答案为：．
12. 如图，用两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配出紫色，那么可配成紫色的概率是 ___．
答案：
解析：解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有6种等可能出现的结果，其中能配成紫色的有2种，
所以，能配成紫色的概率为，
故答案为：．
13. 一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为，则这个正多边形的边数为______．
答案：6
解析：解：这个正多边形的外角为，
所以这个正多边形为，
即这个正多边形为正六边形，边数为6，
故答案为：6．
14. 若关于x的不等式组的解集为，关于y的分式方程有整数解，则满足条件整数a的乘积为_______．
答案：
解析：解不等式：，得：，
解不等式：，得：，
不等式组的解集为，
，即：，
解关于的分式方程，
得，
分式方程的解为整数解，
为整数，且，，即，，
∴或，
解得整数的值有0,2,3,,
所有满足条件的整数的值有：2，，共2个．
∴满足条件整数a的乘积为，
故答案为：．
15. 如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是_____．
答案：
解析：解：阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积，
则阴影部分的面积是：，
故答案为：6π．
16. 某学校连续三年组织学生参加义务植树活动，第一年植树400棵，第三年植树625棵，设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意列出方程_______
答案：
解析：解：设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意得：
．
故答案为：
17. 如图，在四边形中，，作平分线交于点，交延长线于点，且，则______．
答案：
解析：解：以交点为原点，建立平面直角坐标系，
∵，
∴，．
∴，，
∴，
过点N作y轴的垂线，垂足为点E，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
设的函数解析式为，
把代入，
，
解得：，
∴的函数解析式为，
设的函数解析式为，
把，代入，
，
解得：，
∴的函数解析式为，
联立，，
，
解得：，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
18. 对于四位数，若千位上的数字与百位上的数字的差的两倍等于十位上的数字与个位上的数字的差，则把叫做“双倍差数”，将“双倍差数” 的个位数字去掉得到的数记为，将千位数字去掉得到的数记为，并规定，则__；若一个四位数，，，，，，，均为整数）是“双倍差数”，且除以13余1，则满足条件的的最小值为 __．
答案： ①. 82 ②. 1461
解析：解：由题意得，，
将的个位数字去掉得，将四位数的千位数字去掉后，
，或，
；
，
这个“双倍差数”的千位上的数、百位上的数、位上的数和个位上的数分别为：、、、，
，
，
，
除以13余1，
能被13整除，
，
能被13整除，
，，
，，
，
①当时，，
，，且、为整数，
此种情况不符合题意，舍去；
②当时，，即
，，且、为整数，
，
，
，1，2，3，4，5，
③当时，，
，，且、为整数，
此种情况不符合题意，舍去；
④当时，，
，，且、为整数，
此种情况不符合题意，舍去；
⑤当时，，
，，且、为整数，
此种情况不符合题意，舍去；
综上，的取值为0，1，2，3，4，5，
，，，均为非负的整数，，，
当时，取值最小，把代入，得；把，代入，得，整理得，，
，，根据一次函数增减性可知，由得值随着的增大而增大，
当时，，
综上，当取最小值时，，，，
．
故答案为：82；1461．
三、解答题：（本大题8个小题，19题8分； 20- 26题每小题10分,共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 计算：
（1）
（2）．
答案：（1）
（2）
小问1解析：
原式
；
小问2解析：
原式
．
20. 为提高学生面对突发事故的应急救护能力，某校组织了一场关于防自然灾害的知识讲座，并在讲座后进行了满分为100分的“防自然灾害知识测评”，学校在七、八年级中分别随机抽取了50名学生的分数进行整理分析，已知分数x均为整数，B，C，D，E五个等级，分别是：A：，B：，C：，E：．并给出了部分信息：
一：七年级D等级的学生人数占七年级抽取人数的；
八年级C等级中最低的10个分数分别为：70，70，72，73，73，73，74，74，75，75
二：两个年级学生防自然灾害知识测评分数统计图：
三：两个年级学生防自然灾害知识测评分数样本数据的平均数、中位数、众数如下：
（1）直接写出a，m的值，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为在此次测评中，哪一个年级的学生对防自然灾害知识掌握较好？请说明理由（说明一条理由即可）；
（3）若分数不低于80分表示该生对防自然灾害知识掌握较好，且该校七年级有人，八年级有人，对防自然灾害知识掌握较好的学生人数．
答案：（1），，补全条形统计图见解析
（2）七年级年级的学生对近视防控知识掌握较好，理由见解析
（3）对防自然灾害知识掌握较好的学生人数为1336人
小问1解析：
解：由题干数据可知，
，
，
七年级D等级的学生人数为：（人），
E等级的学生人数为：（人），
补全条形统计图如图：
答：，；
小问2解析：
解：七年级年级的学生对近视防控知识掌握较好．理由如下：
虽然七、八年级的平均数、众数相同，但是七年级的中位数比八年级的高，因此七年级的成绩较好；
小问3解析：
解：
（人）．
答：估计该校七、八年级所有学生中，对近视防控知识掌握较好的学生人数是1336人．
21. 由平行四边形如何构造菱形？如图，平行四边形中，平分，珈跏的思路是：过点A作的垂线，垂足为G，交线段于点F，然后利用四边相等的四边形是菱形即可完成构造，请根据以上思路完成作图和填空．
证明：用直尺和圆规过点A作的垂线交于点G，交于点F，连接（只保留作图痕迹）
∵四边形是平行四边形，
∴①______
∴，
∵平分，
∴，
∴②______
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴③______，
∵，，
∴垂直平分，
∴④______，
，
∴四边形是菱形．
答案：作图见解析；①；②；③；④
解析：证明：用直尺和圆规过点A作的垂线交于点G，交于点F，连接，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴①，
∴，
∵平分，
∴，
∴②，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴③，
∵，，
∴垂直平分，
∴④，
，
∴四边形是菱形．
故答案为：①；②；③；④．
22. 如图1，在一张长方形纸片的四个角分别剪去一个边长相等的正方形，可折叠成如图2的一个无盖长方体纸盒．
图1 图2
（1）若图1中原长方形纸片长，宽，被剪掉的正方形边长为，折叠得到的无盖长方体纸盒的长、宽、高之和为，求a的值；
（2）现有60张同样规格的长方形纸片，可制作成60个无盖长方体纸盒，剪下来的正方形恰好全部制作成正方体（每个正方体需要6个正方形），现把20名同学分为甲、乙两组，甲组制作无盖长方体纸盒，乙组制作正方体，若甲组平均每人制作的无盖长方体纸盒个数是乙组平均每人制作的正方体个数的一半，求甲组有多少名同学？
答案：（1）4 （2）15名
小问1解析：
解：
解得：
答：a的值为4．
小问2解析：
解：设甲组有x名同学，则乙组有名同学，根据题意得：
，
解得：
经检验，是原方程的解且符合题意．
答：甲组有15名同学．
23. 如图，在四边形中，，，过点作于点，，，．动点从点出发，沿运动，到达点时停止运动．设点的运动路程为，的面积为．．
（1）请直接写出与x之间的函数关系式以及对应的x的取值范围；
（2）请在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质；
（3）若直线的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出当时x的取值范围．（保留一位小数，误差不超过0.2）
答案：（1）
（2）当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一）
（3）或（答案不唯一）
小问1解析：
解：，，
则，
即，
则四边形为矩形，
在中，，，则，
则矩形为边长为4的正方形；
当点在上运动时，
过点作于点，
则，
当点在上运动时，
同理可得：，
即；
小问2解析：
当时，，当时，，当时，；
将上述坐标描点连线绘制图象如下：
从图象看，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一）；
小问3解析：
从图象看，当时的取值范围为：或（答案不唯一）．
24. 如图，某公园有一条三角形健身步道A→B→C→A，其中B在A的正东方，C在A东北方向，一天老王以每分钟米的速度从点A出发沿路线A→B→C→A开始散步，分钟后到达步道的B处，此时他发现C在B的北偏西方向上．（A，B，C在同一平面内，参考数据：）
（1）求健身步道的长；（结果保留根号）
（2）为了让市民养成全民运动、健康生活的良好习惯，改善健身环境，公园决定对健身步道进行扩建．计划将步道段向正东方向延伸至P处，修建新步道，且在P处测得C在P的北偏西方向上．若修建步道的成本为每米元，公园对扩建预算的费用为万元，请通过计算说明预算费用是否够用？
答案：（1）
（2）预算费用够用
小问1解析：
解：过点B作于点N，
∴，
由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
小问2解析：
解：过点B作于点M，如图所示：
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴预算费用够用．
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图，若点是第四象限内抛物线上一点，轴交于点,交轴于点，求的最大值；
（3）如图，在轴上取一点，抛物线沿方向平移个单位得新抛物线，新抛物线与轴交于点，交轴于点，点在线段上运动，线段关于线段的对称线段所在直线交新抛物线于点，直线与直线所成夹角为，直接写出点的横坐标．
答案：（1）
（2）
（3）或
小问1解析：
解：把，代入得：
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
小问2解析：
解：过点B作交于点E，如图所示：
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵轴，
∴轴，
∴，
∴为直角三角形，
把代入得出，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
设，，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，且最大值为；
小问3解析：
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴抛物线沿方向平移个单位时，沿x轴、y轴移动的距离为：个单位，
∵抛物线，
∴抛物线沿方向平移个单位后新抛物线的解析式为：
，
把代入得：，
把代入得：，
解得：，，
∴，，
∴，，
∴，
当轴时，连接并延长交x轴于点K，交于点L，如图所示：
∴，
∴轴，
∴，
∵，
∴，
∴此时直线与直线所成夹角为，符合题意，
根据折叠可知，，
∴，
∴设，则，
∴，
设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
令，
解得：，（舍去），
∴点的横坐标为；
当轴时，连接并延长交y轴于点K，交于点L，如图所示：
∵，，
∴，
∴此时直线与直线所成夹角为，符合题意，
根据折叠可知，，
∴，
∴设，则，
∴，
设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴此时直线的解析式为：，
令，
解得：，（舍去），
∴此时点的横坐标为；
综上分析可知，点的横坐标为或．
26. 如图，平行四边形中,，过A作，在上取一点，将绕点逆时针旋转得线段．
（1）如图1，若点是中点，,旋转后点恰好落在边上，求的长度．
（2）如图2，将绕点逆时针旋转得线段，当时，在上取一点，使,连，猜想与的大小关系并证明．
（3）如图3，若点为中点，点为中点，，当最小时，直接写出．
答案：（1）；
（2），证明见解析；
（3）．
小问1解析：
如图，∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵点是中点，
∴，
由旋转知，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
小问2解析：
，证明如下：
如图，延长至点，使，连，，
∵，
是的中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵ ，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
小问3解析：
∵点中点，
∴当点绕着点旋转时，点绕着的中点旋转，如图，
连接，，设的边上的高为，
∵，
∴，，
∵点为中点，
∴，
∴，
∴，，
当最小时，点在上，
此时，，
∴，
∵，
∴．
平均数
中位数
众数
七年级
76
75
73
八年级
76
a
69
注意事项：
1．试题卷上各题的答案用签字笔书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图（包括作辅助线）请一律用2B铅笔完成；
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列各数中是无理数（ ）
A. 1.010010001B. C. D.
答案：C
解析：是无理数，
1.010010001，，是有理数，
故选：C．
2. 如图，由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：解：这个几何体俯视图是：
故选：B．
3. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A. 图像位于第二、四象限
B. 图像与坐标轴有公共点
C. 图像所在的每一个象限内，随的增大而减小
D. 图像经过点，则
答案：C
解析：解：A．的图像位于第一、三象限，故该选项不符合题意；
B． 的图像与坐标轴没有有公共点，故该选项不符合题意；
C． 图像所在的每一个象限内，随的增大而减小，故该选项符合题意；
D． 由的图像经过点，则，计算得或，故该选项不符合题意．
故选C．
4. 如图，△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB：OE＝2：3，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（ ）
A. 2B. 6C. 8D. 9
答案：D
解析：解：∵△ABC与△DEF是位似图形， OB：OE＝2：3，
∴S△ABC:S△DEF=(2:3)2=4:9，
∵△ABC的面积为4，
∴S△DEF=9
故选D．
5. 如图，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解：∵，，
∴，
∴．
故选：A．
6. 估计的值应在（ ）
A. 4和5之间B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间
答案：D
解析：解：，
∵，
∴，
∴的值应在7和8之间，
故选：D．
7. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 （ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：由图可得，
甲烷的化学式中的有1个，有（个，
乙烷的化学式中的有2个，有（个，
丙烷的化学式中的有3个，有（个，
，
十二烷的化学式中的有12个，有（个，
即十二烷的化学式为，
故选：C．
8. 如图，正五边形内接于，连接，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：∵，
∴，
故选D．
9. 如图，矩形中，点为边的中点，连接，过作交于点，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：延长，交的延长线于点，如图所示：
在矩形中，，，
，
为边中点，
，
在和中，
，
∴，
，
，
垂直平分，
，
，
∵，
，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
10. 对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：．
①对－2，3，5，9进行“差绝对值运算”的结果是35；
②x，，5的“差绝对值运算”的最小值是；
③a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种；
以上说法中正确的个数为（ ）
A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个
答案：C
解析：①对，3，5，9进行“差绝对值运算”得：，
故①正确；
②对，，5进行“差绝对值运算”得：，
表示的是数轴上点到和5的距离之和，
的最小值为，
，，5的“差绝对值运算”的最小值是：，故②不正确；
对，，进行“差绝对值运算”得：，
当，，，；
当，，，；
当，，不可能；
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，不可；
当，，，；
，，的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有7种，
故③不正确，
综上，故只有1个正确的．
故选：C．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 计算：_______．
答案：
解析：解：原式
故答案为：．
12. 如图，用两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配出紫色，那么可配成紫色的概率是 ___．
答案：
解析：解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有6种等可能出现的结果，其中能配成紫色的有2种，
所以，能配成紫色的概率为，
故答案为：．
13. 一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为，则这个正多边形的边数为______．
答案：6
解析：解：这个正多边形的外角为，
所以这个正多边形为，
即这个正多边形为正六边形，边数为6，
故答案为：6．
14. 若关于x的不等式组的解集为，关于y的分式方程有整数解，则满足条件整数a的乘积为_______．
答案：
解析：解不等式：，得：，
解不等式：，得：，
不等式组的解集为，
，即：，
解关于的分式方程，
得，
分式方程的解为整数解，
为整数，且，，即，，
∴或，
解得整数的值有0,2,3,,
所有满足条件的整数的值有：2，，共2个．
∴满足条件整数a的乘积为，
故答案为：．
15. 如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是_____．
答案：
解析：解：阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积，
则阴影部分的面积是：，
故答案为：6π．
16. 某学校连续三年组织学生参加义务植树活动，第一年植树400棵，第三年植树625棵，设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意列出方程_______
答案：
解析：解：设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意得：
．
故答案为：
17. 如图，在四边形中，，作平分线交于点，交延长线于点，且，则______．
答案：
解析：解：以交点为原点，建立平面直角坐标系，
∵，
∴，．
∴，，
∴，
过点N作y轴的垂线，垂足为点E，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
设的函数解析式为，
把代入，
，
解得：，
∴的函数解析式为，
设的函数解析式为，
把，代入，
，
解得：，
∴的函数解析式为，
联立，，
，
解得：，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
18. 对于四位数，若千位上的数字与百位上的数字的差的两倍等于十位上的数字与个位上的数字的差，则把叫做“双倍差数”，将“双倍差数” 的个位数字去掉得到的数记为，将千位数字去掉得到的数记为，并规定，则__；若一个四位数，，，，，，，均为整数）是“双倍差数”，且除以13余1，则满足条件的的最小值为 __．
答案： ①. 82 ②. 1461
解析：解：由题意得，，
将的个位数字去掉得，将四位数的千位数字去掉后，
，或，
；
，
这个“双倍差数”的千位上的数、百位上的数、位上的数和个位上的数分别为：、、、，
，
，
，
除以13余1，
能被13整除，
，
能被13整除，
，，
，，
，
①当时，，
，，且、为整数，
此种情况不符合题意，舍去；
②当时，，即
，，且、为整数，
，
，
，1，2，3，4，5，
③当时，，
，，且、为整数，
此种情况不符合题意，舍去；
④当时，，
，，且、为整数，
此种情况不符合题意，舍去；
⑤当时，，
，，且、为整数，
此种情况不符合题意，舍去；
综上，的取值为0，1，2，3，4，5，
，，，均为非负的整数，，，
当时，取值最小，把代入，得；把，代入，得，整理得，，
，，根据一次函数增减性可知，由得值随着的增大而增大，
当时，，
综上，当取最小值时，，，，
．
故答案为：82；1461．
三、解答题：（本大题8个小题，19题8分； 20- 26题每小题10分,共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 计算：
（1）
（2）．
答案：（1）
（2）
小问1解析：
原式
；
小问2解析：
原式
．
20. 为提高学生面对突发事故的应急救护能力，某校组织了一场关于防自然灾害的知识讲座，并在讲座后进行了满分为100分的“防自然灾害知识测评”，学校在七、八年级中分别随机抽取了50名学生的分数进行整理分析，已知分数x均为整数，B，C，D，E五个等级，分别是：A：，B：，C：，E：．并给出了部分信息：
一：七年级D等级的学生人数占七年级抽取人数的；
八年级C等级中最低的10个分数分别为：70，70，72，73，73，73，74，74，75，75
二：两个年级学生防自然灾害知识测评分数统计图：
三：两个年级学生防自然灾害知识测评分数样本数据的平均数、中位数、众数如下：
（1）直接写出a，m的值，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为在此次测评中，哪一个年级的学生对防自然灾害知识掌握较好？请说明理由（说明一条理由即可）；
（3）若分数不低于80分表示该生对防自然灾害知识掌握较好，且该校七年级有人，八年级有人，对防自然灾害知识掌握较好的学生人数．
答案：（1），，补全条形统计图见解析
（2）七年级年级的学生对近视防控知识掌握较好，理由见解析
（3）对防自然灾害知识掌握较好的学生人数为1336人
小问1解析：
解：由题干数据可知，
，
，
七年级D等级的学生人数为：（人），
E等级的学生人数为：（人），
补全条形统计图如图：
答：，；
小问2解析：
解：七年级年级的学生对近视防控知识掌握较好．理由如下：
虽然七、八年级的平均数、众数相同，但是七年级的中位数比八年级的高，因此七年级的成绩较好；
小问3解析：
解：
（人）．
答：估计该校七、八年级所有学生中，对近视防控知识掌握较好的学生人数是1336人．
21. 由平行四边形如何构造菱形？如图，平行四边形中，平分，珈跏的思路是：过点A作的垂线，垂足为G，交线段于点F，然后利用四边相等的四边形是菱形即可完成构造，请根据以上思路完成作图和填空．
证明：用直尺和圆规过点A作的垂线交于点G，交于点F，连接（只保留作图痕迹）
∵四边形是平行四边形，
∴①______
∴，
∵平分，
∴，
∴②______
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴③______，
∵，，
∴垂直平分，
∴④______，
，
∴四边形是菱形．
答案：作图见解析；①；②；③；④
解析：证明：用直尺和圆规过点A作的垂线交于点G，交于点F，连接，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴①，
∴，
∵平分，
∴，
∴②，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴③，
∵，，
∴垂直平分，
∴④，
，
∴四边形是菱形．
故答案为：①；②；③；④．
22. 如图1，在一张长方形纸片的四个角分别剪去一个边长相等的正方形，可折叠成如图2的一个无盖长方体纸盒．
图1 图2
（1）若图1中原长方形纸片长，宽，被剪掉的正方形边长为，折叠得到的无盖长方体纸盒的长、宽、高之和为，求a的值；
（2）现有60张同样规格的长方形纸片，可制作成60个无盖长方体纸盒，剪下来的正方形恰好全部制作成正方体（每个正方体需要6个正方形），现把20名同学分为甲、乙两组，甲组制作无盖长方体纸盒，乙组制作正方体，若甲组平均每人制作的无盖长方体纸盒个数是乙组平均每人制作的正方体个数的一半，求甲组有多少名同学？
答案：（1）4 （2）15名
小问1解析：
解：
解得：
答：a的值为4．
小问2解析：
解：设甲组有x名同学，则乙组有名同学，根据题意得：
，
解得：
经检验，是原方程的解且符合题意．
答：甲组有15名同学．
23. 如图，在四边形中，，，过点作于点，，，．动点从点出发，沿运动，到达点时停止运动．设点的运动路程为，的面积为．．
（1）请直接写出与x之间的函数关系式以及对应的x的取值范围；
（2）请在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质；
（3）若直线的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出当时x的取值范围．（保留一位小数，误差不超过0.2）
答案：（1）
（2）当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一）
（3）或（答案不唯一）
小问1解析：
解：，，
则，
即，
则四边形为矩形，
在中，，，则，
则矩形为边长为4的正方形；
当点在上运动时，
过点作于点，
则，
当点在上运动时，
同理可得：，
即；
小问2解析：
当时，，当时，，当时，；
将上述坐标描点连线绘制图象如下：
从图象看，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一）；
小问3解析：
从图象看，当时的取值范围为：或（答案不唯一）．
24. 如图，某公园有一条三角形健身步道A→B→C→A，其中B在A的正东方，C在A东北方向，一天老王以每分钟米的速度从点A出发沿路线A→B→C→A开始散步，分钟后到达步道的B处，此时他发现C在B的北偏西方向上．（A，B，C在同一平面内，参考数据：）
（1）求健身步道的长；（结果保留根号）
（2）为了让市民养成全民运动、健康生活的良好习惯，改善健身环境，公园决定对健身步道进行扩建．计划将步道段向正东方向延伸至P处，修建新步道，且在P处测得C在P的北偏西方向上．若修建步道的成本为每米元，公园对扩建预算的费用为万元，请通过计算说明预算费用是否够用？
答案：（1）
（2）预算费用够用
小问1解析：
解：过点B作于点N，
∴，
由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
小问2解析：
解：过点B作于点M，如图所示：
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴预算费用够用．
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图，若点是第四象限内抛物线上一点，轴交于点,交轴于点，求的最大值；
（3）如图，在轴上取一点，抛物线沿方向平移个单位得新抛物线，新抛物线与轴交于点，交轴于点，点在线段上运动，线段关于线段的对称线段所在直线交新抛物线于点，直线与直线所成夹角为，直接写出点的横坐标．
答案：（1）
（2）
（3）或
小问1解析：
解：把，代入得：
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
小问2解析：
解：过点B作交于点E，如图所示：
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵轴，
∴轴，
∴，
∴为直角三角形，
把代入得出，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
设，，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，且最大值为；
小问3解析：
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴抛物线沿方向平移个单位时，沿x轴、y轴移动的距离为：个单位，
∵抛物线，
∴抛物线沿方向平移个单位后新抛物线的解析式为：
，
把代入得：，
把代入得：，
解得：，，
∴，，
∴，，
∴，
当轴时，连接并延长交x轴于点K，交于点L，如图所示：
∴，
∴轴，
∴，
∵，
∴，
∴此时直线与直线所成夹角为，符合题意，
根据折叠可知，，
∴，
∴设，则，
∴，
设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
令，
解得：，（舍去），
∴点的横坐标为；
当轴时，连接并延长交y轴于点K，交于点L，如图所示：
∵，，
∴，
∴此时直线与直线所成夹角为，符合题意，
根据折叠可知，，
∴，
∴设，则，
∴，
设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴此时直线的解析式为：，
令，
解得：，（舍去），
∴此时点的横坐标为；
综上分析可知，点的横坐标为或．
26. 如图，平行四边形中,，过A作，在上取一点，将绕点逆时针旋转得线段．
（1）如图1，若点是中点，,旋转后点恰好落在边上，求的长度．
（2）如图2，将绕点逆时针旋转得线段，当时，在上取一点，使,连，猜想与的大小关系并证明．
（3）如图3，若点为中点，点为中点，，当最小时，直接写出．
答案：（1）；
（2），证明见解析；
（3）．
小问1解析：
如图，∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵点是中点，
∴，
由旋转知，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
小问2解析：
，证明如下：
如图，延长至点，使，连，，
∵，
是的中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵ ，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
小问3解析：
∵点中点，
∴当点绕着点旋转时，点绕着的中点旋转，如图，
连接，，设的边上的高为，
∵，
∴，，
∵点为中点，
∴，
∴，
∴，，
当最小时，点在上，
此时，，
∴，
∵，
∴．
平均数
中位数
众数
七年级
76
75
73
八年级
76
a
69
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