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湖南省常德市沅澧共同体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
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这是一份湖南省常德市沅澧共同体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题，文件包含高二数学docx、高二数学pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共8页， 欢迎下载使用。
时量：120分钟 满分：150分 命题单位：安乡五中 审题单位：常德市第七中学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．等差数列的首项为2，公差不为0，若成等比数列，则前3项的和为（ ）
A．B．C．18 D．6
3．若函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4.若，则的值为（ ）
A. B.C. D.
5．在棱长为2正四面体中，正四面体的内切球表面积为（ ）
A．B．C．D．
6.已知e为单位向量，向量a满足e ⋅a=3，λe−a=1，则a的最大值为（ ）
A．9B．23C．10D．8
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过4次而接通电话的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．“长沙沙水水无沙， 常德德山山有德”2024年3月国家主席习近平走进湖南长沙和常德两个城市，感受了常德和长沙两地的好风光。从气象意义上从冬季进入春季的标志为：“连续5天日平均温度不低于18℃”．现有常德和长沙两地连续5天日平均温度的记录数据（数据都是正整数，单位℃）满足以下条件：
常德：5个数据的中位数是20，众数是18；
长沙：5个数据有1个是27，平均数是21，方差是10.2．
则下列说法正确的是（ ）
A．进入春季的地区有2个B．长沙地区肯定进入了春季
C．两地肯定还未进入春季D．不能肯定常德地区进入了春季
10．已知直线，圆的方程为，下列表述正确的是（ ）
A．当实数变化时，直线恒过定点
B．当直线与直线平行时，则两条直线的距离为
C．当时，圆关于直线对称
D．当时，直线与圆没有公共点
11.对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．只有一个零点B．在x=e处取得极大值为12e
C.D．若在区间上恒成立，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为 .
13.设m，n∈R，i为虚数单位，若2−5i是关于x的二次方程x2+2nx+m=0的一个虚根，则n+m= ．
14.设抛物线C：的焦点为F，准线为,斜率为的直线经过焦点F，交抛物线C于点A、B两点，若，则抛物线C的方程为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
在中已知.
（1）求；
（2）若面积为，求的周长的最小值.
16.（本小题满分15分）
近些年来，由于手机与电脑的影响，学生视力问题逐渐突出。习近平总书记作出重要指示，呵护好孩子的眼睛就是呵护孩子的未来。为了落实这一指示，某学校调查了学生的视力情况，随机抽取了200名学生，男生80人，女生120人，记录了他们的视力情况，结果如下表：
（1）是否有90％的把握认为近视与性别有关(结果精确到0.001)；
（2）从120名女生中按是否近视，采用分层抽样的方法抽取12人，再从12人中随机抽取4人做进一步调查，记抽到一名近视的得-1分，抽到一名不近视的得1分，设随机变量X表示抽取的4名学生的总得分，试求X的分布列与数学期望EX.
附：独立性验临界值表
公式，其中．
17.（本小题满分15分）
如图，在圆锥中，为圆锥顶点，为圆锥底面的直径，为底面圆的圆心，为底面圆周上一点，四边形为矩形．
（1）求证：直线BC⊥平面；
（2）若AE=3，AC=2，，求平面和平面夹角的余弦值.
18.（本小题满分17分）
已知双曲线过点,且离心率为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设过点且斜率不为0的直线与双曲线的左右两支交于，两点．问：在轴上是否存在定点，使直线的斜率与的斜率的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由．
19．（本小题满分17分）
如果数列满足：且，则称数列为阶“归化数列”．若数列还满足：数列项数有限为；则称数列为“阶可控摇摆数列”.
（1）若某6阶“归化数列”是等比数列，写出该数列的各项；
（2）若某13阶“归化数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
（3）已知数列为“阶可控摇摆数列”，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.
近视
不近视
男生
50
30
女生
70
50
Pχ2≥xα
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
时量：120分钟 满分：150分 命题单位：安乡五中 审题单位：常德市第七中学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．等差数列的首项为2，公差不为0，若成等比数列，则前3项的和为（ ）
A．B．C．18 D．6
3．若函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4.若，则的值为（ ）
A. B.C. D.
5．在棱长为2正四面体中，正四面体的内切球表面积为（ ）
A．B．C．D．
6.已知e为单位向量，向量a满足e ⋅a=3，λe−a=1，则a的最大值为（ ）
A．9B．23C．10D．8
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过4次而接通电话的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．“长沙沙水水无沙， 常德德山山有德”2024年3月国家主席习近平走进湖南长沙和常德两个城市，感受了常德和长沙两地的好风光。从气象意义上从冬季进入春季的标志为：“连续5天日平均温度不低于18℃”．现有常德和长沙两地连续5天日平均温度的记录数据（数据都是正整数，单位℃）满足以下条件：
常德：5个数据的中位数是20，众数是18；
长沙：5个数据有1个是27，平均数是21，方差是10.2．
则下列说法正确的是（ ）
A．进入春季的地区有2个B．长沙地区肯定进入了春季
C．两地肯定还未进入春季D．不能肯定常德地区进入了春季
10．已知直线，圆的方程为，下列表述正确的是（ ）
A．当实数变化时，直线恒过定点
B．当直线与直线平行时，则两条直线的距离为
C．当时，圆关于直线对称
D．当时，直线与圆没有公共点
11.对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．只有一个零点B．在x=e处取得极大值为12e
C.D．若在区间上恒成立，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为 .
13.设m，n∈R，i为虚数单位，若2−5i是关于x的二次方程x2+2nx+m=0的一个虚根，则n+m= ．
14.设抛物线C：的焦点为F，准线为,斜率为的直线经过焦点F，交抛物线C于点A、B两点，若，则抛物线C的方程为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
在中已知.
（1）求；
（2）若面积为，求的周长的最小值.
16.（本小题满分15分）
近些年来，由于手机与电脑的影响，学生视力问题逐渐突出。习近平总书记作出重要指示，呵护好孩子的眼睛就是呵护孩子的未来。为了落实这一指示，某学校调查了学生的视力情况，随机抽取了200名学生，男生80人，女生120人，记录了他们的视力情况，结果如下表：
（1）是否有90％的把握认为近视与性别有关(结果精确到0.001)；
（2）从120名女生中按是否近视，采用分层抽样的方法抽取12人，再从12人中随机抽取4人做进一步调查，记抽到一名近视的得-1分，抽到一名不近视的得1分，设随机变量X表示抽取的4名学生的总得分，试求X的分布列与数学期望EX.
附：独立性验临界值表
公式，其中．
17.（本小题满分15分）
如图，在圆锥中，为圆锥顶点，为圆锥底面的直径，为底面圆的圆心，为底面圆周上一点，四边形为矩形．
（1）求证：直线BC⊥平面；
（2）若AE=3，AC=2，，求平面和平面夹角的余弦值.
18.（本小题满分17分）
已知双曲线过点,且离心率为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设过点且斜率不为0的直线与双曲线的左右两支交于，两点．问：在轴上是否存在定点，使直线的斜率与的斜率的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由．
19．（本小题满分17分）
如果数列满足：且，则称数列为阶“归化数列”．若数列还满足：数列项数有限为；则称数列为“阶可控摇摆数列”.
（1）若某6阶“归化数列”是等比数列，写出该数列的各项；
（2）若某13阶“归化数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
（3）已知数列为“阶可控摇摆数列”，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.
近视
不近视
男生
50
30
女生
70
50
Pχ2≥xα
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
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