2024年中考真题数学热点探究七 以函数为背景的几何综合性问题

这是一份2024年中考真题数学热点探究七 以函数为背景的几何综合性问题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，综合题，实践探究题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（每题2分，共20分）(共10题；共20分)
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1. (2024九下·吉林月考) 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴的正半轴上， ， 两点的坐标分别为 ， ， 点在第一象限，将直线沿轴向右平移个单位.若平移后的直线与边有交点，则的取值范围是（ ）
A . B . C . D .
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2. (2021·黄冈) 如图， 为矩形 的对角线，已知 ， .点P沿折线 以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作 于点E，则 的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（ ）
A . B . C . D .
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3. (2023九上·雨花月考) 如图，的半径是 ， 点是直线上一动点，过点作的切线，切点为 ， 连接 ， ， 则的最小值为（ ）
A . B . C . D .
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4. (2024九上·铜仁期末) 已知如图，反比例函数 ， 的图象分别经过正方形、正方形的顶点D、A ， 连接 ， 则的面积等于（ ）
A . 2 B . 3 C . 1 D . 5
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5. (2023九上·运城期中) 如图 ， 点、在反比例函数的图象上，过点、作轴的垂线，垂足分别为 ， ， 延长线段交轴于点 ， 当时，阴影部分的面积；如图 ， 点、在反比例函数的图象上，过点、作轴的垂线，垂足分别为 ， ， 连接 ， 交于于点 ， 当时，阴影部分的面积 ， 则的值为（ ）
A . B . C . D .
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6. (2021九上·温岭期末) 如图，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=8，点D、点E分别是BC、AC边上的点，DE//AB则S△BDE的最大值是（ ）
A . 3 B . 4 C . 5 D . 6
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7. (2023九上·泸州月考) 如图， 正方形OABC有三个顶点在抛物线 上， 点 是原点， 顶点 在 轴上则顶点 的坐标是 （ ）
A . B . C . D .
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8. (2024·广东模拟) 如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x+3交x轴于点A，交y轴于点B，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，其中顶点D恰好落在双曲线y=k/x上，现将正方形ABCD沿y轴向下平移a个单位长度，可以使得顶点C落在双曲线上，则a的值为（ ）
A . B . C . 2 D .
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9. 如图，正方形ABCD边长为8，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且AM⊥MN，则AN的最小值是（ ）
A . 8 B . 4 C . 10 D . 8
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10. (2021九上·温州月考) 如图，抛物线 （a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（ ）
A . 或 B . 或 C . 或 D . 或
二、填空题（每题2分，共10分）(共5题；共10分)
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11. (2023九上·长沙月考) 若直线：与轴、轴分别交于点和点 ， 直线：与轴、轴分别交于点和点 ， 线段与的中点分别是 ， ， 点为轴上一动点．
点的坐标为 ；
当的值最小时，点的坐标为 ．
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12. (2024九上·永年期末) 如图，矩形ABCD中，AB=2cm，AD=5cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF面积最小值为．
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13. (2023九上·滕州开学考) 如图，一次函数的图象交轴于点 ， 交轴于点 ， 点在射线上不与、重合 ， 过点分别作轴和轴的垂线，垂足为、当矩形的面积为时，点的坐标为 ．
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14. (2024·浦北模拟) 如图，点A ， B在反比例函数的图象上，点C ， D在反比例函数的图象上，轴，已知点A ， B的横坐标分别为2，4，与的面积之差为1，则k的值为．
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15. (2024·南充模拟) 如图，点E是边长为8的正方形ABCD的边AD上一动点(端点A ， D除外)，以CE为边作正方形CEFG ， EF与AB交于点H ， 连接BE ， BF ， BG ． 下列四个结论：①BG＝DE；②∠FAB＝∠FEB；③当点E为AD中点时，H也是EF的中点；④当点E在AD边上运动时，AH有最大值为2．其中正确的结论是(填序号)．
三、综合题（共4题，共33分）(共4题；共33分)
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16. (2023九上·长春月考) 如图①，在矩形ABCD中，AB=6， AD=10，点E在边BC上，且BE=4，动点P从点E出发，沿折线EB-BA-AD以每秒2个单位长度的速度运动．作∠PEQ=90°，EQ交边AD或边DC于点Q，连接PQ．当点Q与点C重合时，点P停止运动、设点P的运动时间为t秒．(t>0)
（1） 当点P和点B重合时，线段PQ的长为
（2） 当点Q和点D重合时，求sin∠PQE；
（3） 当点P在边AD上运动时， △PQE的形状始终是等腰直角三角形，如图②，请说明理由；
（4） 作点E关于直线PQ的对称点F ，连接PF、QF ，当四边形EPFQ和矩形ABCD重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t的取值范围．
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17. (2024九上·铜仁期末) 如图①，一次函数的图象与轴交于点 ， 点是反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限的交点．
（1） 求点B的坐标；
（2） 点是反比例函数在第一象限内的图象上有别于的另外一点，过点作交轴于点 ． 在轴正半轴上是否存在一点 ， 使四边形是平行四边形，如果存在，请确定的长度，如果不存在，请说明理由．
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18. (2017·玉林) 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点（点E不与端点A，C重合），且AE=CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO=OD，连接DE，DF，GE，GF．
（1） 求证：四边形EDFG是正方形；
（2） 当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．
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19. (2022·七星关模拟) 如图，已知 ， 是的平分线，是射线上一点， ． 动点从点出发，以的速度沿水平向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上作匀速运动．连接 ， 交于点 ． 经过、、三点作圆，交于点 ， 连接、 ． 设运动时间为 ， 其中 ．
（1） 求的值；
（2） 是否存在实数t ， 使得线段的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3） 在点P ， 点Q运动过程中，四边形的面积是否发生改变，如果变，请说明理由；如果不变，请求出四边形的面积．
四、实践探究题（共6题，共57分）(共6题；共57分)
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20. (2023九上·石家庄期中) 综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为 ．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若 ， 能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设为 ， 为 ． 由矩形地块面积为 ， 得到 ， 满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为 ， 得到 ， 满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和 ▲ ， 因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为： ， ；或 ▲ m ， ▲ m ．
（1） 根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
（2） 【类比探究】
若 ， 能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
（3） 【问题延伸】
当木栏总长为时，小颖建立了一次函数 ． 发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点．
请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值．
（4） 【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．
若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于 ， 请直接写出的取值范围．
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21. (2022·岚山模拟)
（1） 【探究·发现】正方形的对角线长与它的周长及面积之间存在一定的数量关系．已知正方形的对角线长为a，则正方形的周长为，面积为（都用含a的代数式表示）．
（2） 【拓展·综合】如图1，若点M、N是某个正方形的两个对角顶点，则称M、N互为“正方形关联点”，这个正方形被称为M、N的“关联正方形”．
①在平面直角坐标系中，点P是原点O的“正方形关联点”．若 ， 则O、P的“关联正方形”的周长是 ▲ ；若点P在直线上，则O、P的“关联正方形”面积的最小值是 ▲ ．
②如图2，已知点 ， 点B在直线上，正方形是A、B的“关联正方形”，顶点P、Q到直线l的距离分别记为a和b，求的最小值．
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22. (2024九上·双流期末) 如图，在平面直角坐标系中，点 ， 为的顶点， ， 点C在x轴上．将沿x轴水平向右平移a个单位得到 ， A ， B两点的对应点 ， 恰好落在反比例函数的图象上．
（1） 求a和k的值；
（2） 作直线l平行于且与 ， 分别交于M ， N ， 若与四边形的面积比为 ， 求直线l的函数表达式；
（3） 在（2）问的条件下，是否存在x轴上的点P和直线l上的点Q ， 使得以P ， Q ， ， 四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P ， Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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23. (2024九下·南宁月考) 综合与实践
【问题提出】
某兴趣小组开展综合实践活动：在中， ， 为上一点， ， 动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形.设点的运动时间为 ， 正方形的面积为 ， 探究与的关系.
（1） 【初步感知】如图1，当点由点运动到点时，
①当时，；
②关于的函数解析式为.
（2） 当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象.请根据图象信息，求关于的函数解析式及线段的长.
（3） 【延伸探究】若存在3个时刻 ， ， 对应的正方形的面积均相等.
①▲；
②当时，求正方形的面积.
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24. (2024·福田模拟) 定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1） 理解应用：如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是垂等四边形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），则点B的坐标为 ．
（2） 综合探究：如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，C，D两点在该抛物线上．若以A，B，C，D为顶点的四边形是垂等四边形．设点C的横坐标为m，点D的横坐标为n，且m＞n，求m的值．
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25. (2024九下·武汉开学考) 用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边上的逆平行线．如图1，DE为△ABC的截线，截得四边形BCED ， 若∠BDE+∠C＝180°，则称DE为△ABC边BC的逆平行线．
如图2，已知△ABC中，AB＝AC ， 过边AB上的点D作DE∥BC交AC于点E ， 过点E作边AB的逆平行线EF ， 交边BC于点F ．
（1） 求证：DE是边BC的逆平行线．
（2） 点O是△ABC的外心，连接CO ． 求证：CO⊥FE ．
（3） 已知AB＝5，BC＝6，过点F作边AC的逆平行线FG ， 交边AB于点G ．
①试探索AD为何值时，四边形AGFE的面积最大，并求出最大值；
②在①的条件下，比较AD+BG ▲ AB大小关系．（“＜、＞或＝”）
难度系数：0.33
第Ⅰ卷
一、选择题（每题2分，共20分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
二、填空题（每题2分，共10分）
11 12 13 14 15
三、综合题（共4题，共33分）
16 17 18 19
四、实践探究题（共6题，共57分）
20 21 22 23 24 25
第Ⅱ卷