2024年中考真题数学热点探究十四 折叠问题

这是一份2024年中考真题数学热点探究十四 折叠问题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，实践探究题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)
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1. (2024·江城模拟) 如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，若AB＝6，BC＝10，则tan∠EAF的值为（ ）
A . B . C . D .
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2. (2020·重庆A) 如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若DG＝GE，AF＝3，BF＝2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为（ ）
A . B . C . D .
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3. (2024·温州模拟) 如图，在矩形中，点为的中点，将沿所在直线翻折压平，得到 ， 延长与交于点 ， 若 ， ， 则四边形的面积为（ ）
A . B . C . D .
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4. (2024九上·嘉兴期末) 如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点 ， 连结 ， 若 ， 则的长为（ ）
​​
A . B . C . D .
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5. (2023九上·瑶海月考) 如图，矩形纸片 ， 满足 ， 将此矩形纸片按下面顺序折叠，则图4中的长为（用含的代数式表示）（ ）
A . B . C . D .
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6. (2024·贵州模拟) 意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，图2是将图1沿直线剪开，将右半部分上下翻转得到的图形，其中四边形 ， 四边形与四边形均为正方形，若图1中空白部分面积为37，线段的长为7，则图2中两个直角三角形的面积和为（ ）
A . 6 B . 12 C . 15 D . 25
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7. (2024·织金模拟) 如图，将正方形纸片的和进行折叠，使两个直角的顶点重合于对角线上的点P处、分别是折痕，若点P沿从点B向点D移动，则阴影部分的周长（ ）
A . 先变大，后变小 B . 先变小，后变大 C . 当占P在中点处时，阴影部分周长最大 D . 保持不变
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8. (2022·威宁模拟) 如图，为的直径，将沿翻折，翻折后的弧交于D．若 ， ， 则图中阴影部分的面积为（ ）
A . B . C . 8 D . 10
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9. (2024·新市区模拟) 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边 ． ， 将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，线段恰好经过点 ， 点落在轴的点位置，点的坐标是
A . B . C . ， D . ，
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10. (2024九上·义乌期末) 如图，正方形的边长为4，点是边上的一点，将沿着折叠至 ， 若、恰好与正方形的中心为圆心的相切，则折痕的长为（ ）
A . B . 5 C . D . 以上都不对
二、填空题（每题3分，共15分）(共5题；共15分)
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11. (2024·竹山会考) 在△ABC中， ， ， 点D是边上一动点，将△ACD沿直线翻折，使点A落在点E处，连接交于点F（所给图形仅仅是示意图）．当△DEF是直角三角形时，．
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12. (2024·咸宁模拟) 如图，在矩形中， ， ， 点、分别在、上，连接、 ， 将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，沿折叠，使点落在上的点处，延长交于点 ， 连接 ， 则的面积为．
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13. (2024·金华模拟) 如图，在菱形ABCD中，点在BC上，将沿AE折叠得到 ， 点在BC的延长线上，AG与CD相交于点.若 ， 则的值为.
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14. (2024九下·萧山月考) 如图，在中，D为斜边的中点，点E在边上，将沿叠至 ． 若的延长线经过点D ， 平分 ， ， 则的值为，的长为．
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15. (2024·黔东南模拟) 如图，在矩形ABCD中， AB=3， AD=4， 点P 是边AD上的一个动点(点P不与点A， D重合)，将△BAP沿BP折叠， 使点A落在点A'的位置， 连接AA'， DA'， 若AA' = DA'， 则AP 的长为．
三、解答题（共5题，共40分）(共5题；共40分)
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16. (2024九下·祁阳月考) 我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果 ， 那么称点B为线段AC的黄金分割点.它们的比值为.
图①图② 图③
（1） 在图①中，若 ， 则AB的长为cm；
（2） 如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF ， 连接CE ， 将CB折叠到CE上，点B的对应点H ， 得折痕CG.试说明：G是AB的黄金分割点；
（3） 如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（），连接BE ， 作 ， 交AB于点F ， 延长EF ， CB交于点P.他发现当PB与BC满足某种关系时，E ， F恰好分别是AD ， AB的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.
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17. (2024·渝中模拟) 如图，为的中线，以为直角边在其右侧作直角 ， ， 与交于点F ， ．
（1） 如图1，若 ， 求的长；
（2） 如图2，若将绕点C逆时针旋转得到 ， 连接、 ， 探究、的数量关系，并说明理由；
（3） 如图3，若 ， ， ， 直线上有一点M ， 连接 ， 将沿着翻折到所在的平面内得到 ， 取的中点P ， 连接 ， 当最小时，请直接写出的面积．
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18. (2024九上·九龙坡期末) 在中， ， ， 为平面内的一点．
图1 图2 图3
（1） 如图1，当点在边上时， ， 且 ， 求的长；
（2） 如图2，当点在的外部，且满足 ， 求证：；
（3） 如图3， ， 当、分别为、的中点时，把绕点顺时针旋转，设旋转角为 ， 直线与的交点为 ， 连接 ， 直接写出旋转中面积的最大值．
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19. (2024九上·扶余期末) 定义：对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，则这样的四边形称为镶嵌四边形．
（1） 如图1，将纸片沿中位线折叠，使点落在边上的处，再将纸片分别沿 ， 折叠，使点和点都与点重合，得到双层四边形 ， 则双层四边形为形．
（2） 纸片按图2的方式折叠，折成双层四边形为矩形，若 ， ， 求的长．
（3） 如图3，四边形纸片满足 ， ， ， ， ． 把该纸片折叠，得到双层四边形为正方形．请你画出一种折叠的示意图，并直接写出此时的长．
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20. (2024九上·磐石期末) 在中，D为AB边上一点，过点D作交AC于点E ， 以DE为折线，将翻折，设所得的与梯形DBCE重叠部分的面积为y.
图1图2 图3
（1） 如图1，若 ， ， ， ， 则y的值为；
（2） 如图2，若 ， ， D为AB中点，则y的值为；
（3） 若 ， ， ， 设.
①求y与x的函数解析式；
②y是否有最大值，若有，求出y的最大值；若没有，请说明理由.
四、实践探究题（共4题，共35分）(共4题；共35分)
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21. (2024九下·南宁月考) 综合与实践：
问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．
探究发现：如图1，在中， ， ．
（1） 操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点 ， 折痕交于点 ， 连接 ， ，
①；
②设 ， 则（用含的式子表示）；
（2） 进一步探究发现： ， 这个比值被称为黄金比．请你在（1）的条件下，证明： ．
（3） 拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．
如图1中的是黄金三角形．
如图2，在菱形中， ， ， 求菱形较长对角线的长.
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22. (2024九下·船营开学考) 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
【操作】如图1，在矩形中，点M在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N ．
【猜想】
（1） 【验证】请将下列证明过程补充完整：
∵矩形纸片沿所在的直线折叠
∴
∵四边形是矩形
∴（矩形的对边平行）
∴（）
∴（等量代换）
∴（）
（2） 【应用】
如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为 ．
⑴猜想与的数量关系，并说明理由；
⑵若 ， ， 求的长．
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23. (2023九上·新田月考)
（1） 【探究发现】如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：
（2） 【类比迁移】如图②，在矩形中，为边上一点，且将沿翻折到处，延长交边于点延长交边于点且求的长．
（3） 【拓展应用】如图③，在菱形中， ， 为边上的三等分点，将沿翻折得到 ， 直线交于点求的长．
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24. (2023九上·成都期中) 综合与实践
（1） 【操作发现】如图1，诸葛小组将正方形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为AE ， 再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF ， 求∠EAF的正切值；
（2） 【拓展探究】如图2，孔明小组继续将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕AE上的点N处，连接NF交AM于点P ， 若 ， 求线段PM的长；
（3） 【迁移应用】如图3，在矩形ABCD中，点E ， F分别在边BC ， CD上，将矩形ABCD沿AE ， AF折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A ， M ， G恰好在同一直线上，若点F为CD的三等分点，AB＝3，AD＝5，请求出线段BE的长．
难度系数：0.37
第Ⅰ卷 客观题
一、选择题（每题3分，共30分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
二、填空题（每题3分，共15分）
11 12 13 14 15
第Ⅱ卷 主观题
三、解答题（共5题，共40分）
16 17 18 19 20
四、实践探究题（共4题，共35分）
21 22 23 24