2024年中考真题数学热点探究十八 几何最值问题

这是一份2024年中考真题数学热点探究十八 几何最值问题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，实践探究题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷的注释
一、选择题（每题2分，共20分）(共10题；共20分)
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1. (2024九上·永吉期末) 如图，若正六边形绕着中心旋转角得到的图形与原来的图形重合，则最小值为（ ）
A . B . C . D .
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2. (2022九上·温州开学考) 如图，▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，AC⊥AB ， E、F为线段BD上两动点（不与端点重合）且EF＝BD ， 连接AE ， CF ， 当点EF运动时，对AE+CF的描述正确的是（ ）
A . 等于定值5- B . 有最大值 C . 有最小值 D . 有最小值
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3. (2022九上·舟山期中) 如图，AB为⊙O的直径，AB＝8，点C为半圆AB上一动点，以BC为边向⊙O外作正ΔBCD（点D在直线AB的上方），连接OD，则线段OD的（ ）
A . 随点C的运动而变化，最小值为 B . 随点C的运动而变化，最大值为8 C . 随点C的运动而变化，最大值为 D . 随点C的运动而变化，但无最值
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4. (2023·柯桥模拟) 如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB=3，BC=4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1、S2、S3、S4 ， 以下判断，其中不正确的是（ ）
A . PA+PB+PC+PD的最小值为10 B . 若△PAB≌△PCD，则△PAD≌△PBC C . 若△PAB∼△PDA，则PA=2 D . 若S1=S2 ， 则S3=S4
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5. (2022九上·五华期中) 如图，在矩形中，点E是对角线上一点，有且 ， 点P是上一动点，则点P到边 ， 的距离之和的值（ ）
A . 有最大值a B . 有最小值 C . 是定值 D . 是定值
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6. (2022九上·海曙期中) 如图，AB为⊙O的直径，AB=10，点C是AB上方半圆上的一点，点D是AB下方半圆上的点．连接AC，BC，AD，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E．若AD＝ ， 则当下列哪种情况时，AC•CE取得最大值. （ ）
A . CD取最大值时 B . AC⊥AD时 C . CD⊥DE时 D . OC⊥AB时
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7. (2023九下·宁波月考) 如图， ， 点A、B分别在射线、射线上运动，四边形是矩形，且 ， ， 则的最大值为（ ）
A . B . C . D . 无最大值
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8. (2023九上·临平月考) 如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，点C是圆上不与A ， B重合的点，CD平分∠ACB ， 交⊙O于D ， AE平分∠CAB ， 交CD于E ． 有以下说法：
①点D是定点；
②AC•BC的最大值为50；
③D为△ABE的外心；
④CA+CB的最大值为 ．
其中正确的有（ ）
A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
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9. (2023·安徽) 如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若 ， 则下列结论错误的是（ ）

A . 的最小值为 B . 的最小值为 C . 周长的最小值为6 D . 四边形面积的最小值为
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10. (2021·岑溪模拟) 如图，已知点C在以 为直径，O为圆心的半圆上， ，以 为边作等边 ，则 的最大值是（ ）
A . B . C . D .
二、填空题（每题2分，共12分）(共6题；共12分)
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11. (2023·泸州) 如图， ， 是正方形的边的三等分点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是．
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12. (2023·广西) 如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为．
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13. (2023九上·随县期中) 中， ， ， 以为边在外作正方形 ， 、交于点O ， 则线段的最大值为．
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14. (2024·贵州模拟) 如图，在中， ， ， ， 平分 ， 点F是的中点，点E是上的动点，则的最小值为．
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15. (2024九下·深圳月考) 如图，在直角坐标系中，已知点 ， 点为轴正半轴上一动点，连接 ， 以为一边向下作等边 ， 连接 ， 则的最小值为 ．
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16. (2023九上·广州月考) 如图，平面内三点、、 ， ， ， 以为对角线作正方形 ， 连接 ， 则的最大值是．
三、解答题（共4题，共26分）(共4题；共26分)
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17. 如图所示，在△ABC中，是斜边AB上一点， ， ， 求的最大值.
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18. (2020·漳州模拟) 如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝ AB ， 点P在BC上运动（不与B ， C重合），过点P作PQ⊥EP ， 交CD于点Q ， 求在点P运动的过程中，BP多长时，CQ有最大值，并求出最大值．
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19. 如图所示，AB，CD是半径为5的的两条弦，是的直径，于点于点 ， 且点E，F位于点的两侧.若为EF上任意一点，求的最小值.
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20. (2023九上·历下月考) 材料：对于一个关于的二次三项式 ， 除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法，例：求的最小值；
解：令 ， ，
， ， 的最小值为 ．
请利用上述方法解决下列问题：如图，在中， ， 高 ， 矩形的一边在边上，、两点分别在、上，交于点 ．

（1） 若 ， 求矩形的面积；
（2） 设求矩形的面积最大值．
四、实践探究题（共7题，共62分）(共7题；共62分)
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21. (2024九下·宁波月考) 根据以下素材，探索完成任务．
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22. (2024九上·都江堰期末) 阅读下列材料，解决问题：
配方法是数学中一种很重要的恒等变形方法，我们已经学习了用配方法解一元二次方程，并在此基础上得出了一元二次方程的求根公式．其实配方法还有很多重要的应用．例如我们可以用配方法求代数式的最值及取得最值的条件，如下面的例子：
例：求多项式的最小值
解：
，
多项式的最小值为−7，此时， ．
仿照上面的方法，解决下面的问题：
（1） 当时，多项式有最值是；
（2） 若代数式 ， 试比较与的大小关系；
（3） 如图，在中， ， 高 ， 矩形的四个顶点分别在三角形的三边上，设 ， 矩形的面积为 ． 用含有的代数式表示 ， 并求出当的值为多少时，的值最大？并判断此时与面积的关系．
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23. (2023九上·义乌月考) 请根据素材，完成任务.
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24. (2021九上·青岛开学考) （实际问题）小明家住 楼．一天，他要把一根 米长的竹竿放入电梯带回家中，如果竹竿恰好刚能放入电梯中（如图①示）那么，电梯的长、宽、高和的最大值是多少米？
（类比探究）为了解决这个实际问题，我们首先探究下面的数学问题．
探究：如图②，在 中， ．若 ， ， ，则 与 之有什么数量关系？
解：在 中，
，
，即 ．
，
，
，
，
．
．
， ， 均大于 ，
与 之间的数量关系是 ．
（1） 探究2：如图③，在四边形 中， 是对角线， ， ．若 ， ， ， ，则 与 之间有什么数量关系？
解： ， ，
， ．

， ， ，
， ， ．
将上面三式相加得， ，
．
．
．
， ， ， 均大于 ，
与 之间有这样的数量关系： ．
（2） 探究3：如图④，仿照上面的方法探究，在五边形 中， ， 是对角线， ， ， ．若 ， ， ， ， ，则 与 之间的数量关系是．
（3） 当 ， ，…， ， 时，若 ，则 与 之间的数量关系是．
（4） 小明家住 楼一天，他要把一根 米长的竹竿放入电梯带回家中，如果竹竿恰好刚能放入电梯中（如图①示），那么，电梯的长、宽、高和的最大值是米．
（5） 公园准备修建一个四边形水池，边长分别为 米， 米， 米， 米，分别以水池四边为边向外建四个正方形花园，若花园面积和为 平方米，则水池的最大周长为米．
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25. (2023九下·宿迁开学考)

【问题呈现】如图1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，点P在半径为2的⊙O上，求的最小值.
【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA上取一点C使得OC=1，这样可得 ， 又因为∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以 ， 得所以.
又因为 ， 所以最小值为 ▲ .
【思路点拨】小明通过构造相似形（图3），将转化成CP，再利用“两点之间线段”最短”求出CP+ BP的最小值.
【尝试应用】如图4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，点P是半径为6的⊙O上一动点，求的最小值.
【能力提升】如图5，∠ABC=120°， BA= BC=8，点D为平面内一点且BD= 3CD，连接AD，则△ABD面积的最大值为 ▲ .
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26. (2023·永嘉模拟) 旋转的图形带来结论的奥秘.已知 ， 将绕点逆时针旋转得到.
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27. (2020九上·甘州月考) 阅读下列材料，完成相应的任务
任务：
（1） 类比探究：对于函数y＝ ，当x＝时，y有最小值，最小值为.
（2） 应用拓展：如图③，若点D在BC上运动，AD⊥BC，AD＝3，BC＝5.连接AB，AC.求△ABC周长的最小值.
难度系数：0.43
第Ⅰ卷 客观题
一、选择题（每题2分，共20分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
二、填空题（每题2分，共12分）
11 12 13 14 15 16
第Ⅱ卷 主观题
三、解答题（共4题，共26分）
17 18 19 20
四、实践探究题（共7题，共62分）
21 22 23 24 25 26 27
如何确定拍照打卡板
素材一
设计师小聪为某商场设计拍照打卡板（如图1），图2为其平面设计图．该打卡板是轴对称图形，由长方形DEFG和等腰三角形ABC组成，且点B ， F ， G ， C四点共线．其中，点A到BC的距离为1.2米，米，米．
素材二
因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形DEFG与等腰三角形ABC（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为85元/平方米，乙材料的单价为100元/平方米．
问题解决
任务一
推理最大高度
小聪说：“如果我设计的方案中CB长与C ， D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段DG长”，他的说法对吗？请判断并说明理由．
任务二
探究等腰三角形ABC面积
假设CG长度为x米，等腰三角形ABC的面积为S ， 求S关于x的函数表达式．
任务三
确定拍照打卡板
小聪发现他设计的方案中，制作拍照打卡板的总费用不超过180元，请你确定CG长度的最大值．
素材一
如图，在Rt中， ， 垂足为点 ， 若保证始终为直角，则点A、B、C在以AB为直径的圆上.
素材二
如图，在Rt△ABC中， ， 垂足为点 ， 取AB的中点 ， 连接OC，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知 ， 可得OC≥CD.
素材三
如图，矩形ABCD是某实验室侧截面示意图，现需要在室内安装一块长1米的遮光板EF，且EF//AB，点到墙AB的距离为4米，到地面BC的距离为5米.点O为室内光源，OM、ON为光线， ， 通过调节光源的位置，可以改变背光工作区的大小.若背光工作区BM+BN的和最大时，该实验室“可利用比”最高.
任务一
若素材一中的AB=4，求CD的最大值.

任务二
若素材二中的CD=6，求AB的最小值.

任务三
若任务二中的∠ACB=90°改成∠ACB=60°，其余条件不变，请直接写出AB的最小值.
任务四
若任务二中的∠ACB=90°，CD=6改成∠ACB=α，CD=m，请直接出AB的最小值.

任务五
当素材三中的实验室“可利用比”最高，求此时BM+BN的值

初步探索
素材1：
如图①，连接对应点 ， ， 则.
素材2：
如图②，以为圆心，边上的高为半径作 ， 则与相切.
问题解决
（1）（ⅰ）请证明素材1所发现的结论.
（ⅱ）如图2，过点作 ， 垂足为.证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.
深入研究
（2）在满足 ， ， 是的中点，绕点逆时针旋转得.
（ⅰ）如图③，当边恰好经过点时，连接 ， 则的长为▲ .
（ⅱ）若一时边所在直线恰好经过点 ， 于图④中利用无刻度的直尺和圆规作出直线.（只保留作图痕迹）
（3）在（2）的条件下，如图⑤，在旋转过程中，直线 ， 交于点 ， 求的最大值为▲ .
数学活动课上，老师提出如下问题：
如图①，在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，AB＝2，DC＝4，BC＝8，点P为BC边上的动点，求当BP的值是多少时，AP+DP有最小值，最小值是多少.
小丽和小明对老师提出的问题进行了合作探究：
小丽：设BP＝x，则CP＝8﹣x，根据勾股定理，可得AP+DP＝ .但没有办法继续求解.
小明：利用轴对称作图，如图②，作点A关于直线BC的对称点A′，连接A′D，与BC交于点P，根据两点之间线段最短，将求AP+DP的最小值转化为求线段A'D的长.
由△A′BP∽△DCP，得 ＝ ＝
所以BP＝ .
过点A′作A′H⊥DC，交DC的延长线于点H，再由勾股定理，可得A′D＝ ＝ ＝10.
所以当BP＝ 时，AP+DP有最小值，最小值为10.