2024年中考真题数学热点探究二十一 动态及轨迹型问题

这是一份2024年中考真题数学热点探究二十一 动态及轨迹型问题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，实践探究题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（每题2分，共20分）(共10题；共20分)
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1. (2023九上·吉林开学考) 如图，在中， ， 为边上一动点，于 ， 于 ， 动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的值大小变化情况是（ ）
A . 一直增大 B . 一直减小 C . 先减小后增大 D . 先增大后减少
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2. (2022九上·江北期末) 如图，在等边中， ， 点为的中点，动点分别在上，且 ， 作的外接圆 ， 交于点.当动点从点向点运动时，线段长度的变化情况为（ ）
A . 一直不变 B . 一直变大 C . 先变小再变大 D . 先变大再变小
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3. (2023九上·绥阳期中) 如图，⊙O的半径为10，弦AB＝16，点M是弦AB上的动点且点M不与点A、B重合，若OM的长为整数，则这样的点M有几个？（ ）
A . 4 B . 5 C . 7 D . 9
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4. (2024九下·定海开学考) 如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为 ， 点B坐标为 ， 的半径为4（O为坐标原点），点C是上一动点，过点B作直线的垂线 ， P为垂足，点C在上运动一周，则点P运动的路径长等于（ ）
A . B . C . D .
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5. (2024九下·吉林月考) 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴的正半轴上， ， 两点的坐标分别为 ， ， 点在第一象限，将直线沿轴向右平移个单位.若平移后的直线与边有交点，则的取值范围是（ ）
A . B . C . D .
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6. (2024九上·丰台期中) 两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC和A'B'C′重合在一起，将三角板A'B'C'绕直角顶点C'按逆时针方向旋转α（0°＜α≤90°），如图所示．以下结论错误的是（ ）
A . 当α＝30°时，A'C与AB的交点恰好为AB中点 B . 当α＝60°时，A'B'恰好经过点B C . 在旋转过程中，存在某一时刻，使得AA'＝BB' D . 在旋转过程中，始终存在AA'⊥BB'
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7. (2023九上·郑州经济技术开发月考) 如图1，在矩形中，动点从点出发，沿做匀速运动，到达点后停止运动，动点从点出发，沿以同样的速度做匀速运动，到达点后也停止运动，已知点同时开始运动，连接 ， 设 ， ， 其中关于的函数图象如图2所示，则图中的值为（ ）
A . B . C . D .
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8. (2023九上·仙居开学考) 如图是一张矩形纸片 ， 点 ， 分别在边 ， 上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处把沿直线折叠，使点落在线段上的点处， ， ， 则矩形的面积为（ ）
A . B . C . D .
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9. (2024九上·义乌期末) 如图，正方形的边长为4，点是边上的一点，将沿着折叠至 ， 若、恰好与正方形的中心为圆心的相切，则折痕的长为（ ）
A . B . 5 C . D . 以上都不对
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10. (2023·东莞模拟) 在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为 ， 每一次将绕着点逆时针方向旋转 ， 同时每边扩大为原来的倍，第一次旋转后得到 ， 第二次旋转后得到 ， ， 依次类推，则点的坐标为（ ）
A . B . C . D .
二、填空题（每题2分，共12分）(共6题；共12分)
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11. (2023·绍兴模拟) 如图，矩形中， ， ． 动点E在边上，以点E为圆心，以为半径作弧，点G是弧上一动点．

（1） 如图①，若点E与点A重合，且点F在上，当与弧相切于点G时，则的值是；
（2） 如图②，若连结 ， ， 分别取、的中点P、Q ， 连接 ， M为的中点，则CM的最小值为．
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12. (2023·自贡) 如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点 ， 连接 ． 当取最小值时，的最小值是 ．
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13. (2023九上·中牟开学考) 如图，等边三角形的边长为 ， 动点从点出发，沿的方向以的速度运动，动点从点出发，沿的方向以的速度运动，且动点 ， 同时出发，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动那么运动到第秒时，点 ， ， 以及的边上一点恰能构成一个平行四边形．
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14. (2023·吉安模拟) 对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点经1次斜平移后的点的坐标为 ． 已知点的坐标为 ． 如图，点是直线上的一点，点关于点的对称点为点 ， 点关于直线的对称点为点 ． 若点由点经次斜平移后得到，且点的坐标为 ， 则点的坐标为 ．

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15. (2023·泗县模拟) 如图，正方形的边长为 ， 点 ， 分别在 ， 上将该正方形沿折叠，使点落在边上的点处，折痕与相交于点 ．

（1） 若是的中点，则的长为 ；
（2） 若为的中点，随着折痕位置的变化，的最小值为 ．
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16. (2024九上·简阳期末) 如图1，有一张矩形纸片 ， 已知 ， ， 现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上（如图2），则；然后将绕点旋转到 ， 当过点时旋转停止，则的长度为．
三、解答题（共7题，共76分）(共7题；共76分)
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17. (2024九上·澧县期末) 如图，在矩形ABCD中， ， ， 动点M以的速度从A点出发，沿向点B运动，同时动点N以的速度从点D出发，沿DA向点A运动，设运动的时间为秒（）．
（1） 当为何值时，的面积等于矩形面积的？
（2） 是否存在某一时刻 ， 使得以A、M、N为顶点的三角形与相似?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
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18. (2023九上·盘州期中) 如图，在中， ， ， ． 动点P从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发， 在边上以每秒的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒 ．
（1） 用含t的代数式表示的长．
（2） 连结 ， 如图①所示．当与相似时，求t的值．
（3） 过点P作于D ， 连结 ， 如图②所示．当时，直接写出线段的长．
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19. (2023九上·石家庄月考) 如图1和图2，在中， ， 直线 ， 若自点出发以每秒1个单位长度的速度沿射线方向平移，同时点从点出发向点运动，速度是每秒2个单位长度，若直线分别与交于三点，连接 ， 设运动时间为 ．
（1） 图中＝；
（2） 求当为何值时，；
（3） 当四边形为平行四边形时，则＝；
（4） 在边或其延长线上取一点（点在的右侧），使得 ， 直接写出：当 时，的值为多少?
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20. (2024九上·松原期末) 在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形， ， ， 顶点 ， 点在第一象限，矩形的顶点 ， ， 点在第二象限将矩形沿轴向右平移，得到矩形 ， 点 ， ， ， 的对应点分别为 ， ， ， 设 ．

（1） 如图 ， 当时，与交于点，求点 ， 的坐标；
（2） 若矩形与重叠部分的面积为 ．
如图 ， 当矩形与重叠部分为五边形时，分别与交于点 ， 与交于点与交于点 ， 试用含有的式子表示 ， 并直接写出的取值范围；
当时，求的取值范围直接写出结果即可 ．
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21. (2023·阜新) 如图，在正方形中，线段绕点C逆时针旋转到处，旋转角为 ， 点F在直线上，且 ， 连接 ．
（1） 如图1，当时，
①求的大小（用含的式子表示）．
②求证： ．
（2） 如图2，取线段的中点G ， 连接 ， 已知 ， 请直接写出在线段旋转过程中（）面积的最大值．
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22. (2023九上·七星期中) 如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ， 动点从点出发，在射线上以每秒1个单位长度的速度运动，另一动点与动点同时出发，在射线上以每秒2个单位长度的速度运动，设点P、Q运动时间为秒．
（1） 填空：直线的函数表达式为：，是三角形；
（2） 连接 ， 设的面积为 ， 求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3） 在（2）的条件下，是否存在值，使得以点B ， P ， Q为顶点的与相似？若存在，求出值，并直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
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23. (2023九上·崂山期中) 如图甲，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，动点P从点B出发，沿BA方向向点A匀速运动，同时动点Q从点A出发，沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1个单位/s，连接PQ ． 设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：
（1） 设△APQ的面积为S ， 则S＝；（用含t的代数式表示）
（2） 如图乙，连接PC ， 将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP’C ， 当四边形PQP’C为菱形时，求t的值；
（3） 当△APQ是等腰三角形时，求t的值？
四、实践探究题（共6题，共42分）(共6题；共42分)
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24. (2023九上·商河期中) 如图1，在中，∠ABC=90°， ， ， 点分别是边的中点，连接 ． 将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为 ．
（1） 问题发现
当时，；当时，．
（2） 拓展探究
试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3） 问题解决
绕点逆时针旋转至三点在同一条直线上时，请直接写出线段的长．
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25. (2024九上·长春汽车经济技术开发期末) 【问题呈现】小华在一次学习过程中遇到了下面的问题：

点为内一定点，点为上一动点，确定点的位置，使线段最长．
（1） 【问题解决】以下是小华的方法：
如图 ， 连结并延长交于点 ， 点为所求．
理由如下：在上取点异于点 ， 连结、 ．
接下来只需证明 ．
请你补全小华的证明过程．
（2） 【类比结论】点为外一定点，点为上一动点，设的半径为 ， 的长为 ， 则线段长度的最大值为 ，线段长度的最小值为 用含、的代数式表示
（3） 【拓展延伸】如图 ， 在半圆中，直径的长为 ， 点在半圆上， ， 点在上运动，连结 ， 是上一点，且 ， 连结在点运动的过程中，线段长度的最小值为 ．
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26. (2023九上·道里开学考) 综合实践：在矩形中，点E是边上的一个动点，连接 ， 将沿着对折，点B落在点F处．
（1） 如图1，若点F恰好落在矩形的对角线上， ， ， 直接写出的长度是；
（2） 如图2，若点F恰好落在矩形的对角线BD上，与相交于点H ， ， ， 求的长度；
（3） 如图3，若点F恰好落在矩形一边的垂直平分线上， ， 直接写出的长度是；
（4） 如图4，若点F恰好落在矩形一边的垂直平分线上， ， ， 求的长度；
（5） 如图5，若点F恰好落在矩形一边的垂直平分线上，延长交于点G ， 过点G作的垂线交于点K ， 点P为上一点，连接 ， 把线段绕点E逆时针旋转，使点P落在上的点Q处，求证： ．
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27. (2023九上·朝阳月考) 综合与实践
[问题情境]
如图1，小华将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线BD上，点B的对应点记为B'，折痕与边AD，BC分别交于点E，F．
（1） [活动猜想]如图2，当点B'与点D重合时，四边形BEDF是哪种特殊的四边形？并给予证明．
（2） [问题解决]如图1，当AB=4， AD=8，BF=3时，连结B'C，则B'C的长为
（3） [深入探究]如图3，请直接写出AB与BC满足什么关系时，始终有A'B'与对角线AC平行？
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28. (2023·扬州) 【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和 ， 设 ．
【操作探究】
如图1，先将和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为 ， 旋转过程中保持不动，连接 ．
（1） 当时，；当时，；
（2） 当时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
（3） 如图2，取的中点F，将绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为．
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29. (2022九上·长顺期末) 数学课上，王老师出示问题：如图1，将边长为5的正方形纸片折叠，使顶点落在边上的点处（点与 ， 不重合），折痕为 ， 折叠后边落在的位置，与交于点.
（1） 观察操作结果，在图1中找到一个与相似的三角形，并证明你的结论；
（2） 当点在边的什么位置时，与面积的比是？请写出求解过程；
（3） 将正方形换成正三角形，如图2，将边长为5的正三角形纸片折叠，使顶点落在边上的点处（点与 ， 不重合），折痕为 ， 当点在边的什么位置时，△BEP与△CPF面积的比是9∶25？请写出求解过程.
难度系数：0.3
第Ⅰ卷
一、选择题（每题2分，共20分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
二、填空题（每题2分，共12分）
11 12 13 14 15 16
三、解答题（共7题，共76分）
17 18 19 20 21 22 23
四、实践探究题（共6题，共42分）
24 25 26 27 28 29
第Ⅱ卷