福建省三明市2024届高三下学期5月质量检测（三模）数学试卷(含答案)

这是一份福建省三明市2024届高三下学期5月质量检测（三模）数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．直线与圆相交于A,B两点,则( )
A.B.C.2D.4
2．已知a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,,则的值为( )
A.B.C.D.
3．随机变量,函数没有零点的概率是,则μ的值为( )
A.1B.2C.3D.4
4．若,则( )
A.B.C.D.
5．各种不同的进制在生活中随处可见,计算机使用的是二进制,数学运算一般使用的是十进制,任何进制数均可转换为十进制数,如八进制数转换为十进制数的算法为.若将八进制数转换为十进制数,则转换后的数的末位数字是( )
A.3B.4C.5D.6
6．函数的部分图象如图所示,其中A,B两点为图象与x轴的交点,C为图象的最高点,且是等腰直角三角形,若,则向量在向量上的投影向量的坐标为( )
A.B.CD.
7．已知抛物线的焦点为F,第一象限的两点A,B在抛物线上,且满足,.若线段AB中点的横坐标为3,则p的值为( )
A.2B.3C.4D.5
8．已知函数,若实数x,y满足,则的最大值为( )
A.1B.C.D.
二、多项选择题
9．i是虚数单位,下列说法正确的是( )
A.
B.若,则
C.若,,则的最小值为1
D.若是关于x的方程的根,则
10．假设甲袋中有3个红球和2个白球,乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋,混匀后再从乙袋中任取2个球.下列选项正确的是( )
A.从甲袋中任取2个球是1个红球1个白球的概率为
B.从甲,乙两袋中取出的2个球均为红球的概率为
C.从乙袋中取出的2个球是红球的概率为
D.已知从乙袋中取出的是2个红球,则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为
11．在棱长为2的正方体中,E,F,G分别为AB,BC,的中点,则下列说法正确的是( )
A.若点P在正方体的表面上,且,则点P的轨迹长度为
B.若三棱锥的所有顶点都在球O的表面上,则球O的表面积为
C.过点E,F,的平面截正方体所得截面多边形的周长为
D.若用一张正方形的纸把此正方体完全包住,不考虑纸的厚度,不将纸撕开,则所需纸的面积的最小值为32
三、填空题
12．已知从小到大排列的一组数据:1,5,a,10,11,13,15,21,42,57,若这组数据的极差是其第30百分位数的7倍,则a的值为_____.
13．已知关于x的不等式对任意均成立,则实数k的取值范围为_____.
14．记表示k个元素的有限集,表示非空数集E中所有元素的和,若集合,则_____,若,则m的最小值为_____.
四、解答题
15．如图,多面体PABCD中,和均为等边三角形,平面平面PBD,,
（1）求证:;
（2）求平面ABD与平面PBC夹角的余弦值.
16．已知函数(其中)其中图象的两条相邻对称轴间的距离为
（1）若在上有最大值无最小值,求实数m的取值范围;
（2）将函数的图象向右平移个单位长度;再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到的图象,设,求在的极大值点.
17．某校开设劳动教育课程,为了有效推动课程实施,学校开展劳动课程知识问答竞赛,现有家政,园艺,民族工艺三类问题海量题库,其中家政类占,园艺类占,民族工艺类占.根据以往答题经验,选手甲答对家政类,园艺类,民族工艺类题目的概率分别为,,,选手乙答对这三类题目的概率均为
（1）求随机任选1题,甲答对的概率;
（2）现进行甲,乙双人对抗赛,规则如下:两位选手进行三轮答题比赛,每轮只出1道题目,比赛时两位选手同时回答这道题,若一人答对且另一人答错,则答对者得1分,答错者得分,若两人都答对或都答错,则两人均得0分,累计得分为正者将获得奖品,且两位选手答对与否互不影响,每次答题的结果也互不影响,求甲获得奖品的概率.
18．已知数列满足.
（1）求数列的通项公式;
（2）设数列的前n项和为,若不等式对任意的恒成立,求实数t的取值范围;
（3）记,求证:.
19．已知平面直角坐标系xOy中,有真命题:函数的图象是双曲线,其渐近线分别为直线和y轴.例如双曲线的渐近线分别为x轴和y轴,可将其图象绕原点O顺时针旋转得到双曲线的图象.
（1）求双曲线的离心率;
（2）已知曲线,过E上一点P作切线分别交两条渐近线于A,B两点,试探究面积是否为定值,若是,则求出该定值;若不是,则说明理由;
（3）已知函数的图象为,直线,过的直线与在第一象限交于M,N两点,过M,N作l的垂线,垂足分别为,直线MD,NC交于点H,求面积的最小值.
参考答案
1．答案：B
解析：由已知圆,圆心为,半径
所以圆心到直线距离
所以
故选:B
2．答案：C
解析：在中,由余弦定理得,
而,则,所以.
故选:C
3．答案：D
解析：由函数没有零点,得,,
函数没有零点的概率是,即,
结合,可知,
故选:D
4．答案：A
解析：由题意得,,
由于在上单调递增,故;
而在上单调递减,故,
故,
故选:A
5．答案：A
解析：
因为是10的倍数,
所以换算后这个数的末位数字即为的末位数字,
由,末位数字为3,
故选:A.
6．答案：B
解析：,则,过点C作于点D,
因为是等腰直角三角形,所以,,
因为,所以,,,,
因为最大值为1,所以,解得,
所以,,,则,,
则在上的投影向量的坐标为:,
故选:B.
7．答案：B
解析：设,,由得,
即得;
又,解得,
由于A,B在第一象限内,故,
则,
而线段AB中点的横坐标为3,则,
故,,
故选:B
8．答案：C
解析：,
,
则,
又因为,
所以,即,
设,
则直线与椭圆有交点,
联立,得,
则,解得,
所以的最大值为.
故选:C.
9．答案：BC
解析：对于A,,故A错误;
对于B,若,
则,故B正确;
对于C,设,
由,得,即,所以,
则,
所以最小值为1,故C正确;
对于D,若是关于x的方程的根,
则也是关于x的方程的根,
所以,故D错误.
故选:BC.
10．答案：ACD
解析：从甲袋中取出2个球有i个红球的事件为,,1,2,从乙袋中取出2个球红球的事件为B,
,,,
,,,
对于A,从甲袋中任取2个球是1个红球1个白球的概率为,A正确;
对于B,从甲,乙两袋中取出2个球均为红球的概率为,B错误;
对于C,从乙袋中取出的2个球是红球的概率,C正确;
对于D,从乙袋中取出的是2个红球,则从甲袋中取出的也是2个红球的概率
,D正确.
故选:ACD
11．答案：BCD
解析：A选项,因为,所以P在以EG为直径的球面上,又因为E,G分别是AB和的中点,结合棱切球与各个面的交点为各条棱的中点,得到该球是正方体的棱切球,
又由P在正方体的表面上,所以P的轨迹为6个半径为1的圆,所以P的轨迹长度为,故A错误;
B选项,即求三棱锥即的外接球,
在中,由余弦定理得,
所以,由正弦定理得,其中r是外接圆半径,所以,
因为侧棱面CEF,所以外接球半径,所以球O的表面积为,故B正确;
C选项,如图
延长FE交DA的延长线于点P,可得到,所以,
连接交于点Q,由得,所以Q是上靠近A的三等分点,
连接,作交于点R,则R是靠近C的三等分点,连接,则五边形即为所求截面,
,,
,,
,
所以周长为,故C正确;
D选项,
由正方体的侧面展开图,结合上图可以看出五个正方形及上下左右四个三角形组成一个正方形,
可知要想把正方体完全包住,正方形PSQT即为所求正方形,
对角线长为,所以面积为,故D正确;
故选:BCD.
12．答案：6
解析：由题意知这组数据的极差是,
由于,故第30百分位数为,
故,,
故答案为:6
13．答案：
解析：当对任意均成立时,
则对任意均成立,
令,则,
当时,,当时,,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,
所以,
所以,
当对任意均成立时,
则对任意均成立时,
因为,当且仅当,即时取等号,
所以,
所以,所以,
所以,当且对任意均成立时,
且,即;
当且对任意均成立时,
即且对任意均成立时,
因为在上无最大值,
所以此时没有k满足,
综上,实数k的取值范围为.
故答案为:.
14．答案：,21
解析：当,时,,表示3个元素的有限集,
由可知或或或,
故;
由题意知,
故由可得,即,
解得或(舍去),
结合,故m的最小值为21,
故答案为:;21
15．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:取BD的中点M,连接PM,MC,
因为和均为等边三角形,故,,
而,PM,平面CPM,
故平面CPM,平面CPM,
故;
（2）以M为坐标原点,以,所在直线为x,y轴,过点M作平面BCD的垂线为z轴,
建立空间直角坐标系,
平面平面PBD,平面平面,平面PBD,
,故平面ABD,
和均为等边三角形,,,
,,
,,,
,,,
设平面PBC的法向量为,
,即,令,则,
平面的法向量可取为,
设平面ABD与平面PBC夹角为,
,
故平面ABD与平面PBC夹角的余弦值为.
16．答案：（1）
（2）和
解析：（1）
因为图象相邻对称轴间距离为,
所以周期,即,
因此,
当时,
若在有最大值无最小值,由正弦函数图象得
只需,解得,
即m的取值范围为.
（2）将的图象向右平移个单位得
再将图象所有点横坐标变为原来2倍得,
所以
,
令得,
解得或或,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
所以的极大值点为和.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）记随机任选1题为家政,园艺,民族工艺试题分别为事件,
记随机任选1题,甲答对为事件B,
则,,,,,,,
则
;
（2）设乙答对记为事件C,则
,
设每一轮比赛中甲得分为X,
则,
,
,
三轮比赛后,设甲总得分为Y,
则,,
,
所以甲最终获得奖品的概率为.
18．答案：（1）
（2）
（3）证明见解析
解析：（1）当时,,
当时,,时成立,
所以.
（2）由得,,显然时,单调递增,,
由得,,
又,当且仅当时,即时等号成立,
因为,,,,且,,,
所以当时,,解得,
当时,,解得,
所以.
（3）证明:由（1）得,,
因为
所以
.
19．答案：（1）
（2）是定值
（3）
解析：（1）设双曲线的实轴长为,虚轴长为,
因为双曲线的两条渐近线为x轴和y轴,
所以两渐近线之间的夹角为,所以,
所以.
（2）不妨设是双曲线在第一象限的点,则,,,,
则过点P的切线方程为:,即,
与双曲线渐近线联立,即,,
解得或,
设,,则,,
因为,
所以,
所以面积是定值2.
（3）由的图象是双曲线,渐近线为y轴与直线,
则两渐近线的夹角为,故,两渐近线夹角的平分线所在直线方程为,
联立得,或,则双曲线的,
所以,则将图象绕原点O顺时针旋转得到双曲线的图象,
直线与x轴夹角为,故直线l的图象绕原点O顺时针旋转得到直线,
同理可得点,M,N,C,D,H绕原点O顺时针旋转得到,,,,,,且点为右支上的点,
设,,则,,
由题知,过的直线斜率不为0,设该直线方程,
因为点,为右支上的点,所以且,
所以,
由得,,,
,,
则,即,
因为由图象知直线的斜率存在,所以,
故直线的方程为:,
令,,
由得,,
所以直线过定点,
同理可得直线也过定点,
所以直线与的交点为,
则
,令,
则,
因为函数在上单调递减,,则,即
所以,
故面积的最小值为.