四川省内江市第六中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷试题（Word版附解析）

这是一份四川省内江市第六中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷 选择题（满分60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设平面向量，，则（ ）
A．B．C．D．
2．己知复数，则z的虚部为（ ）
A．2B．2iC．D．
3．在△ABC所在平面内，D是BC延长线上一点且，E是AB的中点，设，，则（ ）
A．B．C．D．
4．若，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，，则向量，的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
6．在△ABC中，，P是直线BD上的一点，若则实数t的值为（ ）
A．B．C．D．
7．在△ABC中，若，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
8．已知函数在区间上单调递增，则下列选项中错误的是（ ）
A．函数两个零点的最小距离为，则
B．若，则
C．若，则
D．若，且函数在区间有唯一零点，则
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．计算下列各式，结果为的是（ ）
A． B．
C．D．
10．已知向量，，则（ ）
A．若，则
b．若，则
C．若，则向量与向量的夹角的余弦值为
D．若，则向量在向量上的投影向量为
11．函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．的表达式可以写成
B．的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数
C．的对称中心，
D．若方程在上有且只有6个根，则
12．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确是（ ）
A．若，则△ABC面积的最大值为
B．若，且△ABC只有一解，则b的取值范围为
C．若，且△ABC为锐角三角形，则△ABC周长的取值范围为
D．若△ABC为锐角三角形，，则AC边上的高的取值范围为
第Ⅱ卷 非选择题（满分90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在△ABC中，已知，则角______．
14．函数，的最大值是______．
15．如图，风景秀美的内江六中有一颗高大的银杏树，某研究小组为测量树的高度，在地面上选取了A，B两点，从A，B两点测得树尖的仰角分别为30°和45°，且A，B两点间的距离为20m，则这颗银杏树的高度为______m．
16．已知向量，，满足，，，，则的最大值等于______．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）设复数，其中．
（1）若z是纯虛数，求a的值；
（2）z所对应的点在复平面的第四象限内，求a的取值范围．
18．（12分）已知函数．
（1）把化为的形式，并求的最小正周期；
（2）求的单调递增区间以及对称中心．
19．（12分）在△ABC中，，，边AB，BC上的点M，N满足，，P为AC中点．
（1）设，求实数，的值；
（2）若，求边AC的长．
20．（12分）在第六章平面向量初步中我们学习了向量的加法、减法和数乘向量三种运算，以及由它们组合成的线性运算那向量乘法该怎样运算呢？数学中向量的乘法有两种：数量积和向量积（又称为“·乘”，“×乘”）．向量与的向量积记作：．其中的运算结果是一个向量，其方向垂直于向量与所在平面，它的长度．现在我们定义一种运算规则“”．设平面内两个非零向量而，元的夹角为，规定示．试求解下列问题：
（1）已知向量，满足，，，求的值；
（2）已知向量，，，求的最小值．
21．（12分）为了丰富同学们的课外实践活动，某中学拟对生物实践基地（△ABC区域）进行分区改造．△BNC区域为蔬菜种植区，△CMA区域规划为水果种植区，蔬菜和水果种植区由专人统一管理，△MNC区域规划为学生自主栽培区．△MNC的周围将筑起护栏．已知m，m，，，设．
（1）若m，求护栏的长度（△MNC的周长）；
（2）试用表示△MNC的面积，并研究△MNC的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由．
22．
（12分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
（1）求证：；
（2）若，求a边的范围；
（3）求的取值范围．
内江六中2023-2024学年（下）高2026届半期考试
参考答案
1．A
【详解】，
2．C
【详解】复数的虛部为．
3．C
【详解】在△ABC所在平面内，D在BC延长线上，且，则，
又E是AB的中点，
所以．
4．D
【详解】．
5．C
【详解】由题意，向量向，，，
可得，解得，
又由，可得．
6．B
【详解】因为，所以，
又P是直线BD上的一点，所以，
又，所以，
所以．
7．A
【详解】在△ABC中，由，得，
则，
所以，即，
则，又，，则，
所以，即，
所以△ABC为等腰三角形，但无法判断C是不是直角．
8．C
【详解】函数在区间上单调递增，
所以该函数的最小正周期T满足，所以，
当时，成立，所以的最大值为2。A正确；
对于选项B：因为在区间上单调递增，
故有：，
当时，，所以，
所以．
所以，又，故，可得．故B正确；
由于，故当时，，故C错误；D正确．
9．AC
【详解】对于A，
，故A正确；
对于B，因为，
可得，
所以，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误．
10．AC
【详解】若，则，解得，故A正确．
若，则，解得，故B错误．
若，则，，所以向量与向量的夹角的余弦值为，故C正确．
若，则，又，所以向量在向量上的投影向量
为，故D错误．
11．ABC
【详解】由，得，即，
又，所以，又的图象过点，
则，即，
所以，即得，，又，所以，
所以，故A正确；
向右平移个单位后得，为奇函数，故B正确；
对于C，，
令得，
所以对称中心，，故C正确；
对于D，由，得，解得或，，
方程即，
因为，所以，
又在上有6个根，则根从小到大为，
而第7个根为，，故D错误．
12．AC
【详解】对于A，由正弦定理可得，
因为，所以，所以，若，
由余弦定理得，
由，，可得，
即，当且仅当时等号成立，
则△ABC面积，所以△ABC面积的最大值为，故A正确；
对于B，若，且，由正弦定理得，
所以，
当时，即，时有一解，故B错误；
对于C，故C正确；
对于D，由于△ABC为锐角三角形，，，
所，故AC边上的高为，故D错误．
13．
因为，所以，
又，所以．
14．2
【详解】，
又，
，．
的最大为2．
15．
在△ABC中，，，，，
由正弦定理得，，
在Rt△BCD中，
16．【详解】设，，，
因为，，，
所以，
又，所以，所以点A，O，B，C共圆，
要使的最大，即为直径，
在△AOB中，，
又由正弦定理，即的最大值等，
17．【详解】（1）z是纯虚数，只需，
解得．
（2）由题意知，
解得，
18．【详解】（1）
，
所以最小正周期为．
（2）由，，
解得，，
所以的增区间为，．
对称中心为．
19．【详解】（1）
，则，；
（3），
所以即
解得，负值舍去，即边AC的长为8．
20．【详解】（1）由己知，得，
所以，即，
又，所以，
所以；
（2）法一：设，，则，，
所以，
，
所以，
故，
，
当且仅当，即时等号成立．
所以的最小值的最小是9．
法二：，故．故．
故
，
当且仅当，即时等号成立．
所以的最小值的最小是9．
21．【详解】（1）依题意，在△AMC中，m，m，，
所以，则，
，即，
所以，又，故，
所以△ANC是正三角形，则m，m，
所以护栏的长度为（m）．
（2）学生自主栽培区△MNC的面积有最小值，理由如下：
设，在△ANC中，，
则，
由正弦定理得，得，
在△ACM中，，
由正弦定理得，得，
所以
，
所以当且仅当，即时，
△CMN的面积取得最小值为．
22．（1）解：因为所以，
由正弦定理可得，
又因为，
代入可得，
即，
因为，，则，故，
所以或，即或（舍去），
所以．
法二：由正弦定理可得：
则
则
又，故
因为，，则，故，
所以或，即或（舍去），
（2）解：因为△ABC为锐角三角形，，所以，
由，解得，
又故．
（3）由（2）知．
由
，
令，则在上单调递增，所以，
所以的取值范围为．