江苏省无锡市2024年中考数学名师押题卷 考试卷+解答卷

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第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列各数中，绝对值最小的数是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】A
【分析】利用绝对值的定义求出各数的绝对值，再比较大小即可．
【详解】选项A中，；
选项B中，；
选项C中，；
选项D中，；
，
绝对值最小的数是0．
故选A．
【点睛】本题考查绝对值的求解及实数的大小比较，正确的计算和比较大小是解题的关键，并且绝对值非负，故一个数的绝对值的最小值是0．
2．函数中，自变量的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，根据二次根号下的数为非负数，二次根式才有意义，即可求解．
【详解】由题意得，
解得：，
故选C．
3．某水果店“五一”假期每天销售某种水果的数量（单位：）分别为：58，62，64，62．则这组数据的众数、中位数分别为（ ）
A．62，62B．64，62C．62，60D．64，60
【答案】A
【分析】本题考查了中位数和众数，熟练掌握找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据是解题的关键；先把原数据按由小到大排列，然后根据众数、中位数的定义求解即可；
【详解】解：数据从小到大排列为：58，62，62，64，
所以中位数为62；
数据62出现了2次，次数最多，
所以这组数据的众数为62．
故选：．
4．北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市，下列各届冬奥会会徽部分图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A．是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念．解题的关键是掌握中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
5．下列式子中，计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用完全平方公式，合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、，故不符合题意；
B、与不属于同类项，不能合并，故不符合题意；
C、，故符合题意；
D、，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6．下列命题中属于假命题的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行B．菱形的对角线互相垂直
C．三个角是直角的四边形是矩形D．三点确定一个圆
【答案】D
【分析】根据平行线的判定、菱形的性质、矩形的判定及确定圆的条件进行判断即可．
【详解】解：同位角相等，两直线平行是真命题，故A不符合题意；
菱形的对角线互相垂直是真命题，故B不符合题意；
三个角是直角的四边形是矩形是真命题，故C不符合题意；
三点确定一个圆是假命题，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查命题的真假判定、平行线的判定、菱形的性质、矩形的判定及确定圆的条件，熟练掌握相关定理是解题的关键．
7．如图，是的外接圆，是的直径，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理．根据圆周角定理求得，得到，再根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
8．正比例函数和反比例函数交于，两点，其中点A在第一象限，则等于（ ）
A．3B．C．1D．
【答案】C
【分析】由于正比例函数和反比例函数y交于，两点，那么A和B在上，也在y上．
【详解】解：把，两点分别代入和y，
得，解得：，
即，，
于是得到，
解得和，
由于A在第一象限，
所以，即，
所以只能取值．
所以，
故选：C．
【点睛】本题综合考查反比例函数与方程组的相关知识点．先由点的坐标求函数解析式，然后解由解析式组成的方程组求出交点的坐标，体现了数形结合的思想．
9．在平行四边形中，点是的中点，与交于点，则与四边形的面积之比（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质以及三角形面积问题，设，由四边形是平行四边形，得，，则有，再根据相似三角形的性质即可求解，解题的关键是相似三角形的面积比等于相似比的平方．
【详解】设，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，，即，
∴，
∴，
∴，
∴与四边形EFCD的面积之比为：，
故选：．
10．如图，四边形是边长为4的菱形，，将沿着对角线平移到，在移动过程中，与交于点，连接、、．则下列结论：
①；
②当时，；
③当时，的长为；
④的面积最大值为．
其中正确的为（ ）
A．①③B．②③C．①②③D．①②④
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，解一元二次方程．证明四边形是平行四边形，都是等边三角形，即可判断①；利用三角形内角和定理，通过计算即可判断②；设，证明，得到关于的一元二次方程，解方程即可判断③；设，利用，得到关于的二次函数，利用二次函数的性质即可判断④．
【详解】解：连接，
∵四边形是边长为4的菱形，，
∴和都是等边三角形，
∴，
由平移的性质得，四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴都是等边三角形，
∴，
∴，①正确；
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，②正确；
设，则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，解得，
∴，③错误；
作于点，于点，
设，则，，
∴，，
∴等边、、的高都是，
∴，，
，
，
，，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
④正确．
综上，①②④正确，
故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请把答案填写在答题卡相应位置上）
11．分解因式的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查用公式法分解因式．直接用平方差公式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12．据统计，2024年3月24日无锡马拉松报名人数约为265000人，刷新了中国马拉松报名人数记录，将数据“265000”用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查了用科学记数法表示较大的数时，理解“一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，”是解题的关键．
【详解】解：由题意得
．
故答案：．
13．方程的解为 ．
【答案】x=5
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【详解】解：，
去分母得：x+1=3（x-3），
解得：x=5，
检验：当x=5时，（x-3）（x+1）≠0，
∴x=5是原方程的根；
故答案为：x=5．
【点睛】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
14．如图，用吸管吸易拉罐内的饮料时，吸管与易拉罐的上、下底面所形成的角分别是和，若，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，先由平角的定义得到，再由两直线平行，同位角相等可得．
【详解】解：如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．若某函数图象经过点，且函数值随着自变量的增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数表达式： .
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查的是一次函数的性质．设此函数的解析式为，再把点代入求出的值即可．
【详解】解：函数值随着自变量的增大而增大，
设此函数的解析式为，
函数图象经过点，
，
解得，
函数解析式为：．
故答案为：（答案不唯一）．
16．某超市一月份的利润为10万元，三月份的利润为万元，设第一季度平均每月利润增长的百分率是，则根据题意可得方程为 .
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用中增长率的问题，熟练掌握增长率的计算公式和方法是解题的关键，设平均每月增长率为，根据等量关系“一月份的利润乘以（1+平均每月增长率的百分率）的平方等于三月份的利润”，列出方程即可求解．
【详解】解：设平均每月增长率为，根据题意得：
，
故答案为：．
17．如图，在中，，的垂直平分线分别于点D，交于点E，交的延长线于点F，且．若四边形的面积为，则它的周长为 ．
【答案】33
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，正弦定义等知识，设出的三边，利用相似三角形的判定与性质可表示出，，再根据四边形的面积求出边长，即可求解．
【详解】解：连接，
∵的垂直平分线分别于点D，交于点E，
∴，，，
∵，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，，
∴，
∵四边形的面积为，
∴，
解得（负值舍去）
四边形的周长为，
故答案为：33．
18．已知某二次函数的图象开口向上，与轴的交点坐标为和，点和点都在函数图象上，若，则的取值范围为 .
【答案】或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．依据题意得，抛物线的对称轴是直线，又二次函数的图象开口向上，越靠近对称轴函数值越小，再结合，可得，进而根据①；②；③分类讨论计算可以得解．
【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴是直线．
又二次函数的图象开口向上，
越靠近对称轴函数值越小．
又，
．
．
①当时，，
．
；
②当时，，
．
；
③当时，，
．
综上，或．
三、解答题（本大题共10小题，第19、20、21、22题每题9分，第23、24、25、26、27、28题每题10分，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）计算：
（2）化简：
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）先算负指数幂，二次根式，特殊角三角函数，然后进行有理数的运算；
（2）先利用平方差公式和完全平方差公式的法则进行计算，然后合并同类项．
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、负指数的运算法则、二次根式的化简，平方差与完全平方公式的运用及合并同类项，掌握运算法则正确计算是解题关键．
20．（1）解方程：；
（2）解不等式组
【答案】（1）；（2）
【分析】
本题主要考查了解一元二次方程以及解一元一次不等式组．
（1）先配方，再直接用开平方法解一元二次方程即可．
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【详解】
解：（1）
即，

（2）
由第①式解得：；
由第②式解得：，
∴不等式组的解集组为：．
21．如图，点C在线段上，，，，．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质；
（1）由即可得证；
（2）由全等三角形的性质得，，即可求解；
掌握全等三角形的判定方法与性质，准确找出对应边、对应角是解题的关键．
【详解】（1）证明：，，
，
在和中，
，
（）；
（2）解：，
，
，
．
22．年月日无锡市迎来一场激动人心的体育盛会无锡马拉松．当日，来自全国各地的参赛选手齐聚无锡太湖湖畔，通过参加比赛感受秀美无锡的自然风光、人文风情和城市魅力，彰显挑战自我、超越极限、永不放弃的体育精神比赛设置“全程马拉松”、“半程马拉松”以及“欢乐跑”三种不同项目．甲、乙两人分别各参加了其中一个项目．
(1)甲恰好参加的是“半程马拉松”的概率是___________；
(2)请用画树状图或列表法求解“甲、乙两人分别参加两种不同项目”的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及“甲、乙两人分别参加两种不同项目”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）
解：由题意得，甲恰好参加的是“半程马拉松”的概率是．
故答案为：．
（2）
将“全程马拉松”“半程马拉松”“欢乐跑”三种项目分别记为，，，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中“甲、乙两人分别参加两种不同项目”的结果有：，，，，，，共6种，
“甲、乙两人分别参加两种不同项目”的概率为．
23．寒假第一课《少年急救官生命教育安全课》于月日以视频课的形式开播．某校为了解学生观看视频课的时长，随机抽取了部分学生观看视频课的时长（单位：）作为样本，将收集的数据整理后分为，，，，五个组别，其中组的数据分别为：，，，，，绘制成如下不完整的统计图表．
各组观看视频课时长频数分布表
各组观看视频课的时长扇形统计图
请根据以上信息回答下列问题：
(1)本次调查的样本容量是 ；
(2)组数据的众数是 ；扇形统计图中组所在扇形的圆心角的度数是 ；
(3)若该校有名学生，估计该校学生观看视频课时长超过的人数．
【答案】(1)；
(2)，；
(3)估计该校学生观看视频课时长超过的人数为人．
【分析】（）利用样本估计总体计算即可；
（）利用众数的定义计算，利用扇形的知识计算求解可得到结论；
（）利用项目的人数除以其所占的百分比即可得到结论，
此题考查了扇形统计图，频数分布表，读懂统计图，看懂分布表，从不同的统计表和统计图中得到必要的信息是解题的关键．
【详解】（1）解：∵组占，频数为，
∴本次调查的样本容量是，
故答案为：；
（2）∵组的数据分别为：，，，，，出现次数最多，
∴众数为，
组的数据有（人）；
∴扇形统计图中组所在扇形的圆心角的度数是，
故答案为：，；
（3）（人），
答：估计该校学生观看视频课时长超过的人数为人．
24．如图，在中，．
(1)请在图（1）中用无刻度的直尺和圆规作图：作的角平分线交于点，在上求作点，使；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，则 （如需画草图，请使用图2）
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据尺规作角平分线和作一个角等于已知角的方法画图即可；
（2）过点D作于G，过点E作于F， 分别证明和得到，再分别证明和得到，然后利用正切定义求解即可．
【详解】（1）解：如图，射线、点E即为所求；
（2）解：如图，过点D作于G，过点E作于F，则，
∵平分，，，
∴，又，
∴，
∴，
∵，，
∴，则，
∴，
∴，又，，
∴，
∴，
∵，，
∴，又，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，即，
∴（负值舍去），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查尺规作图-作角平分线、作一个角等于已知角，角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、正切等知识，熟练掌握相关的知识的联系与运用，正确添加辅助线，利用全等三角形的性质和相似三角形的性质求解是解答的关键．
25．如图，中，，点在上，以为半径的经过点.
(1)若，求证：是的切线；
(2)在上取一点，连接，已知，，，求.
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）连接，由，得到， 根据等腰三角形的性质得到，由求得的度数，进而求得 即可；
（）过作于，根据垂径定理得到， 求得 ，根据勾股定理即可得到结论；
本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，三角函数的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：作，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴在中，．
26．榴莲上市的时候，某水果行以“线上”与“线下”相结合的方式一共销售了100箱榴莲．已知“线上”销售的每箱利润为100元，“线下”销售的每箱利润y（元）与销售量x（箱）（20≤x≤60）之间的函数关系如图中的线段AB．
(1)求y与x之间的函数关系；
(2)当“线下”的销售利润为4350元时，求x的值；
(3)实际“线下”销售时，每箱还要支出其它费用a元（a＞0），若“线上”与“线下”售完这100箱榴莲所获得的总利润为w元，当20≤x≤45时，w随x增大而增大，求a的取值范围．
【答案】(1)y＝﹣0.5x+160（20≤x≤60）
(2)x的值为30
(3)a的取值范围为0＜a＜15.5
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出y与x之间的函数关系；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以得到x（﹣0.5x+160）＝4350，然后求解即可；
（3）根据题意，可以得到利润w与m的函数关系式，再根据二次函数的性质，可以求得a的取值范围．
【详解】（1）解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
∵点（20，150），（60，130）在该函数图象上，
∴，
解得，
即y与x的函数关系式为y＝﹣0.5x+160（20≤x≤60）；
（2）由题意可得，xy＝4350，
又∵y＝﹣0.5x+160，
∴x（﹣0.5x+160）＝4350，
解得x1＝30，x2＝290（舍去），
即x的值30；
（3）设“线下”销售榴莲x箱，则“线上”销售榴莲（100﹣x）箱，总利润为w元，
由题意可得，w＝x（﹣0.5x+160﹣a）+100（100﹣x）
＝﹣x2+（60﹣a）x+10000，
该函数的对称轴为直线x＝﹣＝60﹣a，
∵当20≤x≤45时，w随x增大而增大，
∴60﹣a＞44.5，解得a＜15.5，
∴0＜a＜15.5．
【点睛】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程和函数关系式，利用数形结合的思想解答．
27．如图，矩形中，，．为边上的一个动点，沿翻折，点落在点处．
(1)如图1，若，且点与点重合时，交于点．
①求的长；
②若点在射线上，且，求的值．
(2)连接，在边上存在两个不同位置的点，使得，则的取值范围是____．
【答案】(1)①；②；
(2)．
【分析】（1）①根据折叠的性质和矩形的性质可证明，得到，，设，则，，在中，由勾股定理即可求解；②连接交于点，过点作于点，可证明，得到，求出、，进而求出，证明，得到，推出，结合，求出，最后根据，即可求解；
（2）当落在直线上面时，过作于，根据题意得到，推出，结合折叠的性质可得，在中，，可求出的一个范围；当落在直线下面时，过作于，同理推出，进而得到，在中，，即可求解．
【详解】（1）①四边形是矩形，
，，
由折叠知，，，
，，
在和中，
，
，
，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
则；
②如图，连接交于点，过点作于点，
，
（对顶角），
，
，
，，
则，
，（对顶角），
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）当落在直线上面时，如图，过作于，
，，
，
，
又，
，
由翻折可知，
在中，，
，
又，
在中，，
此时只要，点在边上，
；
当落在直线下面时，如图，过作于，
同理可得，，
在中，，，，
，
，
，
在中，，
此时要在边上，则即可，即，
综上，．
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
28．如图1，抛物线经过，两点，作垂直x轴于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点是抛物线上一点，满足，求点的坐标；
(3)若点P为抛物线上一点，且在第四象限内．已知直线，与x轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)是定值，该定值为，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分①当点D在直线的上方时与②当点D在直线的上方时两种情况讨论，对于前一种情况，可得轴，点A与点D重合，即可得解，对于后一种情况先求出与x轴的交点M，继而利用待定系数法求出直线的解析式，再与抛物线解析式联立求出点D的坐标即可；
（3）求出抛物线与x轴的交点为和，设点P的坐标是，则，再用待定系数法分别求出直线和的解析式，从而求出点E与点F的坐标，继而求出与，从而代入中化简即可得解．
【详解】（1）解：抛物线经过，两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：；
（2）①当点D在直线的上方时，如下图所示：
∵，
∴轴，
∵点A与点B对应函数值都是3，即轴，
∴此时点A与点D重合，即；
②当点D在直线的下方时，设与x轴交于点M，如下图所示：
∵，
∴，
∵垂直x轴于点C，，
∴，，，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
∴，
设直线的解析式是：，
将点B、M代入得：，
解得：，
∴直线的解析式是：
将直线的解析式与抛物线解析式联立得：，
解得：，或(舍去)，
∴；
综上所述：点D的坐标是：，；
（3）是定值，该定值为，理由如下．
令，
解得，即抛物线与x轴的交点是：和，
设点P的坐标是，则，
设直线的解析式是：，
将点A、P代入得：，
解得：，
∴直线的解析式是：，
令，
解得：，即，
∴，
设直线的解析式是：，
将点B、P代入得：，
解得：，
∴直线的解析式是：，
令，
解得：，即，
∴，，
∴．
∴是定值，该定值为．
【点睛】本题考查二次函数的综合题，涉及待定系数法，二次函数与x轴的交点，二次函数与几何综合，勾股定理等知识，运算量较大，掌握待定系数法、联立方程组求函数交点的方法和数形结合思想是解题的关键．
组别
时间
频数