2024年中考数学重难题型研究（山西卷）题型五 综合与探究——二次函数与几何图形探究题（七）二次函数中菱形的存在性问题（解析版）

这是一份2024年中考数学重难题型研究（山西卷）题型五 综合与探究——二次函数与几何图形探究题（七）二次函数中菱形的存在性问题（解析版），共35页。

（2021年23题，）
题型解读
二次函数中菱形的存在性问题属于开放探究题，考查学生的综合探究、几何直观和运算能力，在求解这类综合题时，结合“分类讨论思想”，“方程思想”“菱形的判定方法”，注意利用数形结合的数学思想，从数与形不同的角度寻找解题策略。
二、解题策略
1.【基本概念】
菱形作为一种特殊的平行四边形，可以从以下几种方式得到：
（1）有一组邻边相等的平行四边形菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边都相等的四边形是菱形
2.【基本题型】
因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型：
（1）2个定点+1个半动点+1个全动点
（2）1个定点+3个半动
3.【解题思路】
解决问题的方法也可有如下两种：
思路1：先平四，再菱形
设点坐标，根据平四存在性要求列出“A+C=B+D”（AC、BD为对角线），再结合一组邻边相等，得到方程组．
思路2：先等腰，再菱形
在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，平移再确定第4个点．
类型一、两定两动：坐标轴+平面
例1-1、如图，抛物线 y=ax2+bx+3交x轴于 A3，0，B−1，0两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及 △PBC的周长；
(3)若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) y=−x2+2x+3；(2)P点坐标为(1，2)， ΔBCP的周长最小值为 10+32；(3)Q点坐标存在，为(2，2)或(4， 17)或(4， −17)或( −2，3+14)或( −2，3−14)
【解析】解：(1)将 A3，0，B−1，0代入二次函数表达式中，
∴ 0=9a+3b+30=a−b+3，解得 a=−1b=2，
∴二次函数的表达式为： y=−x2+2x+3；
(2)连接BP、CP、AP，如下图所示：
由二次函数对称性可知，BP=AP，
∴BP+CP=AP+CP，
CΔBCP=BP+CP+BC=PA+CP+BC
BC为定直线，当C、P、A三点共线时， PA+CP有最小值为 AC，
此时 ΔBCP的周长也最小，
设直线AC的解析式为： y=kx+m，代入 A3，0，C(0，3)，
∴ 0=3k+m3=0+m，解得 k=−1m=3，
∴直线AC的解析式为： y=−x+3，
二次函数的对称轴为 x=−b2a=1，代入 y=−x+3，得到 y=2，
∴P点坐标为(1，2)，
此时 ΔBCP的周长最小值= BC+AC=12+32+32+32=10+32；
(3) A3，0，C(0，3)设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，
分类讨论：
情况一：AC为菱形对角线时，另一对角线为PQ，
此时由菱形对角互相平分知：AC的中点也必定是PQ的中点，
由菱形对角线互相垂直知： kAC⋅kPQ=−1，
∴ 3+0=1+m0+3=t+n−1⋅n−tm−1=−1，解得 m=2n=2t=1，
∴P点坐标为(1，1)，对应的Q点坐标为(2，2)；
情况二：AP为菱形对角线时，另一对角线为CQ，
同理有： 3+1=0+m0+t=3+nt−0−2⋅n−3m=−1，解得 m=4n=17t=3+17或m=4n=−17t=3−17，
∴P点坐标为(1， 3+17)或(1， 3−17)，对应的Q点坐标为(4， 17)或(4， −17)；
情况三：AQ为菱形对角线时，另一对角线为CP，
A3，0，C(0，3)设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，
同理有： 3+m=0+10+n=3+tn−0m−3⋅t−31=−1，解得 m=−2n=3+14t=14或m=−2n=3−14t=−14，
∴P点坐标为(1， 14)或(1， −14)，对应的Q点坐标为(−2， 3+14)或(−2， 3−14)；
纵上所示，Q点坐标存在，为(2，2)或(4， 17)或(4， −17)或( −2，3+14)或( −2，3−14).
针对练习1
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、两点（点在点左侧），与轴交于点．、的长是不等式组的整数解，点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式及的值；
（2）轴上的点使和的值最小，则 ；
（3）将抛物线向上平移，使点落在点处．当时，抛物线向上平移了 个单位；
（4）点在在轴上，平面直角坐标系内存在点使以点、、、为顶点的四边形为菱形，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）-4（2）2（3）9（4）、、、．
【详解】：（1）所给不等式组的解集为，其整数解为2，3，
、的长是所给不等式组的整数解，且，
，，则，，
点、在抛物线上，
，
解得，
所求的抛物线的解析式为，
点在抛物线上，
；
（2）如图1所示，连接交轴于点，则此时最小，
设直线的解析式为，
点，在直线上，
，
解得，
直线的函数解析式为，
当时，，
即．，
，
故答案为：2；
（3）如图1，
，
，
，
，
，
，
，
，
抛物线向上平移9个单位，
故答案为：9；
（4）以、、、为顶点的四边形是菱形，对角线互相垂直且平分，
由，
与不能作为一组对角线，
分两种情况：
①以与为对角线时，如图2①和图2②，
如图2①，，
四边形是菱形，
轴，，
在中，，
，
，
如图2②，同理可得：，
②以与为对角线时，如图2③和图2④，
如图2③，菱形的边长仍为5，轴，
，
，
，
如图2④，同理可得：，
综上所述，①②两种情况，符合条件的点的坐标为：
、、、．
类型二、两定两动：对称轴+平面
例2-1．如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点C，，，.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是线段上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交于点F，当时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M，N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
答案：（1）
（2）
（3），，
解析：（1）将，，代入，
得：，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）设直线的解析式为，
将，代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
设，则，，
，，
，
，
解得或（舍），
将代入，得：，
；
（3）存在，理由如下：
当以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形时，是等腰三角形，
，，
，，
,
对称轴为：直线，
在中，由勾股定理得，
①当是边时，
当时，点A到直线l的距离为，
此时点M不存在；
当时，如图，此时菱形为或，
过点E作于点H，
则，，
在中，由勾股定理得，
或，
，，
当点时，由得，，
即，，
解得，，
，
同理，可得；
②当是对角线时，，此时菱形为，设对称轴与x轴交于点G，
，
，
设，则，
解得，
，点在x轴上，
则，
解得，，
，
综上：，，.
例2-2．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图甲，在y轴上找一点D，使为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
（3）如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由.
答案：（1）
（2）或或或
（3）存在，，或，或，或，或，
解析：（1）（1），两点在抛物线上，
解得，，
抛物线的解析式为：；
（2）令，，
，
由为等腰三角形，如图甲，
当以点D为顶点时，，点D与原点O重合，
；
当以点A为顶点时，，是等腰中线，
，
；
当以点C为顶点时，
点D的纵坐标为或，
综上所述，点D的坐标为或或或.
（3）存在，理由如下：
抛物线的对称轴为：直线，
设，，
，，
则，
，
，
以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，
分三种情况：以为对角线或以为对角线或以为对角线，
当以为对角线时，则，如图1，
，
解得：，
或
四边形是菱形，
与互相垂直平分，即与的中点重合，
当时，
，
解得：，，
当时，
，，
解得：，，
，
以为对角线时，则，如图2，
，
解得：，
，
四边形是菱形，
与互相垂直平分，即与中点重合，
，
解得：，，
；
当以为对角线时，则，如图3，
，
解得：，
，，
四边形是菱形，
与互相垂直平分，即与的中点重合，
，，
解得：，
，，
综上所述，符合条件的点P、Q的坐标为：，或，或，或，或，.
针对练习2
3．综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)点D是第三象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时点D的坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，点Q是平面内一点，试探究，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案：(1)，，
(2)当点D坐标为时，四边形面积S的最大值为
(3)存在，P的坐标为
解析：（1）对于，令，得：，
.
令，得，
解得：，，
，.
（2）连接OD，如图：
点D的横坐标为m，
，
，
，
，
.
，
当时，S取最大值，最大值为，
∴，
此时，
综上可知当点D坐标为时，四边形面积S的最大值为；
（3）存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形.
理由：由可得抛物线对称轴为直线，
可设，.
以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形，
的中点与的中点重合，且，
，，
，.
，，
，
，
，即.
联立，解得：，
点P的坐标为，
存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形，此时点P的坐标为.
2.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，D（﹣4，5）两点，且与直线DC交于另一点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出点B的坐标为（1，0），再用待定系数法即可求解；
（2）以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，故点B向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E，则Q（F）向右平移1个单位向上平移5个单位得到点F（Q），且BE＝EF（BE＝EQ），即可求解；
（3）由题意抛物线的对称轴交x轴于点B′（﹣1，0），将点B′向左平移1个单位得到点B″（﹣2，0），连接B″E，交函数的对称轴于点M，过点M作MP⊥y轴，则点P、M为所求点，此时EM+MP+PB为最小，进而求解．
【解析】（1）由点D的纵坐标知，正方形ABCD的边长为5，
则OB＝AB﹣AO＝5﹣4＝1，故点B的坐标为（1，0），
则，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）存在，理由：
∵点D、E关于抛物线对称轴对称，故点E的坐标为（2，5），
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣1，故设点F的坐标为（﹣1，m），
由点B、E的坐标得，BE2＝（2﹣1）2+（5﹣0）2＝26，
设点Q的坐标为（s，t），
∵以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，
故点B向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E，则Q（F）向右平移1个单位向上平移5个单位得到点F（Q），且BE＝EF（BE＝EQ），
则或，
解得或，
故点F的坐标为（﹣1，5+）或（﹣1，5﹣）或（﹣1，）或（﹣1，﹣）；
（3）存在，理由：
由题意抛物线的对称轴交x轴于点B′（﹣1，0），将点B′向左平移1个单位得到点B″（﹣2，0），
连接B″E，交函数的对称轴于点M，过点M作MP⊥y轴，则点P、M为所求点，此时EM+MP+PB为最小，
理由：∵B′B″＝PM＝1，且B′B″∥PM，故四边形B″B′PM为平行四边形，则B″M＝B′P＝BP，
则EM+MP+PB＝EM+1+MB″＝B″E+1为最小，
由点B″、E的坐标得，直线B″E的表达式为y＝（x+2），
当x＝﹣1时，y＝（x+2）＝，故点M的坐标为（﹣1，），
则EM+MP+PB的最小值B″E+1＝1+＝+1．
类型三、两定两动：斜线+抛物线
例3-1．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线过A，C两点，与x轴交于另一点B.
（1）求抛物线的解析式.
（2）在直线上方的抛物线上有一动点E，连接，与直线相交于点F，当时，求E点坐标.
（3）在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，点M是抛物线对称轴上一点，点N是抛物线上一点，当以M，N，E，B为顶点的四边形是菱形时，直接写出点M的坐标.
答案：（1）
（2），
（3）M的坐标为或)或或或
解析：（1）在中，当时，当时，
、，
抛物线的图象经过A、C两点，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）令，解得，，
，
设点E的横坐标为t，则，
如图，过点E作轴于点H，过点F作轴于点G，则，
，
，
，
，
，
点F的横坐标为，
，
，
，
解得，，
当时，，
当时，，
，，
（3）抛物线的解析式为，
抛物线顶点坐标为，对称轴方程为，
在（2）的条件下，
点E位于对称轴左侧，
，
点M是抛物线对称轴上一点，
设，
，，
，，，
①当为菱形的边时，，即，
，
，
或；
②当为菱形的对角线时，，即，
，
解得，
；
③当，即，
，
或，
或；
综上所述，M的坐标为或)或或或.
例3-2．如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线 与直线l 交于A,B 两点, 其中，.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点P,Q 为直线 l下方抛物线上任意两点, 且点P 的横坐标为m, 点Q 的横坐标为, 过点P 和 点Q 分别作y 轴的平行线交直l线 于点C 和点D, 连接PQ, 求四边形PQDC 面积的最大值;
(3)在 (2) 的条件下, 将抛物线 沿射线AB 平移 个单位长度, 得到新抛物线, 点E 为 点P 平移后的对应点, 点 F为新抛物线的对称轴上任意一点, 点 G为平面直角坐标系内一点, 当 以点 B,E,F,G为顶点、以 EF为边的四边形是菱形时, 直接写出所有符合条件的点G 的坐标, 并 把其中一个点G 的坐标的求解过程写出来.
答案： (1)
(2)
(3)点G的坐标为，或
解析： (1) 把 ，分别代入,
得 解得
抛物线的函数表达式为.
(2)设直线AB 的函数表达式为, 将, 分别代入,
得 解得
直线AB 的函数表达式为.
点P 的横坐标为, 点Q 的横坐标为,
，
，,
，
四边形PQDC 的面积为
.,
当 时, 四边形 PQDC的面积有最大值, 最大值为.
(3)由 (2) 知,
将抛物线 沿射线AB 平移 个单位长度得到新抛物线, 即将抛物线先向右平移 4 个单位长 度, 再向下平移 2 个单位长度得到新抛物线,
点E 的坐标为, 即,
新 抛物线的解析式为
新抛物线的对称轴为直线.
设.
由题意, 分以下两种情况讨论.
①当BE 是以点B,E,F,G 为顶点, 以EF 为边的菱形的 一边时, 如图(1),
解得 或,
点F 的坐标为 或
又 将 向左平移 个单位长度, 再向上平 移 个单位长度得到，，, 易得点G 的坐标为 或.
②当BE 是以点B,E,F,G 为顶点, 以EF 为边的菱形的 对角线时, 如图 (2), 则,
同(1)中方法可求得.
将 先向左平移 个单位长度, 再向上平移 个单位长度得到点，，, 点,
易得.
(2)，，,
直线BC 的表达式为 ，，，
设点,
令,
点H 的横坐标为,
,
当 时, PH取得最大值,.
当 时, ,
.
设 的周长为 ，的周长为l,
，,
针对练习3
3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C.
（1）求点A的坐标和直线的解析式；
（2）点P为抛物线上位于第一象限内的点，当时，求点P的坐标；
（3）当点P满足（2）中的条件，且位于对称轴右侧时，M为线段上一动点， N为直线上的动点，请问在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点Q，使得由构成的四边形是以为边的菱形？若能，求出菱形的边长；若不能，说明理由.
答案：解:(1)令,解得
点,令,得,
.
设直线的解析式为，
（2）过点P作轴于点E交于点D，
设点，
，
，解得，
当时，；
当时，，
点P的坐标为或.
（3）点P位于对称轴右侧，
点P坐标为.
点,
轴.
以构成的四边形是以为边的菱形，
轴，
设直线的解析式为，
将点代入，解得，
∴直线的解析式为.
设点.
四边形是菱形，
，
点，
，整埋得.
，
，
整理得，
，
解得，
当时，，此时，不满足题意；
，
存在在对称轴右侧，使得由构成的四边形是以为边的菱形，
,
菱形边长是.
2.综合与探究
如图，抛物线y＝x2+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式．
（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．
①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；
②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长．
【分析】（1）解方程x2+2x﹣6＝0，可求得A、B的坐标，令x＝0，可求得点C的坐标，即可得直线AC，BC的函数表达式；
（2）①设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，可得BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2，分两种情况画出图形，根据菱形的性质即可求解；
②设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，由直线l∥BC可设直线BC的解析式为y＝3k+b，由点D的坐标可得b＝﹣4m﹣6，则M（﹣2，﹣4m﹣12），根据AC的函数表达式可得N（﹣2，﹣4），求出MN，根据S△DMN＝S△AOC可求得m，求出点D，点M的坐标，即可得DM的长．
【解析】（1）当y＝0时，x2+2x﹣6＝0，
解得x1＝﹣6，x2＝2，
∴A（﹣6，0），B（2，0），
当x＝0时，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
∵A（﹣6，0），C（0，﹣6），
∴直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣6，
∵B（2，0），C（0，﹣6），
∴直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6；
（2）①存在：设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，
∵B（2，0），C（0，﹣6），
∴BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2，
∵DE∥BC，
∴当DE＝BC时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形，
分两种情况：
如图，当BD＝BC时，四边形BDEC为菱形，
∴BD2＝BC2，
∴（m﹣2）2+（m+6）2＝40，
解得：m1＝﹣4，m2＝0（舍去），
∴点D的坐标为（﹣4，﹣2），
∵点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为（﹣6，﹣8）；
如图，当CD＝CB时，四边形CBED为菱形，
∴CD2＝CB2，
∴2m2＝40，
解得：m1＝﹣2，m2＝2（舍去），
∴点D的坐标为（﹣2，2﹣6），
∵点D向右移动2各单位长度，向上移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为（2﹣2，2）；
综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为（﹣6，﹣8）或（2﹣2，2）；
②设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，
∵A（﹣6，0），B（2，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
∵直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6，直线l∥BC，
∴设直线l的解析式为y＝3x+b，
∵点D的坐标（m，﹣m﹣6），
∴b＝﹣4m﹣6，
∴M（﹣2，﹣4m﹣12），
∵抛物线的对称轴与直线AC交于点N．
∴N（﹣2，﹣4），
∴MN＝﹣4m﹣12+4＝﹣4m﹣8，
∵S△DMN＝S△AOC，
∴（﹣4m﹣8）（﹣2﹣m）＝×6×6，
整理得：m2+4m﹣5＝0，
解得：m1＝﹣5，m2＝1（舍去），
∴点D的坐标为（﹣5，﹣1），
∴点M的坐标为（﹣2，8），
∴DM＝＝3，
答：DM的长为3．
总结：菱形作为特殊的平行四边形其存在性问题亦是分类讨论中的一大难点．此类题目多以直角坐标平面为背景．题干中一般会给出两个顶点，第三个点在某个可求的函数图像上，在另一个函数的图像上或直角坐标平面内，求能与之前的三个点构成菱形的第四个点的坐标．此类题目的一大难度在于如何合理分类的问题．若题干中已知两定点的话，可以把这两定点连成的线段是菱形的一边或者对角线进行分类讨论，再利用菱形的性质确定出其他的顶点的位置