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黑龙江省哈尔滨市第一一三中学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 （原卷版+解析版）
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1. 在下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】、∵，
∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
、∵，
∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
、∵，
∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
、∵，
∴不能组成直角三角形，故此选项符合题意；
故选：．
2. 在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（ ）．
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判断即可作答．
【详解】A项，当，时，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意；
B项，当，时，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意；
C项，当，时，即两对邻边相等无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意；
D项，当，时，四边形为平行四边形，故本项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解答本题的关键．
3. 函数图象一定经过下列四个点中的( )
A. 点B. 点C. 点)D. 点
【答案】C
【解析】
【分析】将各点的横坐标代入，求得函数值，比较即可求解．
【详解】解：A、当，代入得，，故点不在此图象上，故此选项不符合题意；
B、当，代入得，，故点不在此图象上，故此选项不符合题意；
C、当，代入得，，故点在此图象上，故此选项符合题意；
D、当，代入得，，故点，不在此图象上，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质，掌握正比例函数的性质是解题的关键．
4. 如果关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. 且C. 且D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴且，
即且，
解得：且，
故选：．
5. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C. 一组邻边相等的四边形是菱形
D. 矩形的四个角都相等，并且对角线相等
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了命题与定理．直接利用矩形、菱形、正方形的判定方法分别分析得出答案．
【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，故此选项不合题意；
B、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，故此选项不合题意；
C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法错误，故此选项不合题意；
D、矩形的四个角都相等，说法正确，故此选项符合题意；
故选：D．
6. 若，则一元二次方程必有一个根是（ ）
A. 0B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，掌握方程的解使方程左右两边相等是解题的关键．
由可知令即成立，则可求出答案．
【详解】∵
∴
∴方程必有一根为．
故选：C．
7. 菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（ ）
A. 3：1B. 4：1C. 5：1D. 6：1
【答案】C
【解析】
【详解】如图所示，
∵菱形的周长为8cm，
∴菱形的边长为2cm，
∵菱形的高为1cm，
∴sinB=
∴∠B=30°，
∴∠C=150°，
则该菱形两邻角度数比为5：1，
故选C．
8. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是，每个支干长出（ ）小分支
A. 8B. 9C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每个支干长出x个小分支，利用主干、支干和小分支的总数列方程求解即可得到答案；
【详解】解：设每个支干长出x个小分支，由题意可得，
，
解得：，（不符合题意），
故选：A．
9. 如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（ ）
①△ACE≌△BCD；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝AD；④AE+AD＝2AC
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°，则可根据“SAS”证明△ACE≌△BCD，于是可对①进行判断；利用三角形外角性质得到∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE，加上∠CAB＝∠E＝45°，则可得对②进行判断；由全等三角形得性质和等边三角形得性质得出③不正确；证出△ADB是直角三角形，由勾股定理得出④正确．
【详解】解：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°，
∵∠ACE+∠ACD＝∠ACD+∠BCD，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，所以①正确；
∵∠DAC＝∠E+∠ACE，即∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE，
而∠CAB＝∠E＝45°，
∴∠DAB＝∠ACE，所以②正确；
在AD上截取DF=AE，连接CF，如图所示，
在△ACE和△FCD中，
∴△ACE△FCD(SAS)，
∴AC=FC，
当，△ACF是等边三角形，
则AC=AF，此时AE+AC=DF+AF=AD，
但无法求证，
故③不正确；
由①得，△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，CEA=CDB=45°，
∴ADB=CDB+EDC=90°，
∴△ADB是直角三角形，
∴，
∴，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴，
∴，故④正确；
故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形得判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理和直角三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．
10. 甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：
（1）他们都行驶了18千米；（2）甲在途中停留了0.5小时；（3）乙比甲晚出发了0.5小时；（4）相遇后，甲的速度小于乙的速度；（5）甲、乙两人同时到达目的地．其中符合图象描述的说法有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】通过观察图象可得到甲出发0.5小时后停留了0.5小时，然后再用1.5小时到达离出发地18千米的目的地；乙比甲晚0.5小时出发，用1.5小时到达离出发地18千米的目的地，根据此信息分别对5种说法分别进行判断．
【详解】解：观察图象，甲、乙到达目的地时离出发地的距离都为18千米，所以（1）正确；
甲在0.5小时至1小时之间，S没有变化，说明甲在途中停留了0.5小时，所以（2）正确；
甲出发0.5小时后乙开始出发，说明（3）正确；
两图象相交后乙的图象在甲的上方，说明甲的速度小于乙的速度，所以（4）正确；
甲出发2.5小时后到达目的地，而乙在甲出发2小时后到达目的地，所以（5）不正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了函数图象：学会看函数图象，从函数图象中获取信息，并且解决有关问题．
二、填空题（每题3分，共30分）
11. 在函数中，自变量的取值范围是________________．
【答案】
【解析】
【分析】在函数中，分母不为0，则x-3≠0，求出x的取值范围即可.
【详解】在函数中，分母不为0，
则，即，
故答案为：.
【点睛】本题是对分式有意义的考查，熟练掌握分母不为0是解决本题的关键.
12. 如图，在矩形中，，，在数轴上，且点A表示的数是，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的数是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理求出、的长．
先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题．
【详解】解：∵四边形矩形，
，
，
，
，
，
∴点表示点数为．
故答案为：．
13. 要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛．则共有______支球队参赛．
【答案】7
【解析】
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数＝．即可列方程求解．
【详解】解：设有x个队，每个队都要赛（x−1）场，但两队之间只有一场比赛，
x（x−1）÷2＝21，
解得x＝7或−6（舍去）．
故应邀请7个球队参加比赛．
故答案为：7．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．
14. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是___．
【答案】10
【解析】
【分析】由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．
【详解】
如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小.
∵四边形ABCD是正方形，
∴B、D关于AC对称，
∴PB=PD，
∴PB+PE=PD+PE=DE.
∵BE=2，AE=3BE，
∴AE=6，AB=8，
∴DE==10，
故PB+PE的最小值是10.
故答案为10.
15. 正比例函数中，随增大而减小，则的取值范围是____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．根据正比例函数图象的增减性可求出m的取值范围．
【详解】解：∵函数是正比例函数，且y随x的增大而减小，
∴，
解得，
故答案为：．
16. 如图，点，分别为的边，的中点，连接，，，，则四边形的面积为____．
【答案】18
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、三角形中位线的性质，根据三角形中位线及勾股定理求得，，，，再利用即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：点，分别为的边，的中点，，，
，，
在中，，
，
，
，
故答案为：18．
17. 在中，，于点，，是斜边的中点，则______．
【答案】45
【解析】
【分析】本题主要考查直角三角形斜边上中线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握相关性质是解题关键．
根据题意先求出，利用直角三角形两锐角互余求得，再根据直角三角形斜边上中线性质得到，求得的度数，进而得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
又∵是斜边的中点，
∴，
∴，
∴．
故答案为：45．
18. 边长为1的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示阴影部分），则这个风筝的周长是____．
【答案】
【解析】
【分析】设与的交点为，连接，利用“”证明，根据全等三角形的性质可得，再根据旋转角，然后求出，再解直角三角形求出，即可得解．
【详解】解：如图，设与的交点为，连接，
根据题意得：，
在和中，
，
，
，
∵
，
，
，则，
这个风筝的周长是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出是解题的关键．
19. 在矩形中，平分交于点M，DN平分交于点N，若，，则矩形的面积为__________．
【答案】3或15
【解析】
【分析】分两种情况作出图形，利用矩形的性质求解即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，
平分交于点，平分交于点，
，
和是等腰直角三角形，
，
如图（1）当，时，，
，
此时矩形的面积为15；
如图（2）当，时，，
，
此时矩形的面积为3；
故答案为：3或15．
【点睛】本题考查了矩形的性质，能够分类讨论是解答本题的关键，难度不大．
20. 已知：如图，在平行四边形中，交于点，点是边中点，连接交于点，四边形的面积是25，，，则的长______．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质定理，
连接，由中位线定理得到，证得，推出，设，则，得到，，列得，解得，进而求出，，过点D作，交延长线于点H，求得，，根据三角形面积公式得到，解得．
【详解】连接，如图，
在平行四边形中，，
∵点边中点，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
解得，
∴，，
过点D作，交延长线于点H，
在中，，
∴，，
∵，即，
解得．
故答案为．
三、解答题（21-22每题7分，23-24每题8分，25-27每题10分，共60分）
21. 解一元二次方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）利用因式分解法解答，即可求解；
（2）利用公式法解答，即可求解．
【小问1详解】
解：
，
∴，
∴，
解得：，；
【小问2详解】
解：，
∵，
∴，
∴，
解得：，．
22. 如图在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，只能在所给的网格中按下列条件画图：
（1）从点出发画一条线段，使它的另一个端点落在格点上，且长度为；
（2）以（1）中的为对角线，画一个平行四边形（非矩形且非菱形），使点在格点上，且平行四边形的四条边长都为无理数；
（3）直接写出平行四边形的面积：______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）4
【解析】
【分析】本题考查网格作图、勾股定理、无理数、平行四边形的判定，根据平行四边形的判定正确作图是解答的关键．
（1）利用勾股定理求得的点B即可；
（2）根据勾股定理和平行四边形的判断作图即可，还要注意菱形和矩形的判定；
（3）利用割补法求解即可．
【小问1详解】
解：如图，，故线段即为所求；
【小问2详解】
解：如图，，，故平行四边形即为所求；
【小问3详解】
解：平行四边形的面积为，
故答案为：4．
23. 如图，一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东60°方向上，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在渔船的北偏东30°方向上．
（1）求A处与小岛C之间的距离；
（2）渔船到达B处后，航行方向不变，当渔船继续航行多长时间时，才能与小岛C的距离最短．
【答案】（1）20海里；（2）当渔船继续航行20分钟才能与小岛C的距离最短．
【解析】
【分析】（1）作BH⊥AC于H．首先证明AB=BC，AH=HC，在直角△ABH中利用勾股定理求出HA即可解决问题；
（2）作CK⊥AB交AB的延长线于K．求出BK即可解决问题；
【详解】（1）作BH⊥AC于H．
∵∠CBD=∠CAB+∠BCA，∠CAB=30°，∠CBD=60°，
∴∠ACB=∠BAC=30°
∴BA=BC=30×=20海里．
∵BH⊥AC，
∴BH=AB=10海里，
∴AH==10海里，
∴AC=2AH=20海里．
（2）作CK⊥AB交AB的延长线于K．
在Rt△BCK中，∠BCK=90°－∠CBK=30°，
BK= BC=10海里，
∴时间t=小时=20分钟．
∴当渔船继续航行20分钟才能与小岛C的距离最短．
【点睛】此题考查勾股定理的应用—方向角问题，解题关键在于结合航海中的实际问题，利用勾股定理和含有30°角的直角三角形性质是解决问题的关键．
24. 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，连接；
操作二：在上选一点E，沿折叠，使点B落在矩形内部点F处，把纸片展平，连接、和．
根据以上操作，当点F在上时，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图1中所有的角是 ．
（2）迁移探究
小棋同学将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，如图2，改变点E在上的位置（点E不与点B，C重合），并延长交于点G，连接，求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据折叠矩形得到，由折叠得，推出，求出，证明四边形是矩形，得到，推出，再利用折叠得到；
（2）根据正方形的性质得到，按照（1）中的方式操作，可得，得到，，进而证得，得到，从而得到，即．
【小问1详解】
∵沿折叠矩形，
∴，，
由折叠得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
∵四边形是正方形，
∴，
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，可得，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
【点睛】此题考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，三角函数，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．
25. 某养鸡专业户用篱笆及一面墙（该墙可用最大长度为36米）围成一个矩形场地ABCD来供鸡室外活动，该场地中间隔有一道与AB平行的篱笆（EF），如图，BE、EF上各留有1米宽的门（门不需要篱笆），该养鸡专业户共用篱笆58米，设该矩形的一边AB长x米，AD＞AB，矩形ABCD的面积为S平方米．
（1）求出S与x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；
（2）若矩形ABCD的面积为252平方米，求AB的长．
【答案】（1）S＝﹣3x2+60x（8≤x＜15）；（2）14米
【解析】
【分析】（1）根据题意可得BC-1=58-x-x-（x-1），求出BC的长即可列出S与x函数关系式；
（2）利用（1）所得函数解析式，即可求解．
【详解】（1）由题意得：BC﹣1＝58﹣x﹣x﹣（x﹣1），
∴BC＝60﹣3x，
∴ABCD的面积：S＝x（60﹣3x）＝﹣3x2+60x
∵60﹣3x36，60﹣3x>x
∴8≤x15；
（2）由题意得：S＝﹣3x2+60x＝252，
解得：x＝14或6（舍去6），
故AB长为14米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是结合题意利用长方形的面积列出函数关系式．
26. 在四边形中，，，
（1）如图1，求证：四边形为矩形．
（2）如图2，连接，点为上一点，，连接，，求的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，过点作的平行线，交的延长线于点，过点作的垂线交的延长线于点，点在上，连接，，，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）由矩形的判定可证四边形ABCD为矩形；
（2）延长CB至N，使BN=BE，连接AN，证明△ABN≌△ABE（SAS），由全等三角形的性质得出∠AEN=∠ANE，∠BAN=∠BAE，AE=AN，证明△AEN是等边三角形，得出∠ANE=60°=∠AEN，则∠ACB=30°，可得出结论；
（3）连接FD交AC于点T，过点G作GP⊥HF于点P，过点T作TQ⊥GH于点Q，由等腰三角形的判定与性质得出DT=FT，证明△FGT为等边三角形，得出TG=FG，∠FGT=60°，证明△FPG≌△TQG（AAS），得出PG=QG，得出HT=TG=FT，由直角三角形的性质得出答案．
详解】解：（1）证明：如图1，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
又∵∠BAD=∠ABC，
∴∠BAD=∠ABC=90°，
∴四边形ABCD为矩形；
（2）如图2，延长CB至N，使BN=BE，连接AN，
∵BN=BE，∠ABE=∠ABN=90°，AB=AB，
∴△ABN≌△ABE（SAS），
∴∠AEN=∠ANE，∠BAN=∠BAE，AE=AN，
∵∠BAE=∠ACB，
∴∠BAE+∠EAC=∠ACB+∠EAC，
∴∠AEN=∠BAC=∠ANE，
∵∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠ANE+∠ACB=90°，
∴∠NAC=90°，
∵EC=2BE，
∴EC=EN，
∴AE=EC=EN，
∴∠ANE=∠NAE=∠AEN，
∴△AEN是等边三角形，
∴∠ANE=60°=∠AEN，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACD=60°；
（3）连接FD交AC于点T，过点G作GP⊥HF于点P，过点T作TQ⊥GH于点Q，
∵∠ACD=60°，
∴∠ACB=∠DAC=30°，∠BAC=60°，
∵AC∥BF，
∴∠BFE=∠FAC=30°，
∴∠EBF=∠EFB=30°，
∴BE=EF，
∵AE=CE，CE=2BE，
∴AF=3BE，
又∵BC=AD=3BE，
∴AF=AD，
∴DT=FT，AC⊥DF，
∴∠TDC=30°，
∴∠DFG=60°，
又∵FG⊥CD，
∴FT=TG=TD，
∴△FGT为等边三角形，
∴TG=FG，∠FGT=60°，
∵∠FHG=30°，
∴∠PGH=60°，
∴∠FGP=∠TGQ，
∵∠FPG=∠TQG=90°，
∴△FPG≌△TQG（AAS），
∴PG=QG，
∵Rt△PGH中，GH=2PG，
∴QH=QG，
∴HT=TG=FT，
∵FH=6，
∴FT=6×=3，
∴DT=3，
∴AD=2DT=6．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握几何图形的性质是解题的关键．
27. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点、在坐标轴上，，将沿折叠，使点落在对角线上的点处．
（1）求点的坐标；
（2）动点从点出发，沿折线方向以5个单位/秒的速度匀速移动，到终点停止，设运动时间为，的面积为，求出与的关系式，并写出的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当时，在平面内是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，若存在；请直接写出点坐标，若不存在请说明原因．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，，，
【解析】
【分析】本题考查了一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质，勾股定理、平行四边形的性质，面积的计算等：
（1）由翻折可知，，,设, 在 ，根据，构建方程求出x即可解决问题；
（2）分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可解决问题；
（3）点有二种情况：当为边时，当为对角线时，分别求解即可；
其中（2）（3），要注意分类求解，避免遗漏．
【小问1详解】
解：的坐标，
则：，，
在中，根据勾股定理得：，
将沿折叠，使点落在对角线上的点处，
，，
，
设,则,
在中，由勾股定理得：,
即,
解得,
．
【小问2详解】
过点作于点，
根据三角形面积可得，，
∴，
故点的横坐标为，
即：，
正比例函数经过，
，
，
，
，
①当点在段时，即：，
如图：过点作于点，
，
，
，
②当点在段时，如下图，过点作于点，
，
，，
，
综上所述：．
【小问3详解】
由（2）知，点，
当时，则点，
而点,设点，
①当为边时，
点向右平移个单位得到点，同样点向右平移个单位得到点，
即且，
解得或，
故点的坐标为或；
②当为对角线时，
由中点公式得且，
解得，
综上点的坐标为或或．
1. 在下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】、∵，
∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
、∵，
∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
、∵，
∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
、∵，
∴不能组成直角三角形，故此选项符合题意；
故选：．
2. 在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（ ）．
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判断即可作答．
【详解】A项，当，时，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意；
B项，当，时，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意；
C项，当，时，即两对邻边相等无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意；
D项，当，时，四边形为平行四边形，故本项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解答本题的关键．
3. 函数图象一定经过下列四个点中的( )
A. 点B. 点C. 点)D. 点
【答案】C
【解析】
【分析】将各点的横坐标代入，求得函数值，比较即可求解．
【详解】解：A、当，代入得，，故点不在此图象上，故此选项不符合题意；
B、当，代入得，，故点不在此图象上，故此选项不符合题意；
C、当，代入得，，故点在此图象上，故此选项符合题意；
D、当，代入得，，故点，不在此图象上，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质，掌握正比例函数的性质是解题的关键．
4. 如果关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. 且C. 且D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴且，
即且，
解得：且，
故选：．
5. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C. 一组邻边相等的四边形是菱形
D. 矩形的四个角都相等，并且对角线相等
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了命题与定理．直接利用矩形、菱形、正方形的判定方法分别分析得出答案．
【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，故此选项不合题意；
B、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，故此选项不合题意；
C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法错误，故此选项不合题意；
D、矩形的四个角都相等，说法正确，故此选项符合题意；
故选：D．
6. 若，则一元二次方程必有一个根是（ ）
A. 0B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，掌握方程的解使方程左右两边相等是解题的关键．
由可知令即成立，则可求出答案．
【详解】∵
∴
∴方程必有一根为．
故选：C．
7. 菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（ ）
A. 3：1B. 4：1C. 5：1D. 6：1
【答案】C
【解析】
【详解】如图所示，
∵菱形的周长为8cm，
∴菱形的边长为2cm，
∵菱形的高为1cm，
∴sinB=
∴∠B=30°，
∴∠C=150°，
则该菱形两邻角度数比为5：1，
故选C．
8. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是，每个支干长出（ ）小分支
A. 8B. 9C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每个支干长出x个小分支，利用主干、支干和小分支的总数列方程求解即可得到答案；
【详解】解：设每个支干长出x个小分支，由题意可得，
，
解得：，（不符合题意），
故选：A．
9. 如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（ ）
①△ACE≌△BCD；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝AD；④AE+AD＝2AC
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°，则可根据“SAS”证明△ACE≌△BCD，于是可对①进行判断；利用三角形外角性质得到∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE，加上∠CAB＝∠E＝45°，则可得对②进行判断；由全等三角形得性质和等边三角形得性质得出③不正确；证出△ADB是直角三角形，由勾股定理得出④正确．
【详解】解：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°，
∵∠ACE+∠ACD＝∠ACD+∠BCD，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，所以①正确；
∵∠DAC＝∠E+∠ACE，即∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE，
而∠CAB＝∠E＝45°，
∴∠DAB＝∠ACE，所以②正确；
在AD上截取DF=AE，连接CF，如图所示，
在△ACE和△FCD中，
∴△ACE△FCD(SAS)，
∴AC=FC，
当，△ACF是等边三角形，
则AC=AF，此时AE+AC=DF+AF=AD，
但无法求证，
故③不正确；
由①得，△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，CEA=CDB=45°，
∴ADB=CDB+EDC=90°，
∴△ADB是直角三角形，
∴，
∴，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴，
∴，故④正确；
故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形得判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理和直角三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．
10. 甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：
（1）他们都行驶了18千米；（2）甲在途中停留了0.5小时；（3）乙比甲晚出发了0.5小时；（4）相遇后，甲的速度小于乙的速度；（5）甲、乙两人同时到达目的地．其中符合图象描述的说法有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】通过观察图象可得到甲出发0.5小时后停留了0.5小时，然后再用1.5小时到达离出发地18千米的目的地；乙比甲晚0.5小时出发，用1.5小时到达离出发地18千米的目的地，根据此信息分别对5种说法分别进行判断．
【详解】解：观察图象，甲、乙到达目的地时离出发地的距离都为18千米，所以（1）正确；
甲在0.5小时至1小时之间，S没有变化，说明甲在途中停留了0.5小时，所以（2）正确；
甲出发0.5小时后乙开始出发，说明（3）正确；
两图象相交后乙的图象在甲的上方，说明甲的速度小于乙的速度，所以（4）正确；
甲出发2.5小时后到达目的地，而乙在甲出发2小时后到达目的地，所以（5）不正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了函数图象：学会看函数图象，从函数图象中获取信息，并且解决有关问题．
二、填空题（每题3分，共30分）
11. 在函数中，自变量的取值范围是________________．
【答案】
【解析】
【分析】在函数中，分母不为0，则x-3≠0，求出x的取值范围即可.
【详解】在函数中，分母不为0，
则，即，
故答案为：.
【点睛】本题是对分式有意义的考查，熟练掌握分母不为0是解决本题的关键.
12. 如图，在矩形中，，，在数轴上，且点A表示的数是，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的数是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理求出、的长．
先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题．
【详解】解：∵四边形矩形，
，
，
，
，
，
∴点表示点数为．
故答案为：．
13. 要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛．则共有______支球队参赛．
【答案】7
【解析】
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数＝．即可列方程求解．
【详解】解：设有x个队，每个队都要赛（x−1）场，但两队之间只有一场比赛，
x（x−1）÷2＝21，
解得x＝7或−6（舍去）．
故应邀请7个球队参加比赛．
故答案为：7．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．
14. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是___．
【答案】10
【解析】
【分析】由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．
【详解】
如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小.
∵四边形ABCD是正方形，
∴B、D关于AC对称，
∴PB=PD，
∴PB+PE=PD+PE=DE.
∵BE=2，AE=3BE，
∴AE=6，AB=8，
∴DE==10，
故PB+PE的最小值是10.
故答案为10.
15. 正比例函数中，随增大而减小，则的取值范围是____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．根据正比例函数图象的增减性可求出m的取值范围．
【详解】解：∵函数是正比例函数，且y随x的增大而减小，
∴，
解得，
故答案为：．
16. 如图，点，分别为的边，的中点，连接，，，，则四边形的面积为____．
【答案】18
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、三角形中位线的性质，根据三角形中位线及勾股定理求得，，，，再利用即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：点，分别为的边，的中点，，，
，，
在中，，
，
，
，
故答案为：18．
17. 在中，，于点，，是斜边的中点，则______．
【答案】45
【解析】
【分析】本题主要考查直角三角形斜边上中线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握相关性质是解题关键．
根据题意先求出，利用直角三角形两锐角互余求得，再根据直角三角形斜边上中线性质得到，求得的度数，进而得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
又∵是斜边的中点，
∴，
∴，
∴．
故答案为：45．
18. 边长为1的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示阴影部分），则这个风筝的周长是____．
【答案】
【解析】
【分析】设与的交点为，连接，利用“”证明，根据全等三角形的性质可得，再根据旋转角，然后求出，再解直角三角形求出，即可得解．
【详解】解：如图，设与的交点为，连接，
根据题意得：，
在和中，
，
，
，
∵
，
，
，则，
这个风筝的周长是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出是解题的关键．
19. 在矩形中，平分交于点M，DN平分交于点N，若，，则矩形的面积为__________．
【答案】3或15
【解析】
【分析】分两种情况作出图形，利用矩形的性质求解即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，
平分交于点，平分交于点，
，
和是等腰直角三角形，
，
如图（1）当，时，，
，
此时矩形的面积为15；
如图（2）当，时，，
，
此时矩形的面积为3；
故答案为：3或15．
【点睛】本题考查了矩形的性质，能够分类讨论是解答本题的关键，难度不大．
20. 已知：如图，在平行四边形中，交于点，点是边中点，连接交于点，四边形的面积是25，，，则的长______．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质定理，
连接，由中位线定理得到，证得，推出，设，则，得到，，列得，解得，进而求出，，过点D作，交延长线于点H，求得，，根据三角形面积公式得到，解得．
【详解】连接，如图，
在平行四边形中，，
∵点边中点，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
解得，
∴，，
过点D作，交延长线于点H，
在中，，
∴，，
∵，即，
解得．
故答案为．
三、解答题（21-22每题7分，23-24每题8分，25-27每题10分，共60分）
21. 解一元二次方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）利用因式分解法解答，即可求解；
（2）利用公式法解答，即可求解．
【小问1详解】
解：
，
∴，
∴，
解得：，；
【小问2详解】
解：，
∵，
∴，
∴，
解得：，．
22. 如图在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，只能在所给的网格中按下列条件画图：
（1）从点出发画一条线段，使它的另一个端点落在格点上，且长度为；
（2）以（1）中的为对角线，画一个平行四边形（非矩形且非菱形），使点在格点上，且平行四边形的四条边长都为无理数；
（3）直接写出平行四边形的面积：______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）4
【解析】
【分析】本题考查网格作图、勾股定理、无理数、平行四边形的判定，根据平行四边形的判定正确作图是解答的关键．
（1）利用勾股定理求得的点B即可；
（2）根据勾股定理和平行四边形的判断作图即可，还要注意菱形和矩形的判定；
（3）利用割补法求解即可．
【小问1详解】
解：如图，，故线段即为所求；
【小问2详解】
解：如图，，，故平行四边形即为所求；
【小问3详解】
解：平行四边形的面积为，
故答案为：4．
23. 如图，一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东60°方向上，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在渔船的北偏东30°方向上．
（1）求A处与小岛C之间的距离；
（2）渔船到达B处后，航行方向不变，当渔船继续航行多长时间时，才能与小岛C的距离最短．
【答案】（1）20海里；（2）当渔船继续航行20分钟才能与小岛C的距离最短．
【解析】
【分析】（1）作BH⊥AC于H．首先证明AB=BC，AH=HC，在直角△ABH中利用勾股定理求出HA即可解决问题；
（2）作CK⊥AB交AB的延长线于K．求出BK即可解决问题；
【详解】（1）作BH⊥AC于H．
∵∠CBD=∠CAB+∠BCA，∠CAB=30°，∠CBD=60°，
∴∠ACB=∠BAC=30°
∴BA=BC=30×=20海里．
∵BH⊥AC，
∴BH=AB=10海里，
∴AH==10海里，
∴AC=2AH=20海里．
（2）作CK⊥AB交AB的延长线于K．
在Rt△BCK中，∠BCK=90°－∠CBK=30°，
BK= BC=10海里，
∴时间t=小时=20分钟．
∴当渔船继续航行20分钟才能与小岛C的距离最短．
【点睛】此题考查勾股定理的应用—方向角问题，解题关键在于结合航海中的实际问题，利用勾股定理和含有30°角的直角三角形性质是解决问题的关键．
24. 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，连接；
操作二：在上选一点E，沿折叠，使点B落在矩形内部点F处，把纸片展平，连接、和．
根据以上操作，当点F在上时，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图1中所有的角是 ．
（2）迁移探究
小棋同学将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，如图2，改变点E在上的位置（点E不与点B，C重合），并延长交于点G，连接，求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据折叠矩形得到，由折叠得，推出，求出，证明四边形是矩形，得到，推出，再利用折叠得到；
（2）根据正方形的性质得到，按照（1）中的方式操作，可得，得到，，进而证得，得到，从而得到，即．
【小问1详解】
∵沿折叠矩形，
∴，，
由折叠得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
∵四边形是正方形，
∴，
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，可得，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
【点睛】此题考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，三角函数，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．
25. 某养鸡专业户用篱笆及一面墙（该墙可用最大长度为36米）围成一个矩形场地ABCD来供鸡室外活动，该场地中间隔有一道与AB平行的篱笆（EF），如图，BE、EF上各留有1米宽的门（门不需要篱笆），该养鸡专业户共用篱笆58米，设该矩形的一边AB长x米，AD＞AB，矩形ABCD的面积为S平方米．
（1）求出S与x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；
（2）若矩形ABCD的面积为252平方米，求AB的长．
【答案】（1）S＝﹣3x2+60x（8≤x＜15）；（2）14米
【解析】
【分析】（1）根据题意可得BC-1=58-x-x-（x-1），求出BC的长即可列出S与x函数关系式；
（2）利用（1）所得函数解析式，即可求解．
【详解】（1）由题意得：BC﹣1＝58﹣x﹣x﹣（x﹣1），
∴BC＝60﹣3x，
∴ABCD的面积：S＝x（60﹣3x）＝﹣3x2+60x
∵60﹣3x36，60﹣3x>x
∴8≤x15；
（2）由题意得：S＝﹣3x2+60x＝252，
解得：x＝14或6（舍去6），
故AB长为14米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是结合题意利用长方形的面积列出函数关系式．
26. 在四边形中，，，
（1）如图1，求证：四边形为矩形．
（2）如图2，连接，点为上一点，，连接，，求的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，过点作的平行线，交的延长线于点，过点作的垂线交的延长线于点，点在上，连接，，，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）由矩形的判定可证四边形ABCD为矩形；
（2）延长CB至N，使BN=BE，连接AN，证明△ABN≌△ABE（SAS），由全等三角形的性质得出∠AEN=∠ANE，∠BAN=∠BAE，AE=AN，证明△AEN是等边三角形，得出∠ANE=60°=∠AEN，则∠ACB=30°，可得出结论；
（3）连接FD交AC于点T，过点G作GP⊥HF于点P，过点T作TQ⊥GH于点Q，由等腰三角形的判定与性质得出DT=FT，证明△FGT为等边三角形，得出TG=FG，∠FGT=60°，证明△FPG≌△TQG（AAS），得出PG=QG，得出HT=TG=FT，由直角三角形的性质得出答案．
详解】解：（1）证明：如图1，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
又∵∠BAD=∠ABC，
∴∠BAD=∠ABC=90°，
∴四边形ABCD为矩形；
（2）如图2，延长CB至N，使BN=BE，连接AN，
∵BN=BE，∠ABE=∠ABN=90°，AB=AB，
∴△ABN≌△ABE（SAS），
∴∠AEN=∠ANE，∠BAN=∠BAE，AE=AN，
∵∠BAE=∠ACB，
∴∠BAE+∠EAC=∠ACB+∠EAC，
∴∠AEN=∠BAC=∠ANE，
∵∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠ANE+∠ACB=90°，
∴∠NAC=90°，
∵EC=2BE，
∴EC=EN，
∴AE=EC=EN，
∴∠ANE=∠NAE=∠AEN，
∴△AEN是等边三角形，
∴∠ANE=60°=∠AEN，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACD=60°；
（3）连接FD交AC于点T，过点G作GP⊥HF于点P，过点T作TQ⊥GH于点Q，
∵∠ACD=60°，
∴∠ACB=∠DAC=30°，∠BAC=60°，
∵AC∥BF，
∴∠BFE=∠FAC=30°，
∴∠EBF=∠EFB=30°，
∴BE=EF，
∵AE=CE，CE=2BE，
∴AF=3BE，
又∵BC=AD=3BE，
∴AF=AD，
∴DT=FT，AC⊥DF，
∴∠TDC=30°，
∴∠DFG=60°，
又∵FG⊥CD，
∴FT=TG=TD，
∴△FGT为等边三角形，
∴TG=FG，∠FGT=60°，
∵∠FHG=30°，
∴∠PGH=60°，
∴∠FGP=∠TGQ，
∵∠FPG=∠TQG=90°，
∴△FPG≌△TQG（AAS），
∴PG=QG，
∵Rt△PGH中，GH=2PG，
∴QH=QG，
∴HT=TG=FT，
∵FH=6，
∴FT=6×=3，
∴DT=3，
∴AD=2DT=6．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握几何图形的性质是解题的关键．
27. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点、在坐标轴上，，将沿折叠，使点落在对角线上的点处．
（1）求点的坐标；
（2）动点从点出发，沿折线方向以5个单位/秒的速度匀速移动，到终点停止，设运动时间为，的面积为，求出与的关系式，并写出的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当时，在平面内是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，若存在；请直接写出点坐标，若不存在请说明原因．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，，，
【解析】
【分析】本题考查了一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质，勾股定理、平行四边形的性质，面积的计算等：
（1）由翻折可知，，,设, 在 ，根据，构建方程求出x即可解决问题；
（2）分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可解决问题；
（3）点有二种情况：当为边时，当为对角线时，分别求解即可；
其中（2）（3），要注意分类求解，避免遗漏．
【小问1详解】
解：的坐标，
则：，，
在中，根据勾股定理得：，
将沿折叠，使点落在对角线上的点处，
，，
，
设,则,
在中，由勾股定理得：,
即,
解得,
．
【小问2详解】
过点作于点，
根据三角形面积可得，，
∴，
故点的横坐标为，
即：，
正比例函数经过，
，
，
，
，
①当点在段时，即：，
如图：过点作于点，
，
，
，
②当点在段时，如下图，过点作于点，
，
，，
，
综上所述：．
【小问3详解】
由（2）知，点，
当时，则点，
而点,设点，
①当为边时，
点向右平移个单位得到点，同样点向右平移个单位得到点，
即且，
解得或，
故点的坐标为或；
②当为对角线时，
由中点公式得且，
解得，
综上点的坐标为或或．
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