山东省泰安市东平县2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中选择题56分，非选择题94分，满分150分，考试时间120分钟；
2.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效；
3.数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将答题卡（纸）交回．
第I卷 （选择题 共48分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．每小题给出的四个答案中，只有一项是正确的．）
1. 关于四边形，下列说法正确的是（ ）
A. 对角线相等的是矩形B. 对角线互相垂直的是菱形
C. 对角线互相垂直且相等的是正方形D. 对角线互相平分的是平行四边形
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形、菱形、正方形、平行四边形的判定定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故本选项错误，不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了矩形、菱形、正方形、平行四边形的判定，熟练掌握矩形、菱形、正方形、平行四边形的判定定理是解题的关键．
2. 在下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题解析：：A、是三次根式；故本选项错误；
B、被开方数-10＜0，不是二次根式；故本选项错误；
C、被开方数a2+1≥0，符合二次根式的定义；故本选项正确；
D、被开方数a＜0时，不是二次根式；故本选项错误；
故选C．
点睛：式子（a≥0）叫做二次根式，特别注意a≥0，a是一个非负数．
3. 在四边形ABCD中，两对角线交于点O，若OA=OB=OC=OD，则这个四边形( )
A. 可能不是平行四边形B. 一定是菱形
C. 一定是正方形D. 一定是矩形
【答案】D
【解析】
【分析】根据OA=OC, OB=OD，判断四边形ABCD是平行四边形．然后根据AC=BD，判定四边形ABCD是矩形．
【详解】解：这个四边形是矩形，理由如下：
∵对角线AC、BD交于点O，OA= OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵OA=OC=OD=OB，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．
故选D．
【点睛】本题考查了矩形的判断，熟记矩形的各种判定方法是解题的关键．
4. 若方程是关于的一元二次方程，则的值是（ ）
A. 2B. 或2C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程定义得到且，然后求解即可得到答案．
【详解】解：方程是关于的一元二次方程，
且，
解得：，
故答案为：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是，特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．
5. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分BO，AE=cm，则OD=（ ）
A. 1cmB. 1.5cmC. 2cmD. 3cm
【答案】C
【解析】
【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=AB=OB，由勾股定理求出OB即可．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB=AO，
∴OA=AB=OB，
∵AE=cm，
∴OB=2=OD；
故选C．
【点睛】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
6. 计算的结果为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，平方差公式，先把原式变形为，再利用平方差公式和实数的运算法则求解即可．
【详解】解：
7. 如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连，根据三角形中位线的性质得到，； ，，即四边形为平行四边形，当和，只能判断四边形为平行四边形；当，能判断四边形为矩形；当，能判断四边形为菱形．
【详解】解：如图所示，连，

∵、、、为四边形各中点，
∴，；，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
要使四边形为菱形，则，
而，
∴．
当和，只能判断四边形为平行四边形，故A、D选项错误；
当，能判断四边形为矩形，故C选项正确；
当，可判断四边形为菱形，故B选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定定理，以及三角形中位线的性质，掌握矩形的判定方法是解题的关键．
8. 等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是（ ）
A. 27B. 36C. 27或36D. 18
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：由于等腰三角形的一边长3为底或为腰不能确定，故应分两种情况进行讨论：（1）当3为腰时，其他两条边中必有一个为3，把x=3代入原方程可求出k的值，进而求出方程的另一个根，再根据三角形的三边关系判断是否符合题意即可；（2）当3为底时，则其他两条边相等，即方程有两个相等的实数根，由△=0可求出k的值，再求出方程的两个根进行判断即可．
试题解析：分两种情况：
（1）当其他两条边中有一个为3时，将x=3代入原方程，
得：32-12×3+k=0
解得:k=27
将k=27代入原方程，
得：x2-12x+27=0
解得x=3或9
3，3，9不能组成三角形，不符合题意舍去；
（2）当3为底时，则其他两边相等，即△=0，
此时：144-4k=0
解得：k=36
将k=36代入原方程，
得：x2-12x+36=0
解得：x=6
3，6，6能够组成三角形，符合题意．
故k的值为36．
故选B．
考点：1．等腰三角形的性质；2．一元二次方程的解．
9. 已知，则的值为（ ）
A. 0B. －1C. 1D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据非负数的性质列出算式，求出的值，计算即可
【详解】∵
∴
解得
∴
故选C
【点睛】本题考查了乘方中偶次方和二次根式的非负性，掌握当几个非负数相加和为0时，其中每一项都等于0是解题关键
10. 如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=4，点P是AB边上的一个动点，点E、F分别是DP、BP的中点，则线段EF的长为( )
A. 2B. 4C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】【分析】连接BD，利用菱形性质和三角形中位线性质可解得.
【详解】连接BD，
因为,四边形ABCD是菱形，
所以，AB=AD=4,
又因为∠A=60°，
所以，三角形ABD是等边三角形.
所以，BD=AB=AD=4
因为，E,F是DP、BP的中点，
所以，EF是三角形ABD的中位线，
所以，EF=BD=2
故选A
【点睛】本题考核知识点：菱形，三角形中位线.解题关键点：理解菱形，三角形中位线性质.
11. 已知关于x的方程x2+px+q=0的两个根为x1=3，x2=﹣4，则二次三项式x2﹣px+q可分解为（ ）
A. （x+3）（x﹣4）B. （x﹣3）（x+4）C. （x+3）（x+4）D. （x﹣3）（x﹣4）
【答案】A
【解析】
【分析】由方程x2+px+q=0的两个根为x1=3，x2=-4，将多项式x2+px+q=0分解因式，求出p与q的值，确定出所求多项式，利用十字相乘法分解即可．
【详解】∵方程x2+px+q=0的两个根为x1=3，x2=﹣4，
∴二次三项式x2+px+q=（x﹣3）（x+4）=x2+x﹣12，
∴p=1，q=﹣12，
则x2﹣x﹣12=（x+3）（x﹣4）．
故选A
【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．弄清题意是解本题的关键．
12. 如图，正方形中，点M是边上一点（异于点B、C），的垂直平分线分别交、、于E、F、K，连、．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数是（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和线段垂直平分线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等是解决问题的关键.
作 于，根据三角形的全等得出，进而得出，再利用矩形的性质可得出；再利用等腰直角三角形的性质以及全等三角形的性质，判断出线段之间的关系即可得出正确答案.
【详解】如图， 作于， 则，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故①正确；
由题可得：，
∴，
故②正确；
如图， 过作于， 于，
∵是正方形，
∴，

∴，
，
故③错误；
∵平分，
，
又∵的垂直平分线交于，
，
，
，
又，
，即，
故④正确；
正确的为①②④，
故选C.
第Ⅱ卷 （非选择题 共102分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果）
13. 函数y中自变量x的取值范围是___________．
【答案】x≤2且x≠−3
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，2−x≥0且x＋3≠0，
解得x≤2且x≠−3．
故答案为：x≤2且x≠−3．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
14. 如图，在正方形的外侧，作等边，则______________________________
【答案】##度
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理等等，先由正方形的性质得到，再由等边三角形的性质得到，据此推出，求出，则．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 若是一个完全平方式，则n=______
【答案】
【解析】
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可n的值即可．
【详解】∵是一个完全平方式，
∴=9，
解得：n=±3，
则n的值是±3，
故答案为±3
【点睛】此题考查完全平方式，解题关键在于利用完全平方公式进行解答.
16. 如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形，若，，则四边形的面积等于__．
【答案】18
【解析】
【分析】先证明四边形是菱形，再根据勾股定理求出，最后根据面积公式计算即可．
【详解】∵，，
∴四边形是平行四边形．
作于E，于F，
∴．
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴．
∵，，
∴，
∴，
根据勾股定理，得．
∴四边形的面积．
故答案为：．
17. 如图，在中，，P为上一动点，于点E，于点，则的最小值为_____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质．熟练掌握勾股定理，矩形的判定与性质是解题的关键．
由勾股定理得，，证明四边形是矩形，如图，连接，则，当时，最小，即最小，由，可求，进而可得的最小值．
【详解】解：由勾股定理得，，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
如图，连接，
∴，
∴当时，最小，即最小，
∵，
∴，
解得，，
∴的最小值为，
故答案为：．
18. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则的值为_____．
【答案】﹣a+b+2c
【解析】
【分析】根据数轴得出c＜a＜0＜b，|c|＞|b|＞|a|，求出a﹣b＜0，b+c＜0，b﹣c＞0，再根据二次根式的性质进行化简，最后求出答案即可．
【详解】解：∵从数轴可知：c＜a＜0＜b，|c|＞|b|＞|a|，
∴a﹣b＜0，b+c＜0，b﹣c＞0，
∴
＝|a﹣b|﹣|b+c|﹣|b﹣c|
＝﹣（a﹣b）+（b+c）﹣（b﹣c）
＝﹣a+b+b+c﹣b+c
＝﹣a+b+2c，
故答案为﹣a+b+2c．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，绝对值，数轴等知识点，能正确根据二次根式的性质进行计算是解此题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共78分．写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）5 （3）
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算以及零指数幂运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）首先去括号并利用二次根式的性质化简，然后进行加减运算即可；
（2）首先进行二次根式的乘除运算及利用二次根式的性质化简，然后进行加减运算即可；
（2）首先平方差公式和完全平方公式进行化简，然后进行加减运算即可；
（4）首先利用零指数幂运算法则及二次根式的性质化简，然后进行加减运算即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
；
【小问3详解】
解：
原式
；
【小问4详解】
原式
．
20. 用适当的方法解方程
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）利用直接开平方的方法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可；
（3）利用公式法解方程即可；
（4）先移项，然后利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
解得；
【小问2详解】
解；∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
【小问3详解】
解：
整理得，
∴，
∴，
∴，
解得；
【小问4详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．
21. 先化简，再求值：，其中，
【答案】 ，
【解析】
【分析】先利用二次根式的性质化简，合并后再把已知条件代入求值.
【详解】原式
当，y= 4时
原式=
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，注意先化简代数式，再进一步代入求得数值.
22. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，，，求EF的长．
【答案】
【解析】
【分析】根据矩形性质得出∠ABC=90°，然后根据勾股定理求出BD、AC，因为，求出，再根据三角形中位线求出EF即可．
【详解】解：矩形ABCD中，∠ABC=90°，
在中，
，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
，
∵点E，F分别是AO，AD的中点，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理，矩形性质，三角形中位线的应用，关键是求出OD长．
23. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接．
（1）求证：四边形菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据菱形的判定即可得证；
（2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．
【小问1详解】
，
平分，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是菱形；
【小问2详解】
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
24. 配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决一些最值问题．例如：，所以的最小值为，此时．
（1）尝试：，因此当 时，代数式有最小值，最小值 ；
，所以当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值．
（2）应用：如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的栅栏的总长是，栅栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）；，大；
（2）当为米，为米时，面积最大为平方米．
【解析】
【分析】（）根据配方后的结果即可求解；根据配方后的结果即可求解；
（）设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，列式表示出矩形的面积，再利用配方法解答即可求解；
本题考查了利用配方法求代数式最值，掌握配方法是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵，
∴当时，代数式有最小值，最小值为，
故答案为：，；
∵，
∴当时，代数式有最大值，
故答案为：，大；
【小问2详解】
解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，
根据题意得，，
当时，有最大值，最大值为，
∴围成的矩形花圃垂直于墙的栅栏长时，能使花圃面积最大，最大面积是．
25. 数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的角平分线CF于点F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
【答案】（1）正确．证明见解析；（2）正确．证明见解析.
【解析】
【分析】（1）在上取一点，使，连接，根据已知条件利用判定，因为全等三角形的对应边相等，所以．
（2）在的延长线上取一点，使，连接，根据已知利用判定，因为全等三角形的对应边相等，所以．
【详解】解：（1）正确．
证明：在上取一点，使，连接．
，
，
，
是外角平分线，
，
，
，
，，
，
，
．
（2）正确．
证明：如图示，在的延长线上取一点，使，连接．
，
，
平分，
，
，
四边形是正方形，
，
，
即，
，
，
．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定方法，熟悉相关性质是解题的关键．