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河南省信阳高级中学2023-2024学年高三二模测试（十九）数学试题及参考答案
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一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合，那么
A.
B.
C.
D.
2.方程两根为，那么
A.2
B.0
C.
D.
3.某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下
若用同一行业中应聘人数与招聘人数百分比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是
行业名称
计算机
机械
营销
物流
贸易
应聘人数
215830
200250
154676
74570
65280
行业名称
计算机
机械
营销
物流
贸易
招聘人数
124620
102935
89115
76516
70436
A.计算机行业好于化工行业
C.机械行业最紧张
B.建筑行业好于物流行业
D.营销行业比贸易行业紧张
5.若函数的图象可由函数的图象绕坐标原点逆时针旋转得到，则
A.
B.
C.
D.
5.若平面向量与向量的夹角是，单位向量与向量夹角是，且，则在方向上投影向量是
A.
B.
C.
D.
6.已知是椭圆的半焦距，则的取值范围是
A.
B.
C.
D.
7.设是某港口水的深度（米）关于时间（时）的函数，其中.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间与水深的关系：
经长期观观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象.在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是
0
3
6
9
12
15
18
21
24
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
A.
C.
B.
D.
8.已知则的最小值为
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，一有选错的得0分）
9.质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件，“数字是5的倍数”为事件，“数字是7的倍数"为事件，则下列选项不正确的是
A.事件A、B、C两两互斥
C.
B.事件与事件对立
D.事件A、B、C两两独立
10.已知函数是定义域为的可导函数，对任意成立，且，则
A.是奇函数
C.
B.是减函数
D.是的极小值点
11.已知正四棱台中，下列结论正确的是
A.该棱台体积等于
B.该棱台体有内切球（六个面均与球相切）
C.直线与平面所成角等于
D.从该棱台八个顶点任取两个可以确定一条直线，这些直线中异面关系有174对
12.已知曲线下面结论正确的是
A.曲线C有一个对称中心和两条对称轴
B.曲线C与曲线可以围成封闭图形
C.曲线上不存在任何一点在单位圆内
D.当曲线C与曲线有相同的渐近线时，的离心率等于
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.的展开式中常数项是 .
14.等比数列满足前项和为，且，点在直线上，则直线的斜率等于 .
15.设函数图象上任意一点处的切线为，总存在函数图象上一点处的切线，使得，则实数的最小值为 .
16.正四面体的棱长为1，棱//平面，则正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题10分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求；
（2）若为边上一点，且，求.
18.（本题12分）如图，在正方体中，以为轴截面有一半圆柱，点为圆弧的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的正弦值.
19.（本题12分）对于数列
（1）已知数列的前项和，求数列的通项公式；
（2）记的前项和为，求证为等差数列的充要条件是.
20.（本题12分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若关于的方程有两个不相等的实数根，其中一个实数根为，求证：
21.（本题12分）已知动圆过定点，且与直线相切，其中.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）设是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
22.（本题12分）某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗，该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染.现有只白鼠，已知每只白鼠在未接种疫苗时，接触病鼠后被感染的概率为，设随机变量表示只白鼠在未接种疫苗时接触病鼠后被感染的白鼠数，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立.
（1）若，求数学期望；
（2）设接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为，将接种疫苗后的白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量，表示第组被感染的白鼠数.现将随机变量的实验结果绘制成频数分布图，如图所示.
①试写出事件“”发生的概率表达式（用表示，组合数不必计算）：
②现有两个不同的研究团队理论研究发现概率与参数的取值有关，团队提出函数模型为，团队提出函数模型为.在统计学中，若参数时使得概率最大，称是的最大似然估计.根据这一原理和团队A，B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计，并求出最大似然估计.参考数据：.
一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合，那么
A.
B.
C.
D.
2.方程两根为，那么
A.2
B.0
C.
D.
3.某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下
若用同一行业中应聘人数与招聘人数百分比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是
行业名称
计算机
机械
营销
物流
贸易
应聘人数
215830
200250
154676
74570
65280
行业名称
计算机
机械
营销
物流
贸易
招聘人数
124620
102935
89115
76516
70436
A.计算机行业好于化工行业
C.机械行业最紧张
B.建筑行业好于物流行业
D.营销行业比贸易行业紧张
5.若函数的图象可由函数的图象绕坐标原点逆时针旋转得到，则
A.
B.
C.
D.
5.若平面向量与向量的夹角是，单位向量与向量夹角是，且，则在方向上投影向量是
A.
B.
C.
D.
6.已知是椭圆的半焦距，则的取值范围是
A.
B.
C.
D.
7.设是某港口水的深度（米）关于时间（时）的函数，其中.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间与水深的关系：
经长期观观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象.在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是
0
3
6
9
12
15
18
21
24
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
A.
C.
B.
D.
8.已知则的最小值为
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，一有选错的得0分）
9.质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件，“数字是5的倍数”为事件，“数字是7的倍数"为事件，则下列选项不正确的是
A.事件A、B、C两两互斥
C.
B.事件与事件对立
D.事件A、B、C两两独立
10.已知函数是定义域为的可导函数，对任意成立，且，则
A.是奇函数
C.
B.是减函数
D.是的极小值点
11.已知正四棱台中，下列结论正确的是
A.该棱台体积等于
B.该棱台体有内切球（六个面均与球相切）
C.直线与平面所成角等于
D.从该棱台八个顶点任取两个可以确定一条直线，这些直线中异面关系有174对
12.已知曲线下面结论正确的是
A.曲线C有一个对称中心和两条对称轴
B.曲线C与曲线可以围成封闭图形
C.曲线上不存在任何一点在单位圆内
D.当曲线C与曲线有相同的渐近线时，的离心率等于
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.的展开式中常数项是 .
14.等比数列满足前项和为，且，点在直线上，则直线的斜率等于 .
15.设函数图象上任意一点处的切线为，总存在函数图象上一点处的切线，使得，则实数的最小值为 .
16.正四面体的棱长为1，棱//平面，则正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题10分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求；
（2）若为边上一点，且，求.
18.（本题12分）如图，在正方体中，以为轴截面有一半圆柱，点为圆弧的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的正弦值.
19.（本题12分）对于数列
（1）已知数列的前项和，求数列的通项公式；
（2）记的前项和为，求证为等差数列的充要条件是.
20.（本题12分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若关于的方程有两个不相等的实数根，其中一个实数根为，求证：
21.（本题12分）已知动圆过定点，且与直线相切，其中.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）设是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
22.（本题12分）某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗，该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染.现有只白鼠，已知每只白鼠在未接种疫苗时，接触病鼠后被感染的概率为，设随机变量表示只白鼠在未接种疫苗时接触病鼠后被感染的白鼠数，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立.
（1）若，求数学期望；
（2）设接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为，将接种疫苗后的白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量，表示第组被感染的白鼠数.现将随机变量的实验结果绘制成频数分布图，如图所示.
①试写出事件“”发生的概率表达式（用表示，组合数不必计算）：
②现有两个不同的研究团队理论研究发现概率与参数的取值有关，团队提出函数模型为，团队提出函数模型为.在统计学中，若参数时使得概率最大，称是的最大似然估计.根据这一原理和团队A，B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计，并求出最大似然估计.参考数据：.
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