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2025届高考数学一轮总复习第三章函数与基本初等函数第五节指数与指数函数课件
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这是一份2025届高考数学一轮总复习第三章函数与基本初等函数第五节指数与指数函数课件，共44页。PPT课件主要包含了内容索引，强基础增分策略，增素能精准突破，xna，相反数，2两个重要公式，分数指数幂，ar+s，ars，arbr等内容，欢迎下载使用。
知识梳理1.根式(1)根式的概念
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
微点拨在进行指数幂的运算时,一般用分数指数幂的形式表示,并且结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又有负指数.
3.有理指数幂的运算性质(1)aras= (a>0,r,s∈Q); (2)(ar)s= (a>0,r,s∈Q); (3)(ab)r= (a>0,b>0,r∈Q).
4.指数函数及其图象与性质
(2)指数函数的图象与性质:
y=ax(a>0,且a≠1)
(1)概念:函数 叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.
微点拨函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的图象与性质
微思考如何确定指数型函数y=kamx+n+b(a>0,且a≠1,k≠0,m≠0)图象所过的定点?
提示 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)图象经过定点(0,1)的原因是a0=1.因此要确定指数型函数y=kamx+n+b(a>0,且a≠1,k≠0,m≠0)图象所经过的定点,
常用结论1.画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象时注意两个关键点:(1,a),(0,1).
2.底数a的大小决定了指数函数图象相对位置的高低,不论是a>1,还是0
5.函数y= (a>0,且a≠1),y=ax-a-x(a>0,且a≠1)均为奇函数,函数y=ax+a-x(a>0,且a≠1)为偶函数.6.若函数g(x)=af(x)(a>0,且a≠1)的值域为(0,+∞),则f(x)的值域必为R.
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(3)若函数f(x)是指数函数,且f(1)>1,则f(x)是增函数.( )(4)若a>1,则当f(x)有最大值时,g(x)=af(x)也有最大值.( )
A.0 B.2(a-b)C.0或2(a-b)D.a-b
解析 =|a-b|+a-b,当a≥b时,原式等于2(a-b);当a
方法点拨指数幂的运算(1)运算顺序:有括号先算括号内的,无括号先进行指数的乘方、开方,再乘除后加减,底数是负数的先确定符号;(2)运算基本原则:①化负指数为正指数;②化根式为分数指数幂;③化小数为分数,化带分数为假分数.
答案 (1)B (2)-6
(2)(多选)若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,则实数a的取值可以是( )
例2.(1)(多选)(2023安徽合肥一模)已知a>0,函数f(x)=xa-ax(x>0)的图象可能是( )
答案 (1)ABC (2)AB
解析(1)当01时,取a=2,有f(2)=f(4)=0,即在(0,+∞)上函数f(x)=x2-2x的图象与x轴有两个公共点,又x∈(0,+∞),随着x的无限增大,函数y=ax呈爆炸式增长,其增长速度比y=xa的快,因此存在正数x0,当x>x0时, 恒成立,即f(x)<0,选项C可能,D不可能.故选ABC.
(2) 当a>1时,如图①,由题意可得0<2a<1,解得01,所以这种情况不存在;
当0
对点训练2(多选)已知实数a,b满足等式2a=3b,下列关系式中可能成立的是( )A.0
例3.(1)(2023天津,3)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则( )A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c(2)(2023四川德阳一模)已知a,b,c是正实数,且e2a-2ea+b+eb+c=0,则a,b,c的大小关系不可能为( )A.a=b=cB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c
答案 (1)D (2)D
解析(1)因为函数y=1.01x为增函数,所以1.010.6>1.010.5>1.010=1.又0.60.5<0.60=1,所以1.010.6>1.010.5>0.60.5,即b>a>c.故选D.(2)∵e2a-2ea+b+eb+c=0,a,b,c是正实数,∴e2a-ea+b+eb+c-ea+b=ea(ea-eb)+eb(ec-ea)=0,其中ea>1,eb>1,ec>1,对于A,若a=b=c,则ea-eb=ec-ea=0,满足题意;对于B,若a>b>c,则ea-eb>0,ec-ea<0,满足题意;对于C,若b>c>a,则ea-eb<0,ec-ea>0,满足题意;对于D,若b>a>c,则ea-eb<0,ec-ea<0,不满足题意.故选D.
方法总结比较指数式大小的方法
对点训练3(1)(2023湖南岳阳一模)已知正实数x,y满足x+y=1,则下列不等式恒成立的是( )
A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>a>b
答案 (1)D (2)B
考向2.解简单的指数不等式典例突破例4.已知函数f(x)= ,则不等式f(x)+f(x2)>0的解集为( )A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
突破技巧指数不等式的求解技巧(1)将不等式的两边化为同底数的幂的形式,然后根据指数函数的单调性转化为幂指数之间的大小关系进行求解.(2)若不等式中幂的底数范围不确定,则应注意分类讨论进行求解.(3)注意一些常见的指数型函数的奇偶性与单调性.
对点训练4已知函数f(x)满足f(x)=f(-x),当x≥0时,f(x)=3x+2x,则不等式f(x-2)<13的解集为( )A.(-∞,0)∪(4,+∞)B.(0,4)C.(0,2) D.(-∞,0)∪(2,+∞)
考向3.指数型函数的定义域、值域问题典例突破例5.(1)函数f(x)= 的定义域为( )A.[-2,+∞)B.(-∞,-2]C.[-1,+∞)D.(-∞,-1](2)函数f(x)=4x-2x+2的值域为 .
方法点拨指数型函数定义域与值域的求法(1)形如y=af(x)的函数,其定义域即f(x)的定义域,求其值域时,可先求f(x)的值域,再利用y=at的单调性结合t=f(x)的值域求y=at的值域.(2)形如y=f(ax)的函数,应利用换元法,设ax=t,将函数转化为y=f(t),然后根据函数y=f(t)确定原函数的定义域与值域.
对点训练5函数f(x)= 的值域为 .
答案 (0,1]
考向4.指数型函数单调性、奇偶性的应用典例突破
A.[5,+∞)B.[4,+∞)C.(-∞,6]D.(-∞,4]
答案 (1)D (2)A
突破技巧指数型函数单调性的判断形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数单调性的判断方法:(1)当a>1时,y=af(x)的单调性与y1=f(x)的单调性完全相同;(2)当0
知识梳理1.根式(1)根式的概念
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
微点拨在进行指数幂的运算时,一般用分数指数幂的形式表示,并且结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又有负指数.
3.有理指数幂的运算性质(1)aras= (a>0,r,s∈Q); (2)(ar)s= (a>0,r,s∈Q); (3)(ab)r= (a>0,b>0,r∈Q).
4.指数函数及其图象与性质
(2)指数函数的图象与性质:
y=ax(a>0,且a≠1)
(1)概念:函数 叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.
微点拨函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的图象与性质
微思考如何确定指数型函数y=kamx+n+b(a>0,且a≠1,k≠0,m≠0)图象所过的定点?
提示 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)图象经过定点(0,1)的原因是a0=1.因此要确定指数型函数y=kamx+n+b(a>0,且a≠1,k≠0,m≠0)图象所经过的定点,
常用结论1.画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象时注意两个关键点:(1,a),(0,1).
2.底数a的大小决定了指数函数图象相对位置的高低,不论是a>1,还是0
5.函数y= (a>0,且a≠1),y=ax-a-x(a>0,且a≠1)均为奇函数,函数y=ax+a-x(a>0,且a≠1)为偶函数.6.若函数g(x)=af(x)(a>0,且a≠1)的值域为(0,+∞),则f(x)的值域必为R.
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(3)若函数f(x)是指数函数,且f(1)>1,则f(x)是增函数.( )(4)若a>1,则当f(x)有最大值时,g(x)=af(x)也有最大值.( )
A.0 B.2(a-b)C.0或2(a-b)D.a-b
解析 =|a-b|+a-b,当a≥b时,原式等于2(a-b);当a
方法点拨指数幂的运算(1)运算顺序:有括号先算括号内的,无括号先进行指数的乘方、开方,再乘除后加减,底数是负数的先确定符号;(2)运算基本原则:①化负指数为正指数;②化根式为分数指数幂;③化小数为分数,化带分数为假分数.
答案 (1)B (2)-6
(2)(多选)若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,则实数a的取值可以是( )
例2.(1)(多选)(2023安徽合肥一模)已知a>0,函数f(x)=xa-ax(x>0)的图象可能是( )
答案 (1)ABC (2)AB
解析(1)当0
(2) 当a>1时,如图①,由题意可得0<2a<1,解得0
当0
对点训练2(多选)已知实数a,b满足等式2a=3b,下列关系式中可能成立的是( )A.0
例3.(1)(2023天津,3)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则( )A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c(2)(2023四川德阳一模)已知a,b,c是正实数,且e2a-2ea+b+eb+c=0,则a,b,c的大小关系不可能为( )A.a=b=cB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c
答案 (1)D (2)D
解析(1)因为函数y=1.01x为增函数,所以1.010.6>1.010.5>1.010=1.又0.60.5<0.60=1,所以1.010.6>1.010.5>0.60.5,即b>a>c.故选D.(2)∵e2a-2ea+b+eb+c=0,a,b,c是正实数,∴e2a-ea+b+eb+c-ea+b=ea(ea-eb)+eb(ec-ea)=0,其中ea>1,eb>1,ec>1,对于A,若a=b=c,则ea-eb=ec-ea=0,满足题意;对于B,若a>b>c,则ea-eb>0,ec-ea<0,满足题意;对于C,若b>c>a,则ea-eb<0,ec-ea>0,满足题意;对于D,若b>a>c,则ea-eb<0,ec-ea<0,不满足题意.故选D.
方法总结比较指数式大小的方法
对点训练3(1)(2023湖南岳阳一模)已知正实数x,y满足x+y=1,则下列不等式恒成立的是( )
A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>a>b
答案 (1)D (2)B
考向2.解简单的指数不等式典例突破例4.已知函数f(x)= ,则不等式f(x)+f(x2)>0的解集为( )A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
突破技巧指数不等式的求解技巧(1)将不等式的两边化为同底数的幂的形式,然后根据指数函数的单调性转化为幂指数之间的大小关系进行求解.(2)若不等式中幂的底数范围不确定,则应注意分类讨论进行求解.(3)注意一些常见的指数型函数的奇偶性与单调性.
对点训练4已知函数f(x)满足f(x)=f(-x),当x≥0时,f(x)=3x+2x,则不等式f(x-2)<13的解集为( )A.(-∞,0)∪(4,+∞)B.(0,4)C.(0,2) D.(-∞,0)∪(2,+∞)
考向3.指数型函数的定义域、值域问题典例突破例5.(1)函数f(x)= 的定义域为( )A.[-2,+∞)B.(-∞,-2]C.[-1,+∞)D.(-∞,-1](2)函数f(x)=4x-2x+2的值域为 .
方法点拨指数型函数定义域与值域的求法(1)形如y=af(x)的函数,其定义域即f(x)的定义域,求其值域时,可先求f(x)的值域,再利用y=at的单调性结合t=f(x)的值域求y=at的值域.(2)形如y=f(ax)的函数,应利用换元法,设ax=t,将函数转化为y=f(t),然后根据函数y=f(t)确定原函数的定义域与值域.
对点训练5函数f(x)= 的值域为 .
答案 (0,1]
考向4.指数型函数单调性、奇偶性的应用典例突破
A.[5,+∞)B.[4,+∞)C.(-∞,6]D.(-∞,4]
答案 (1)D (2)A
突破技巧指数型函数单调性的判断形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数单调性的判断方法:(1)当a>1时,y=af(x)的单调性与y1=f(x)的单调性完全相同;(2)当0
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