2025届高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用第三节利用导数研究函数的极值与最值课件

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知识梳理1.函数的极值
函数极值反映的是函数局部的性质
极大值点和极小值点统称为极值点
 微点拨对函数极值的理解 (1)函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值,即端点一定不是函数的极值点.(2)在一个给定的区间上,函数可能有若干个极值点,也可能不存在极值点;函数可以只有极大值没有极小值,或者只有极小值没有极大值,也可能既有极大值又有极小值.极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小.
微思考对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“f(x)在x=x0处取得极值”的什么条件?
提示 必要不充分条件.当f'(x0)=0时,f(x)不一定在x=x0处取得极值,例如函数f(x)=x3;但当f(x)在x=x0处取得极值时,由极值定义可知必有f'(x0)=0.
2.函数的最值(1)一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条　　　　　的曲线,那么它必有最大值和最小值. (2)一般地,求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的　　　　; ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值　　 　比较,其中最大的一个是　　　　,最小的一个是　　　　. 
函数最值反映的是函数整体的性质
微点拨函数最值与极值的区别(1)函数在闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或最小值只能各有一个,具有唯一性;而极大值和极小值可能有多个,也可能没有;(2)极值只能在函数区间的内部取得,而最值可以在区间的端点处取得,有极值的不一定有最值,有最值的不一定有极值.
常用结论1.对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“f(x)在x=x0处取得极值”的必要不充分条件.2.如果函数f(x)在闭区间[a,b]上恰好是单调函数,那么函数的最值恰好在两个端点处取到.当f(x)在闭区间[a,b]上单调递增时,f(a)是最小值,f(b)是最大值;当f(x)在闭区间[a,b]上单调递减时,f(a)是最大值,f(b)是最小值.3.如果函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极值,那么这个极值就是相应的最值.4.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),其导数f'(x)=3ax2+2bx+c,方程3ax2+2bx+c=0的判别式Δ=4b2-12ac,有以下结论:
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)导数为0的点一定是极值点.(　　)(2)在定义域上的单调函数一定没有极值.(　　)(3)三次函数f(x)=x3+ax2+bx+c最多有两个极值点.(　　)(4)函数的最值有可能在极值点处取得.(　　)
2.函数f(x)=-2x3+3x2+1的极小值与极大值分别等于(　　)A.0,1B.-1,0C.-2,-1D.1,2
解析 f'(x)=-6x2+6x=-6x(x-1),令f'(x)=0得x=0或x=1.当x∈(-∞,0)时f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(0,1)时f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时f'(x)<0,函数f(x)单调递减,所以当x=0时函数取极小值f(0)=1,当x=1时函数取极大值f(1)=2.
3.函数f(x)=x3-ax2-ax+b在R上不存在极值,则实数a的取值范围是　　　　. 
答案 [-3,0]　解析 f'(x)=3x2-2ax-a,因为函数f(x)在R上不存在极值,所以Δ=(-2a)2+12a≤0,解得-3≤a≤0.故实数a的取值范围是[-3,0].
考向1.求函数的极值(点)典例突破
例1.(多选)已知函数f(x)=x3-x+1,则(　　)A.f(x)有两个极值点B.f(x)有三个零点C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
∵f(x)+f(-x)=2,∴点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心.由f'(x)=3x2-1=2,解得x=±1,∴曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1;曲线y=f(x)在点(-1,1)处的切线方程为y-1=2(x+1),即y=2x+3.∴直线y=2x与曲线y=f(x)不相切.故选AC.
方法总结求函数极值(点)的一般步骤
对点训练1若x=-1是函数f(x)=(4x2-2ax-1)e2x-1的极值点,则f(x)的极小值为(　　)A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1
解析因为f(x)=(4x2-2ax-1)e2x-1,所以f'(x)=e2x-1[8x2+(8-4a)x-(2a+2)],依题意有f'(-1)=0,解得a=1,于是f(x)=(4x2-2x-1)e2x-1,f'(x)=4e2x-1(2x2+x-1),令f'(x)=0,得
考向2.已知极值(点)求参数的值或范围典例突破(2)若函数f(x)= x2-x+aln x有两个不同的极值点,则实数a的取值范围是　　　　. 
例2.(1)(多选)(2023新高考Ⅱ,11)若函数f(x)=aln x+ (a≠0)既有极大值也有极小值,则(　　)A.bc>0B.ab>0C.b2+8ac>0D.ac<0
因为函数f(x)既有极大值也有极小值,所以g(x)=ax2-bx-2c在区间(0,+∞)上有两个不同的零点,即一元二次方程ax2-bx-2c=0有两个不同的正实数根,设为
所以b2+8ac>0,且ab>0,ac<0,bc<0,所以A不正确,B,C,D正确.故选BCD.
方法点拨根据函数极值情况求参数的值或取值范围的方法(1)如果一个函数是可导函数,那么在其极值点处的导数必然为零,即对于可导函数y=f(x),f'(x0)=0是x0为极值点的必要条件,当已知函数在某一点处取得极值时,该点处的导数值一定为零,据此可建立关于参数的方程进行求解.(2)若函数f(x)在区间I上有极值点,则f'(x)在区间I上有变号的零点,亦即方程f'(x)=0有满足相应条件的实数根,从而可转化为方程有解问题,也可转化为直线与曲线的交点问题进行求解.
对点训练2已知函数f(x)= x3-mx2+mx+9在R上无极值,则实数m的取值范围为(　　)A.(-∞,0)∪(1,+∞)B.(-∞,0]∪[1,+∞)C.(0,1) D.[0,1]
解析 函数f(x)= x3-mx2+mx+9在R上无极值⇔f'(x)=x2-2mx+m在R上无变号零点⇔Δ=4m2-4m≤0⇔0≤m≤1,故选D.
考向3.与极值有关的综合问题典例突破例3.已知函数f(x)=ln x+ x2,m∈R.(1)若m>0,函数f(x)图象上所有点处的切线中,切线斜率的最小值为2,求切线斜率取得最小值时的切线方程;(2)若F(x)=f(x)-mx有两个极值点,且所有极值的和不小于- -3,求实数m的取值范围.
名师点析求解极值综合问题的技巧(1)若问题与极大值、极小值有关,则应先将极值用极值点表示出来,充分利用极值点满足的条件对代数式进行转化整理,特别注意一元二次方程根与系数关系的运用,将极值点消去,保留参数,再进行求解.(2)若问题经转化后,需要确定一个代数式的最值或取值范围时,往往需要构造函数,转化为函数的最值,借助导数解决.
对点训练3(2023陕西长安一中二模)已知 .(1)求f(x)在x=1处的切线方程;(2)若g(x)=f(x)+mx2,记x1,x2为函数g(x)的两个极值点,求g(x1)+g(x2)的取值范围.
由题意知函数g(x)的定义域为(0,+∞).∵x1,x2为两个极值点,∴4mx2-2x+1=0有两个不相等的正根x1,x2,
考向1.求函数的最值典例突破
(2)函数f(x)=|2x-1|-2ln x的最小值为　　　　. 
例4.(1)函数f(x)=cs x+(x+1)sin x+1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为(　　)
答案 (1)D　(2)1
解析 (1)函数f(x)的导数f'(x)=-sin x+sin x+(x+1)cs x=(x+1)cs x,x∈[0,2π].
方法点拨求函数最值的方法(1)求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值:①求f(x)的导数f'(x);②解方程f'(x)=0,求出使得f'(x)=0的所有点;③计算f(x)在区间[a,b]上使得f'(x)=0的所有点以及端点的函数值;④比较以上各个函数值,其中最大的是函数的最大值,最小的是函数的最小值.(2)求函数f(x)在开区间或无穷区间上的最值:先求出函数在给定区间上的极值,再结合单调性、极值情况、函数值的正负情况等作出函数的大致图象,结合图象观察分析得到函数的最值.
考向2.已知最值求参数典例突破
名师点析已知函数最值求参数的方法(1)已知函数在闭区间上的最值时,可根据函数最值的求法将极值与端点处的函数值进行比较,从而用参数将最值表示出来,然后通过解方程求得参数的值,必要时需要进行分类讨论.(2)已知函数在开区间或无穷区间上有最值时,可先分析求得函数的极值,然后结合函数图象确定参数应满足的条件,用不等式(组)表示,解不等式(组)即得参数的取值范围.
对点训练5(2023陕西宝鸡二模)函数f(x)=x2+(a-1)x-3ln x在(1,2)内有最小值,则实数a的取值范围为(　　)
例6.(多选)(2023广东汕头二模)已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上,圆台的下底面过球心,上底面半径为r(0解析设圆台的上底面的面积为S',圆心为O1,下底面的面积为S,圆心为O,点A为上底面圆周上任意一点,圆台的高为h,球的半径为R,如图所示,则
时,f'(r)>0,f(r)在(0,r2)内单调递增;当r∈(r2,2)时,f'(r)<0,f(r)在(r2,2)内单调递减.由f(0)=8,f(1)=5,f(2)=-24,知∃r0∈(1,2),使得f(r0)=0.当r∈(0,r0)时,f(r)>0,即V'>0;当r∈(r0,2)时,f(r)<0,即V'<0,则V在(0,r0)内单调递增,在(r0,2)内单调递减,则B,D正确,C错误.故选BD.
名师点析 利用导数解决优化问题的方法在解决三角函数、几何图形的面积、几何体的体积以及实际生活中优化问题的最值问题时,一般是设出自变量、因变量,建立函数关系式,并确定其定义域,然后借助导数求出函数的最大值或最小值,从而得到问题的解,特别要注意函数中自变量的实际意义对问题结果的影响.
对点训练6已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为(　　)