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2025届高考数学一轮总复习第八章立体几何与空间向量高考解答题专项四第二课时求空间角课件
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这是一份2025届高考数学一轮总复习第八章立体几何与空间向量高考解答题专项四第二课时求空间角课件，共30页。PPT课件主要包含了典例突破等内容，欢迎下载使用。
典例突破例1.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,SA⊥平面ABCD,AD=SA=2,AB=1,点E是棱SD的中点.(1)证明:SC⊥AE;(2)求异面直线CE与BS所成角的余弦值.
方法总结用向量法求异面直线所成角的步骤
对点训练1如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是正方形,AF∥DE, AF=AD=2DE,AF⊥底面ABCD.(1)证明:BD∥平面CEF;(2)求异面直线BD与CE所成角的余弦值.
(1)证明如图①,连接AC,交BD于点M,取CF的中点N,连接MN,NE.
又由AF∥DE,AF=2DE,所以MN∥DE,MN=DE,故四边形MNED是平行四边形,所以BD∥NE.又因为BD⊄平面CEF,NE⊂平面CEF,所以BD∥平面CEF.
(2)解以A点为坐标原点,建立空间直角坐标系如图②所示,
例2. 如图,已知ABCD和CDEF都是直角梯形,AB∥DC,DC∥EF, AB=5,DC=3,EF=1,∠BAD=∠CDE=60°,二面角F-DC-B的平面角为60°.设M,N分别为AE,BC的中点.(1)证明:FN⊥AD;(2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.
又CD⊥CF且CD⊥BC,∴∠BCF为二面角F-DC-B的平面角,∠BCF=60°,∴△BCF为等边三角形.又N为BC的中点,∴FN⊥BC.又CF⊂平面BCF,CB⊂平面BCF且CB∩CF=C,∴DC⊥平面BCF.又FN⊂平面BCF,∴FN⊥DC.
又DC⊂平面ABCD,BC⊂平面ABCD且DC∩BC=C,∴FN⊥平面ABCD.又AD⊂平面ABCD,∴FN⊥AD.
方法总结求直线与平面所成角的两种方法
对点训练2(2023全国甲,理18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,AA1=2,A1到平面BCC1B1的距离为1.(1)证明:A1C=AC;(2)已知AA1与BB1距离为2,求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值.
(1)证明 ∵A1C⊥底面ABC,BC⊂平面ABC,∴A1C⊥BC.∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.又A1C,AC⊂平面ACC1A1,∴BC⊥平面ACC1A1.∵BC⊂平面BCC1B1,∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1.如图,过点A1作A1O⊥CC1交CC1于点O,又平面ACC1A1∩平面BCC1B1=CC1,∴A1O⊥平面BCC1B1.∵A1到平面BCC1B1的距离为1,∴A1O=1.∵A1C⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,∴A1C⊥AC.又A1C1∥AC,∴A1C⊥A1C1.
(方法2 空间向量法)∵A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,∴A1C,AC,BC两两垂直.如图,以C为坐标原点,建立空间直角坐标系.
例3.(2023新高考Ⅱ,20)如图,三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC, BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E为BC的中点.(1)证明:BC⊥DA;
(1)证明 如图1,连接AE,DE.∵DB=DC,E为BC的中点,∴BC⊥DE.∵DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=60°,∴△ABD,△ACD均为等边三角形,且△ABD≌△ACD,∴AB=AC.又E为BC中点,∴BC⊥AE.∵AE,DE⊂平面ADE,AE∩DE=E,∴BC⊥平面ADE.又DA⊂平面ADE,∴BC⊥DA.
(2)解设BC=2,由已知可得DA=DB=DC= .DE为等腰直角三角形BCD斜边BC上的中线,∴DE=1.∵△ABD,△ACD为等边三角形,∴AB=AC= .∵AB2+AC2=BC2,∴△ABC为等腰直角三角形,∴AE=1.易知DE=1.∵AE2+DE2=AD2,∴AE⊥DE.由(1)知,BC⊥DE,BC⊥AE,∴AE,BC,DE两两垂直.以E为坐标原点,ED,EB,EA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图2所示的空间直角坐标系,则A(0,0,1),B(0,1,0),C(0,-1,0),D(1,0,0),E(0,0,0),
v=1,u=0,即平面ABF的一个法向量n=(0,1,1).
方法总结利用空间向量求二面角的两种常用方法
对点训练3如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4,△A1BC的面积为2 .(1)求A到平面A1BC的距离;(2)设D为A1C的中点,AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值.
(2)连接AB1交A1B于点E,如图.∵AA1=AB,∴AB1⊥A1B.又平面A1BC⊥平面ABB1A1,平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B,∴AB1⊥平面A1BC.
又BC⊂平面A1BC,∴BC⊥AB1,又BC⊥BB1,AB1,BB1⊂平面ABB1A1,且AB1∩BB1=B1,∴BC⊥平面ABB1A1,∴BC⊥AB,BC⊥A1B.
∴点A(0,2,0),B(0,0,0),D(1,1,1),E(0,1,1).
典例突破例1.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,SA⊥平面ABCD,AD=SA=2,AB=1,点E是棱SD的中点.(1)证明:SC⊥AE;(2)求异面直线CE与BS所成角的余弦值.
方法总结用向量法求异面直线所成角的步骤
对点训练1如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是正方形,AF∥DE, AF=AD=2DE,AF⊥底面ABCD.(1)证明:BD∥平面CEF;(2)求异面直线BD与CE所成角的余弦值.
(1)证明如图①,连接AC,交BD于点M,取CF的中点N,连接MN,NE.
又由AF∥DE,AF=2DE,所以MN∥DE,MN=DE,故四边形MNED是平行四边形,所以BD∥NE.又因为BD⊄平面CEF,NE⊂平面CEF,所以BD∥平面CEF.
(2)解以A点为坐标原点,建立空间直角坐标系如图②所示,
例2. 如图,已知ABCD和CDEF都是直角梯形,AB∥DC,DC∥EF, AB=5,DC=3,EF=1,∠BAD=∠CDE=60°,二面角F-DC-B的平面角为60°.设M,N分别为AE,BC的中点.(1)证明:FN⊥AD;(2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.
又CD⊥CF且CD⊥BC,∴∠BCF为二面角F-DC-B的平面角,∠BCF=60°,∴△BCF为等边三角形.又N为BC的中点,∴FN⊥BC.又CF⊂平面BCF,CB⊂平面BCF且CB∩CF=C,∴DC⊥平面BCF.又FN⊂平面BCF,∴FN⊥DC.
又DC⊂平面ABCD,BC⊂平面ABCD且DC∩BC=C,∴FN⊥平面ABCD.又AD⊂平面ABCD,∴FN⊥AD.
方法总结求直线与平面所成角的两种方法
对点训练2(2023全国甲,理18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,AA1=2,A1到平面BCC1B1的距离为1.(1)证明:A1C=AC;(2)已知AA1与BB1距离为2,求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值.
(1)证明 ∵A1C⊥底面ABC,BC⊂平面ABC,∴A1C⊥BC.∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.又A1C,AC⊂平面ACC1A1,∴BC⊥平面ACC1A1.∵BC⊂平面BCC1B1,∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1.如图,过点A1作A1O⊥CC1交CC1于点O,又平面ACC1A1∩平面BCC1B1=CC1,∴A1O⊥平面BCC1B1.∵A1到平面BCC1B1的距离为1,∴A1O=1.∵A1C⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,∴A1C⊥AC.又A1C1∥AC,∴A1C⊥A1C1.
(方法2 空间向量法)∵A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,∴A1C,AC,BC两两垂直.如图,以C为坐标原点,建立空间直角坐标系.
例3.(2023新高考Ⅱ,20)如图,三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC, BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E为BC的中点.(1)证明:BC⊥DA;
(1)证明 如图1,连接AE,DE.∵DB=DC,E为BC的中点,∴BC⊥DE.∵DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=60°,∴△ABD,△ACD均为等边三角形,且△ABD≌△ACD,∴AB=AC.又E为BC中点,∴BC⊥AE.∵AE,DE⊂平面ADE,AE∩DE=E,∴BC⊥平面ADE.又DA⊂平面ADE,∴BC⊥DA.
(2)解设BC=2,由已知可得DA=DB=DC= .DE为等腰直角三角形BCD斜边BC上的中线,∴DE=1.∵△ABD,△ACD为等边三角形,∴AB=AC= .∵AB2+AC2=BC2,∴△ABC为等腰直角三角形,∴AE=1.易知DE=1.∵AE2+DE2=AD2,∴AE⊥DE.由(1)知,BC⊥DE,BC⊥AE,∴AE,BC,DE两两垂直.以E为坐标原点,ED,EB,EA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图2所示的空间直角坐标系,则A(0,0,1),B(0,1,0),C(0,-1,0),D(1,0,0),E(0,0,0),
v=1,u=0,即平面ABF的一个法向量n=(0,1,1).
方法总结利用空间向量求二面角的两种常用方法
对点训练3如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4,△A1BC的面积为2 .(1)求A到平面A1BC的距离;(2)设D为A1C的中点,AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值.
(2)连接AB1交A1B于点E,如图.∵AA1=AB,∴AB1⊥A1B.又平面A1BC⊥平面ABB1A1,平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B,∴AB1⊥平面A1BC.
又BC⊂平面A1BC,∴BC⊥AB1,又BC⊥BB1,AB1,BB1⊂平面ABB1A1,且AB1∩BB1=B1,∴BC⊥平面ABB1A1,∴BC⊥AB,BC⊥A1B.
∴点A(0,2,0),B(0,0,0),D(1,1,1),E(0,1,1).
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