甘肃省西北师范大学附属中学2024届高三第五次诊断考试（三模）数学试题

这是一份甘肃省西北师范大学附属中学2024届高三第五次诊断考试（三模）数学试题，共12页。试卷主要包含了已知，，，则，若集合，则一定有，已知函数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
高三数学
注意事项：
1．答题前考生需将姓名、班级填写在答题卡指定位置上，并粘贴好条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试卷上书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在复平面内，，其中是虚数单位，是的共轭复数，则复数的对应点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知两个向量满足，，则（ ）
A．1B．C．D．2
4．的内角所对的边分别为，，，，则（ ）
A．2B．C．D．1
5．已知函数，如图是直线与曲线的两个交点，，，则（ ）
A．0B．C．D．
6．过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，已知，线段的垂直平分线交轴于点，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
7．如图，为球形物品设计制作正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒，最少用料分别记为，则它们的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若集合，则一定有（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数单调递增B．函数值域为
C．函数的图象关于对称D．函数的图象关于对称
11．已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线左、右两支于两点，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率可以为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知直线与圆相切，则______．
13．春暖花开季节，小王、小李、小张、小刘四人计划“五·一”去踏青，现有三个出游的景点：南湖、净月、莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为______．
14．记表示在区间上的最大值，则取得最小值时，______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
如图，在正三棱柱中，为中点，点在棱上，．
（1）证明：平面；
（2）求锐二面角的余弦值．
16．（本小题满分15分）
某校研究性学习小组研究的课题是数学成绩与物理成绩的关系，随机抽取了20名同学期末考试中的数学成绩和物理成绩，如表1：
（1）数学120分及以上记为优秀，物理80分及以上记为优秀．
（ⅰ）如下列完成联表；
（ⅱ）依据的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？
（2）从这20名同学中抽取5名同学的成绩作为样本，如表2：
表2：
如图所示：以横轴表示数学成绩、纵轴表示物理成绩建立直角坐标系，将表2中的成对样本数据表示为散点图，观察散点图，可以看出样本点集中在一条直线附近，由此推断数学成绩与物理成绩线性相关．
（ⅰ）求样本相关系数；
（ⅱ）建立物理成绩关于数学成绩的一元线性回归模型，求经验回归方程，并预测数学成绩120的同学物理成绩大约为多少？（四舍五入取整数）
参考公式：（1）样本相关系数．
（2）经验回归方程．
（3），其中．
临界值表：
17．（本小题满分15分）
已知，函数．
（1）当时，求的最小值；
（2）若时，恒成立，求的取值范围．
18．（本小题满分17分）
已知椭圆过点，离心率为．不过原点的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：直线的斜率为定值；
（3）求面积的最大值．
19．（本小题满分17分）
对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中．对正整数，称为数列的阶差分数列，其中．
已知数列的首项，且为的二阶差分数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的一阶差分数列，对，是否都有成立？并说明理由；（其中为组合数）
（3）对于（2）中的数列，令，其中．
证明：．
高三年级第五次模拟考试数学参考答案
一、单项选择题
二、多项选择题
三、填空题
12．213．14．
四、解答题
15．（本小题满分13分）
【解析】方法1：（1）设，则为中点．
．连，延长交延长线于．
由得，为中点．
．平面平面，
平面，
（2）因为平面，，，
所以即为二面角的平面角．
，，，
，二面角的余弦值为．
解法2：
（1）取中点，取中点．连，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图，
则，，，，
，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则
今，则，，，
，平面．
（2）设平面的一个法向量为，
则
令，则，，，
，
所以锐二面角的余弦值为．
16．（本小题满分15分）
【解析】（1）
（ⅰ）
（ⅱ）零假设：数学成绩与物理成绩相互独立，即数学成绩与物理成绩无关联．
，
依据的独立性检验，推断不成立，即认为数学成绩与物理成绩有关联．
（2）（ⅰ）．
．
（ⅱ）
，经验回归方程为，
，，物理成绩约为81分．
17．（本小题满分15分）
【解析】（1）当时，，，
，，单调递减；，，单调递增；
．
（2），
设，
①若，由（1）知，不合题意；
②若，，
设单调递减，
，令，
单调递增，，
单调递增，，不合题意；
③，，，
单调递减，，，单调递减，；
综上，．
18．（本小题满分17分）
【解析】（1）依题意，解得，，．
（2）设直线方程为，，，，
由得，
，，，
．
解得．
（3）由（2）得，，．
，，，，
，
的面积．
．
，
当时，取到最大值．
的面积．【也可用多项均值不等式】
19．（本小题满分17分）
【解析】（1）解：因为为的二阶差分数列，所以，
将．代入得，整理得．即．所以．故数列是首项为．公差为的等差数列．因此．，即．
（2）解：因为为数列的一阶差分数列．所以，故成立．即为．①
当时．①式成立：
当时．因为，且．
所以①成立．故对都有成立．
【倒序相加，，
相加得，也可以】
（3）证明：．因为，所以，
故，即，
所以
．表1：
序号
数学
物理
1
144
95
2
130
90
3
124
79
4
120
85
5
110
69
6
107
82
7
103
80
8
102
62
9
100
67
10
98
75
11
98
68
12
95
77
13
94
59
14
92
65
15
90
57
16
88
58
17
85
70
18
85
55
19
80
52
20
75
54
数学成绩
物理成绩
合计
优秀
不优秀
优秀
不优秀
合计
数学成绩
130
110
100
85
75
物理成绩
90
69
67
70
54
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
1
2
3
4
5
6
7
8
D
A
D
A
C
B
B
D
9
10
11
AC
ABD
BC
数学成绩
物理成绩
合计
优秀
不优秀
优秀
3
1
4
不优秀
2
14
16
合计
5
15
20