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河北省保定市爱和城学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）
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一、选择题（1-12题每小题3分，共36分）
1. 下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：），其中能搭成三角形的是（ ）
A. 3，7，10B. 6，7，8C. 7，7，14D. 5，7，13
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数．
根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断．
【详解】解：A、，不能构成三角形，故此选项不合题意；
B、，能构成三角形，故此选项符合题意；
C、，不能构成三角形，故此选项不合题意；
D、，不能构成三角形，故此选项不合题意．
故选：B．
2. 下列运算中，结果是a的是（ ）
A. a·aB. a÷aC. （a）D. （-a）
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、同底数幂除法的性质计算，即可得到答案．
【详解】解：a·a，故A选项不符合题意；
a÷a，故B选项不符合题意；
（a），故C选项不符合题意；
（-a），故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方、同底数幂除法的知识；解题的关键是熟练掌握同底数幂乘法、幂的乘方、同底数幂除法的性质，从而完成求解．
3. 如图，三条直线相交于点O，且，若平分．的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线，垂线等知识．熟练掌握对顶角相等，角平分线，明确角度之间的数量关系是解题的关键．
由题意知，，由平分，可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
4. 将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定相等的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图形中两个角的位置关系依次确定度数关系，从而可得答案．
【详解】解：A、，故不符合题意；
B、由同角的余角相等可得=，故符合题意；
C、∵，，
∴与不相等，故不符合题意；
D、，，
∴与不相等，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查三角板中角度关系以及计算，熟记三角板中各角度数，根据图形确定两个角的位置关系再进行计算是解题的关键．
5. 将一个直角三角板和一把矩形直尺按如图放置，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质，过C作，得到，根据平行线性质求出，，根据，即可求出答案．
【详解】解：过C作，
∵，
∴
∴，，
∵，
∴．
故选C．
6. 下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判定三角形类型的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可．
【详解】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；
B、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；
C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；
D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的分类．
7. 如图，点C在线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2=40，已知BG=8，则图中阴影部分面积为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】设BC=a，CG=b，建立关于a，b的关系，最后求面积．
【详解】解：设BC=a，CG=b，则S1=a2，S2=b2，a+b=BG=8．
∴a2+b2=40．
∵（a+b）2=a2+b2+2ab=64，
∴2ab=64-40=24，
∴ab=12，
∴阴影部分的面积等于ab=×12=6．
故选：A．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，通过面积关系构造使用完全平方公式的条件是求解本题的关键．
8. 如图，图中的两个三角形全等，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由全等三角形的对应角相等，结合三角形内角和定理即可得到答案．
【详解】解：由全等三角形的性质可知，两幅图中边长为a、b的夹角对应相等，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等．
9. 晓蕾家与学校相距1000米，她从家出发匀速行走，20分钟后到达食品店，买零食用了10分钟，接着她加快步伐匀速行走，用10分钟便到了学校．下列图象中表示晓蕾行走的路程（米）与时间（分钟）之间的关系的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查函数的图象识别，理解两个变量之间的变化关系是正确判断的前提．根据路程随出发时间的变化而变化的情况进行判断即可．
【详解】解：根据题意，在前20分钟，离家的距离随时间增加而增加，
当时间为分钟时，路程保持不变，
当时间为分钟时，离家的距离随时间增加而增加，且比前20分钟时，增加的要快，因此只有D符合，
故选：D．
10. 下面四个图形中，表示线段是中边上的高的图形为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据三角形高的画法知，过点A作，垂足为D，其中线段是的高，再结合图形进行判断即可．
【详解】解：线段是中边上的高的图是选项D．
故选：D．
11. 如图是一组有规律的图案，它们由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，按此规律摆下去，若第n个图案中有y个三角形，则y与n之间的关系式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图形的变化发现规律，即可用含n的代数式表示，进而可得答案．
【详解】解：第1个图案有4个三角形，即；
第2个图案有7个三角形，即；
第3个图案有10个三角形，即；
…
按此规律摆下去，第n个图案有个三角形，即．
故选：A．
【点睛】本题考查了图形类规律探寻和用关系式表示变量之间的关系，根据前面几个图案中的三角形的个数找到规律是解题的关键.
12. 如图1，在直角中，，点是的中点，动点从点沿出发沿运动到点，设点的运动路程为，的面积为，与的图象如图2所示，则的面积为（ ）
A. 9B. 12C. 16D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】由图象可知：当时，等于3，由此可得出的长，进而得出的长；当时，面积最大，且面积发生转折，此时点和点重合，可得，由直角三角形的面积公式求出面积即可．
【详解】解：由图象可知：当时，，
，即，
解得，
点是的中点，
，
当时，面积发生转折，此时点和点重合，
，
在中，，，，
．
故选：C
【点睛】本题考查了与动点问题有关的两个变量间的图象关系：图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出和的长．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13. 如图，在中，为的中点，连接，取的中点，连接若的面积是1，则的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查三角形中线的性质，根据三角形中线的性质求解即可，熟练掌握三角形的中线将三角形面积分成面积相同的两部分是解题关键．
【详解】解：∵点为的中点， 的面积是，
∵为的中点，
故答案为：．
14. 若，则________．
【答案】27
【解析】
【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则变形得出，再把代入即可；
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：27
【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
15. 中，为边上任意一点，分别是和的角平分线，连接，则的度数为______．
【答案】##90度
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义，平角的定义，由角平分线的定义可得，，进而得，即可得，掌握角平分线的定义是解题的关键．
【详解】解：∵分别是和的角平分线，
∴，，
∴，
即，
故答案为：．
16. 如图，已知，点是上一点，交于点．
（1）与CF的位置关系是______；
（2）若，，则的长为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
（1）由，得到，即可得出；
（2）由，得到，即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分）
17. 计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，有理数的乘方等知识，掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据有理数的乘方、零指数幂和负整数指数幂可以解答本题；
（2）根据幂的乘方与积的乘方可以解答本题．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：
．
18. 先化简，再求值：，其中，
【答案】，
【解析】
【分析】先根据整式混合运算法则进行化简，再代值计算即可．
【详解】解：
，
当，时，原式
．
【点睛】本题考查整式的混合运算．解题的关键是掌握相关运算法则，正确的进行计算．
19. 如图，点在上，于点，与相交于点，且．求证：，在下列解答中，填空：
证明：（已知）
（______）
______（等量代换）
（______）
______（______）
又（已知）
（垂直的定义．）
______（等量代换）
（垂直的定义）．
【答案】对顶角相等；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；．
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，对顶角相等，垂直的定义，先利用，得到，即可得到到，即，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【详解】证明：（已知），
（对顶角相等），
（等量代换），
（同旁内角互补，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
又（已知），
（垂直的定义），
（等量代换），
（垂直的定义）．
故答案为：对顶角相等；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；．
20. 小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，如图是她本次去舅舅家所用的时间与小红离家的距离的关系式示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小红家到舅舅家的路程是 米，小红在商店停留了 分钟；
（2）在整个去舅舅家途中哪个时间段小红骑车速度最快？最快的速度是多少米/分？
（3）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？
【答案】（1）1500，4
（2）小红在12﹣14分钟最快，450米/分
（3）2700米
【解析】
【分析】（1）根据图象，路程的最大值即为小红家到舅舅家的路程；读图，对应题意找到其在商店停留的时间段，进而可得其在书店停留的时间；
（2）分析图象，找函数变化最快的一段，可得小明骑车速度最快的时间段，进而可得其速度；
（3）分开始行驶的路程，折回商店行驶的路程以及从商店到舅舅家行驶的路程三段相加即可求得小红一共行驶路程．
【小问1详解】
解：据图象舅舅家纵坐标为1500，小红家的纵坐标为0，
故小红家到舅舅家的路程是1500米；据题意，小红在商店停留的时间为从8分到12分，故小红在商店停留了4分钟．
故答案为：1500，4；
【小问2详解】
解：根据图象，时，直线最陡，
故小红在12﹣14分钟最快，速度为（米/分）；
【小问3详解】
解：本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了：（米）．
【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一
21. 如图，在中、、分别为的高、角平分线和中线，已知的面积为10，，，．
（1）求的长度；
（2）求的度数．
【答案】（1）10 （2）
【解析】
【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，三角形的面积等知识点，能求出的长和的度数是解此题的关键．
（1）求出和的面积相等，根据三角形的面积求出，再求出即可；
（2）求出的度数，根据三角形的外角性质求出，根据角平行线的定义求出，根据三角形内角和定理求出即可．
【小问1详解】
是的中线，
，，
和的面积相等，
的面积为10，
的面积为10，
，
，
，
；
【小问2详解】
是的高，
，
，
，
，
，
是的角平分线，
，
．
22. 为了解某种品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如下数据：
（1）自变量是______．因变量是______．
（2）该轿车油箱的容量为______L，行驶时，油箱剩余油量为______．
（3）根据上表中的数据，写出油箱剩余油量与轿车行驶的路程之间的关系式______．
（4）某人将油箱加满后，驾驶该汽车从地前往地，到达地时油箱剩余油量为，求两地之间的距离．
【答案】（1）路程，剩余油量；
（2）；
（3）；
（4）两地之间的距离为．
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是求出函数解析式，读懂表格数据所代表的含义，行驶路程为0时，即为油箱最大容积．
（1）根据函数的定义求解即可；
（2）由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少，即可求解；
（3）由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少，据此可得与的关系式；
（4）把代入函数关系式求得相应的值即可．
【小问1详解】
解：根据函数的定义，自变量是路程，因变量是剩余油量，
故答案为：路程，剩余油量．
【小问2详解】
解：(1)由表格中的数据可知，该轿车油箱的容量为，
行驶，油箱剩余油量为：
故答案为：；
【小问3详解】
解：由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶， 油量减少，
据此可得与的关系式为：
故答案为：．
【小问4详解】
解：令即
解得：
∴两地之间的距离为．
23. 如图，，点P为平面内一点．
（1）如图①，当点P在与之间时，若，则＝ °；
（2）如图②，当点P在点B右上方时，之间存在怎样数量关系？请给出证明；（不需要写出推理依据）
（3）如图③，平分平分，若，则＝ °．
【答案】（1）65 （2），见解析
（3）120
【解析】
【分析】（1）过点P作，根据平行线的性质求解即可；
（2）延长交于点H，根据三角形外角求解即可；
（3）延长交于点H，过点G，作，根据角平分线的性质和平行线的性质求解即可
【小问1详解】
解：过点P作，如图，
∵，
∴，
又∵，
∴，，
∴；
【小问2详解】
解：延长交于点H，如图，
∴是的一个外角，
∵，
∴，
∴在中，，
∴之间存在的数量关系为：；
【小问3详解】
解：延长交于点H，过点G，作，如图，
∵，
∴，
∴，
∵平分平分，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，正确作出辅助线是关键．
24. 小明和妈妈一起在一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点小明做了一会准备活动，妈妈先跑．当小明出发时，妈妈已经距离起点米．他们距起点的距离（米）与小明出发的时间（秒）之间的关系如图所示，根据图中给出的信息解答下列问题：
（1）小明出发之后，前秒的速度是______米秒：妈妈的速度是______米秒；
（2）表示的意义是______，代表的数字是多少？
（3）直接写出小明出发后的秒内，两人何时相距米？
【答案】（1），；
（2）小明和妈妈第一次相遇时距起点的距离，；
（3）小明出发后秒或秒时，两人相距米．
【解析】
【分析】（）小明在前秒内跑过的距离除以所用时间即可；而妈妈的速度始终不变，在秒内跑过的距离除以所用时间即可；
（）两图象的交点处表示两人相遇，因此表示的数字是小明和妈妈第一次相遇时距离起点的距离，再利用路程关系求出小明和妈妈相遇时的时间，即可求出的值；
（3）两人有可能两次相距米，分别在第一次相遇前、第一次相遇后，分别讨论计算即可求解；
本题考查了一次函数的图象和应用，能从图象上获取有用的信息是解题的关键．
【小问1详解】
解：由图象可知，小明在前秒内跑过的距离是米，
∴小明前秒的速度是米秒；
妈妈的速度始终不变，在秒内跑过的距离是米，
∴妈妈速度是米秒；
故答案为：，；
【小问2详解】
解：两图象的交点处表示两人相遇，
∴表示的数字是小明和妈妈第一次相遇时距起点的距离，
当小明和妈妈第一次相遇时，有，
解得，
∴，
故答案为：小明和妈妈第一次相遇时距起点的距离；
小问3详解】
解：有两种情况：
第一次相遇前相距米，则有，
解得；
第一次相遇后相距米，则有，
解得；
∴小明出发后秒或秒时，两人相距米．
轿车行驶的路程
0
100
200
300
400
油箱剩余油量
50
42
34
26
18
一、选择题（1-12题每小题3分，共36分）
1. 下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：），其中能搭成三角形的是（ ）
A. 3，7，10B. 6，7，8C. 7，7，14D. 5，7，13
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数．
根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断．
【详解】解：A、，不能构成三角形，故此选项不合题意；
B、，能构成三角形，故此选项符合题意；
C、，不能构成三角形，故此选项不合题意；
D、，不能构成三角形，故此选项不合题意．
故选：B．
2. 下列运算中，结果是a的是（ ）
A. a·aB. a÷aC. （a）D. （-a）
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、同底数幂除法的性质计算，即可得到答案．
【详解】解：a·a，故A选项不符合题意；
a÷a，故B选项不符合题意；
（a），故C选项不符合题意；
（-a），故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方、同底数幂除法的知识；解题的关键是熟练掌握同底数幂乘法、幂的乘方、同底数幂除法的性质，从而完成求解．
3. 如图，三条直线相交于点O，且，若平分．的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线，垂线等知识．熟练掌握对顶角相等，角平分线，明确角度之间的数量关系是解题的关键．
由题意知，，由平分，可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
4. 将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定相等的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图形中两个角的位置关系依次确定度数关系，从而可得答案．
【详解】解：A、，故不符合题意；
B、由同角的余角相等可得=，故符合题意；
C、∵，，
∴与不相等，故不符合题意；
D、，，
∴与不相等，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查三角板中角度关系以及计算，熟记三角板中各角度数，根据图形确定两个角的位置关系再进行计算是解题的关键．
5. 将一个直角三角板和一把矩形直尺按如图放置，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质，过C作，得到，根据平行线性质求出，，根据，即可求出答案．
【详解】解：过C作，
∵，
∴
∴，，
∵，
∴．
故选C．
6. 下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判定三角形类型的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可．
【详解】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；
B、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；
C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；
D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的分类．
7. 如图，点C在线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2=40，已知BG=8，则图中阴影部分面积为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】设BC=a，CG=b，建立关于a，b的关系，最后求面积．
【详解】解：设BC=a，CG=b，则S1=a2，S2=b2，a+b=BG=8．
∴a2+b2=40．
∵（a+b）2=a2+b2+2ab=64，
∴2ab=64-40=24，
∴ab=12，
∴阴影部分的面积等于ab=×12=6．
故选：A．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，通过面积关系构造使用完全平方公式的条件是求解本题的关键．
8. 如图，图中的两个三角形全等，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由全等三角形的对应角相等，结合三角形内角和定理即可得到答案．
【详解】解：由全等三角形的性质可知，两幅图中边长为a、b的夹角对应相等，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等．
9. 晓蕾家与学校相距1000米，她从家出发匀速行走，20分钟后到达食品店，买零食用了10分钟，接着她加快步伐匀速行走，用10分钟便到了学校．下列图象中表示晓蕾行走的路程（米）与时间（分钟）之间的关系的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查函数的图象识别，理解两个变量之间的变化关系是正确判断的前提．根据路程随出发时间的变化而变化的情况进行判断即可．
【详解】解：根据题意，在前20分钟，离家的距离随时间增加而增加，
当时间为分钟时，路程保持不变，
当时间为分钟时，离家的距离随时间增加而增加，且比前20分钟时，增加的要快，因此只有D符合，
故选：D．
10. 下面四个图形中，表示线段是中边上的高的图形为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据三角形高的画法知，过点A作，垂足为D，其中线段是的高，再结合图形进行判断即可．
【详解】解：线段是中边上的高的图是选项D．
故选：D．
11. 如图是一组有规律的图案，它们由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，按此规律摆下去，若第n个图案中有y个三角形，则y与n之间的关系式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图形的变化发现规律，即可用含n的代数式表示，进而可得答案．
【详解】解：第1个图案有4个三角形，即；
第2个图案有7个三角形，即；
第3个图案有10个三角形，即；
…
按此规律摆下去，第n个图案有个三角形，即．
故选：A．
【点睛】本题考查了图形类规律探寻和用关系式表示变量之间的关系，根据前面几个图案中的三角形的个数找到规律是解题的关键.
12. 如图1，在直角中，，点是的中点，动点从点沿出发沿运动到点，设点的运动路程为，的面积为，与的图象如图2所示，则的面积为（ ）
A. 9B. 12C. 16D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】由图象可知：当时，等于3，由此可得出的长，进而得出的长；当时，面积最大，且面积发生转折，此时点和点重合，可得，由直角三角形的面积公式求出面积即可．
【详解】解：由图象可知：当时，，
，即，
解得，
点是的中点，
，
当时，面积发生转折，此时点和点重合，
，
在中，，，，
．
故选：C
【点睛】本题考查了与动点问题有关的两个变量间的图象关系：图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出和的长．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13. 如图，在中，为的中点，连接，取的中点，连接若的面积是1，则的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查三角形中线的性质，根据三角形中线的性质求解即可，熟练掌握三角形的中线将三角形面积分成面积相同的两部分是解题关键．
【详解】解：∵点为的中点， 的面积是，
∵为的中点，
故答案为：．
14. 若，则________．
【答案】27
【解析】
【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则变形得出，再把代入即可；
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：27
【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
15. 中，为边上任意一点，分别是和的角平分线，连接，则的度数为______．
【答案】##90度
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义，平角的定义，由角平分线的定义可得，，进而得，即可得，掌握角平分线的定义是解题的关键．
【详解】解：∵分别是和的角平分线，
∴，，
∴，
即，
故答案为：．
16. 如图，已知，点是上一点，交于点．
（1）与CF的位置关系是______；
（2）若，，则的长为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
（1）由，得到，即可得出；
（2）由，得到，即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分）
17. 计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，有理数的乘方等知识，掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据有理数的乘方、零指数幂和负整数指数幂可以解答本题；
（2）根据幂的乘方与积的乘方可以解答本题．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：
．
18. 先化简，再求值：，其中，
【答案】，
【解析】
【分析】先根据整式混合运算法则进行化简，再代值计算即可．
【详解】解：
，
当，时，原式
．
【点睛】本题考查整式的混合运算．解题的关键是掌握相关运算法则，正确的进行计算．
19. 如图，点在上，于点，与相交于点，且．求证：，在下列解答中，填空：
证明：（已知）
（______）
______（等量代换）
（______）
______（______）
又（已知）
（垂直的定义．）
______（等量代换）
（垂直的定义）．
【答案】对顶角相等；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；．
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，对顶角相等，垂直的定义，先利用，得到，即可得到到，即，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【详解】证明：（已知），
（对顶角相等），
（等量代换），
（同旁内角互补，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
又（已知），
（垂直的定义），
（等量代换），
（垂直的定义）．
故答案为：对顶角相等；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；．
20. 小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，如图是她本次去舅舅家所用的时间与小红离家的距离的关系式示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小红家到舅舅家的路程是 米，小红在商店停留了 分钟；
（2）在整个去舅舅家途中哪个时间段小红骑车速度最快？最快的速度是多少米/分？
（3）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？
【答案】（1）1500，4
（2）小红在12﹣14分钟最快，450米/分
（3）2700米
【解析】
【分析】（1）根据图象，路程的最大值即为小红家到舅舅家的路程；读图，对应题意找到其在商店停留的时间段，进而可得其在书店停留的时间；
（2）分析图象，找函数变化最快的一段，可得小明骑车速度最快的时间段，进而可得其速度；
（3）分开始行驶的路程，折回商店行驶的路程以及从商店到舅舅家行驶的路程三段相加即可求得小红一共行驶路程．
【小问1详解】
解：据图象舅舅家纵坐标为1500，小红家的纵坐标为0，
故小红家到舅舅家的路程是1500米；据题意，小红在商店停留的时间为从8分到12分，故小红在商店停留了4分钟．
故答案为：1500，4；
【小问2详解】
解：根据图象，时，直线最陡，
故小红在12﹣14分钟最快，速度为（米/分）；
【小问3详解】
解：本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了：（米）．
【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一
21. 如图，在中、、分别为的高、角平分线和中线，已知的面积为10，，，．
（1）求的长度；
（2）求的度数．
【答案】（1）10 （2）
【解析】
【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，三角形的面积等知识点，能求出的长和的度数是解此题的关键．
（1）求出和的面积相等，根据三角形的面积求出，再求出即可；
（2）求出的度数，根据三角形的外角性质求出，根据角平行线的定义求出，根据三角形内角和定理求出即可．
【小问1详解】
是的中线，
，，
和的面积相等，
的面积为10，
的面积为10，
，
，
，
；
【小问2详解】
是的高，
，
，
，
，
，
是的角平分线，
，
．
22. 为了解某种品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如下数据：
（1）自变量是______．因变量是______．
（2）该轿车油箱的容量为______L，行驶时，油箱剩余油量为______．
（3）根据上表中的数据，写出油箱剩余油量与轿车行驶的路程之间的关系式______．
（4）某人将油箱加满后，驾驶该汽车从地前往地，到达地时油箱剩余油量为，求两地之间的距离．
【答案】（1）路程，剩余油量；
（2）；
（3）；
（4）两地之间的距离为．
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是求出函数解析式，读懂表格数据所代表的含义，行驶路程为0时，即为油箱最大容积．
（1）根据函数的定义求解即可；
（2）由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少，即可求解；
（3）由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少，据此可得与的关系式；
（4）把代入函数关系式求得相应的值即可．
【小问1详解】
解：根据函数的定义，自变量是路程，因变量是剩余油量，
故答案为：路程，剩余油量．
【小问2详解】
解：(1)由表格中的数据可知，该轿车油箱的容量为，
行驶，油箱剩余油量为：
故答案为：；
【小问3详解】
解：由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶， 油量减少，
据此可得与的关系式为：
故答案为：．
【小问4详解】
解：令即
解得：
∴两地之间的距离为．
23. 如图，，点P为平面内一点．
（1）如图①，当点P在与之间时，若，则＝ °；
（2）如图②，当点P在点B右上方时，之间存在怎样数量关系？请给出证明；（不需要写出推理依据）
（3）如图③，平分平分，若，则＝ °．
【答案】（1）65 （2），见解析
（3）120
【解析】
【分析】（1）过点P作，根据平行线的性质求解即可；
（2）延长交于点H，根据三角形外角求解即可；
（3）延长交于点H，过点G，作，根据角平分线的性质和平行线的性质求解即可
【小问1详解】
解：过点P作，如图，
∵，
∴，
又∵，
∴，，
∴；
【小问2详解】
解：延长交于点H，如图，
∴是的一个外角，
∵，
∴，
∴在中，，
∴之间存在的数量关系为：；
【小问3详解】
解：延长交于点H，过点G，作，如图，
∵，
∴，
∴，
∵平分平分，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，正确作出辅助线是关键．
24. 小明和妈妈一起在一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点小明做了一会准备活动，妈妈先跑．当小明出发时，妈妈已经距离起点米．他们距起点的距离（米）与小明出发的时间（秒）之间的关系如图所示，根据图中给出的信息解答下列问题：
（1）小明出发之后，前秒的速度是______米秒：妈妈的速度是______米秒；
（2）表示的意义是______，代表的数字是多少？
（3）直接写出小明出发后的秒内，两人何时相距米？
【答案】（1），；
（2）小明和妈妈第一次相遇时距起点的距离，；
（3）小明出发后秒或秒时，两人相距米．
【解析】
【分析】（）小明在前秒内跑过的距离除以所用时间即可；而妈妈的速度始终不变，在秒内跑过的距离除以所用时间即可；
（）两图象的交点处表示两人相遇，因此表示的数字是小明和妈妈第一次相遇时距离起点的距离，再利用路程关系求出小明和妈妈相遇时的时间，即可求出的值；
（3）两人有可能两次相距米，分别在第一次相遇前、第一次相遇后，分别讨论计算即可求解；
本题考查了一次函数的图象和应用，能从图象上获取有用的信息是解题的关键．
【小问1详解】
解：由图象可知，小明在前秒内跑过的距离是米，
∴小明前秒的速度是米秒；
妈妈的速度始终不变，在秒内跑过的距离是米，
∴妈妈速度是米秒；
故答案为：，；
【小问2详解】
解：两图象的交点处表示两人相遇，
∴表示的数字是小明和妈妈第一次相遇时距起点的距离，
当小明和妈妈第一次相遇时，有，
解得，
∴，
故答案为：小明和妈妈第一次相遇时距起点的距离；
小问3详解】
解：有两种情况：
第一次相遇前相距米，则有，
解得；
第一次相遇后相距米，则有，
解得；
∴小明出发后秒或秒时，两人相距米．
轿车行驶的路程
0
100
200
300
400
油箱剩余油量
50
42
34
26
18
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