江苏省南通市如东县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（总分150分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．）
1. 正方形具有而矩形没有的性质是（ ）
A. 对角线互相平分B. 对边相等
C. 对角线相等D. 每条对角线平分一组对角
【答案】D
【解析】
【分析】根据正方形对角线相互垂直平分相等的性质和矩形对角线平分相等性质的比较就可以判断．
【详解】解：根据题意得：正方形对角线相互垂直平分相等，并且平分一组对角，矩形对角线平分相等性质，
∴正方形具有而矩形没有性质是每条对角线平分一组对角．
故选：D
【点睛】本题主要考查了正方形和矩形的性质，熟练掌握正方形和矩形的性质是解题的关键．
2. 已知点、都在直线上，则（ ）
A. B. C. D. 不能比较
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一次函数的性质，对于一次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；熟练掌握一次函数的性质是解题关键．根据一次函数的性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴一次函数y随x的增大而减小，
∵点、都在直线上，，
∴，
故选A．
3. 某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：
该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ）
A. 平均数B. 方差C. 众数D. 中位数
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义，销量大的尺码就是这组数据的众数，而店主进货肯定是要进销量最好的尺码，据此可得答案．
【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
故选：C．
4. 已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A. ∠A=∠BB. ∠A=∠CC. AC=BDD. AB⊥BC
【答案】B
【解析】
【分析】由矩形的判定方法依次判断即可得出结果．
【详解】解：A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，不符合题意；
B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，符合题意；
C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故不符合题意；
D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，不符合题意，
故选B．
【点睛】本题考查了矩形的判定，熟练掌握“有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形、有三个角是直角的四边形是矩形”是解题的关键．
5. 如图，菱形中，对角线交于点O，E为边中点，菱形的周长为40，则的长等于（ ）
A. B. 4C. 10D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．
根据菱形的四条边都相等求出，再根据菱形的对角线互相平分可得，然后判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．
【详解】解：∵菱形的周长为40，
∴，
∵为边中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：A．
6. 如图，已知一次函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．数形结合是解决本题的关键．
一次函数的图象经过点，根据函数的图象即可写出不等式的解集．
【详解】解：一次函数的图象经过点，
当时，，
所以，关于的不等式的解集为，
故选：D．
7. 已知一次函数y＝kx－1，若y随x的增大而增大，则它的图象经过（ ）
A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】先根据一次函数的性质得到k＞0，然后根据一次函数与系数的关系判断图象经过第一、三、四象限．
故选C．
考点：一次函数与系数的关系
8. 如图函数y=2x和y=ax+4的图象相交于A(m，3)，则不等式2xA. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把点A的坐标代入y=2x，即可求得m的值，由图象可得解集．
【详解】解：将A（m，3）代入中，
解得，
由图象可知在A点左边的区域满足要求不等式，
即．
故选A．
【点睛】本题考查一次函数与不等式，掌握它们的关系并会正确识图是解题的关键．
9. 在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义；如果当时，；当时，，那么称点为点的“关联点”．例如：点的“关联点”为．期果点是一次函数图象上点的“关联点”，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分n+1⩾0或n+1<0<0两种情况，根据“关联点”的定义找出点M的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出n+1的值，比照后即可得出结论．
【详解】解：当n+1⩾0时，点M为(n+1,2)，
∴n+1+3=2，
∴n+1=−1，与n+1>0矛盾，故舍去；
当n+1<0时，点M为(n+1,−2)，
∴n+1+3=−2，
∴n+1=−5，满足条件，
∴n=−6，
故选D．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，分n+1⩾0或n+1<0两种情况寻找点M的坐标是解题的关键．
10. 如图，正方形中，对角线交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后折痕分别交于点，连接，给出下列结论，其中正确的个数有（ ）．
①； ②
③四边形是菱形； ④．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】①由四边形是正方形，可得，又由折叠的性质，可求得的度数，从而求得；②证得，由即可得；③由折叠的性质与平行线的性质，易得是等腰三角形，由、即可得证；④设，先求得，从而知．
【详解】解：四边形是正方形，
，
由折叠的性质可得：，
，故①错误．
由折叠的性质可得：，，
在和中，
，
，
，
在中，，
，故②错误；
，
，
又、，
，
四边形是菱形，故③正确；
设，
四边形是菱形，且，
，
，
又，
，
，
，，
，即，
，故④正确；
故选：B．
【点睛】此题考查的是正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12小题每小题3分，第14～18小题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11. 函数中，自变量x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【详解】解：使分式有意义的条件是分母不为0，由此可得2x﹣3≠0，
解得．
故答案为：．
【点睛】考点：分式有意义的条件.
12. 已知点在一次函数的图象上，则代数式的值等于_________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，把点P的坐标代入一次函数解析式，得出 代入即可．
【详解】解：∵点在一次函数的图象上，
∴，
∴，
∴
故答案为1.
13. 已知M，N分别为的边的中点，若，则的长为______．
【答案】12
【解析】
【分析】此题考查三角形中位线定理，关键是根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半解答．
根据三角形的中位线定理得出解答即可．
【详解】解：∵分别为的边的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：12．
14. 已知方程组的解为，则一次函数y＝﹣x+1和y＝2x﹣2的图象的交点坐标为_____．
【答案】（1，0）
【解析】
【详解】试题分析：二元一次方程组是两个一次函数变形得到的，所以二元一次方程组的解，就是函数图象的交点坐标
试题解析：∵方程组的解为 ，
∴一次函数y=-x+1和y=2x-2的图象的交点坐标为（1，0）．
考点：一次函数与二元一次方程（组）．
15. 将直线沿轴向上平移个单位后，所得直线的解析式是______．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据“上加下减”平移规律求解即可．
【详解】解：将直线沿轴向上平移个单位后，所得直线的解析式是，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一次函数的图像的平移，函数图像平移的规律“上加下减，左加右减”是解答本题的关键．
16. 某公司决定招聘经理一名，一位应聘者三项素质测试的成绩如下表：
将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是_______分．
【答案】83
【解析】
【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的计算公式．
利用加权平均数的计算公式列式计算可得．
【详解】解：该应聘者的总成绩是(分)，
故答案为：83．
17. 如图，四边形中，，，，，，则_______．

【答案】3
【解析】
【分析】此题考查了含直角三角形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．分别过点A、D作、，设，利用含直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：分别过点A、D作、，如下图：

由题意可得：，，
∴，四边形为矩形，
∴，，
设，则，，
∴，
则，，
∵，
∴，解得，
∴．
故答案为： 3．
18. 无论a取什么实数，点P(a－1，2a－3)都在直线l上，Q(m，n)是直线l上的点，则(2m－n＋3)2的值等于 ．
【答案】16．
【解析】
【分析】先求出P的坐标，再利用待定系数法求直线的解析式，再根据直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值．
【详解】∵由于a不论为何值此点均在直线l上，
∴令a=0，则P1（－1，－3）；再令a=1，则P2（0，－1）．
设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴ ，解得 ．
∴直线l的解析式为：y=2x－1．
∵Q（m，n）是直线l上的点，∴2m－1=n，即2m－n=1．
∴(2m－n＋3)2=（1+3）2=16．
故答案为：16
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 已知与成正比例，且当时，．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）设点在（1）中函数的图象上，求a的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查是成正比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，掌握求解的方法是解本题的关键；
（1）根据题意设设，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）把点代入（1）中的函数解析式即可得到答案．
【小问1详解】
解：设，
当时，
，
解得：，
与x的函数关系式为，
即；
【小问2详解】
把代入得，
∴．
20. 已知一次函数的图象经过点，且与轴交于点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查待定系数法求解析式以及一次函数的图象性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
（1）运用待定系数法求出函数的解析式即可；
（2）求解函数与坐标轴的交点坐标，再利用面积公式求解即可．
【小问1详解】
解：一次函数的图象经过点，，
得
解得
∴一次函数的解析式为；
【小问2详解】
当时，，
当时，，
∴，
∴直线与 x轴交于，与y轴交于，
∴．
21. 某校初二开展英语拼写大赛，爱国班和求知班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩如图所示：
（1）根据图示填写下表：
（2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩比较好？
（3）已知爱国班复赛成绩的方差是70，请求出求知班复赛成绩的方差，并说明哪个班成绩比较稳定？
【答案】（1）见解析 （2）爱国班成绩好些．因为两班平均数相等，爱国班的中位数高，所以爱国班成绩好些．（回答合理即可）
（3）160；爱国班成绩较为稳定
【解析】
【分析】本题考查了中位数、众数以及平均数的求法，同时也考查了方差公式，解题的关键是牢记定义并能熟练运用公式．
（1）观察图分别写出爱国和求知5名选手的复赛成绩，然后根据中位数的定义和平均数的求法以及众数的定义求解即可；
（2）在平均数相同的情况下，中位数高的成绩较好；
（3）根据方差公式计算即可：（可简单记忆为“等于差方平均数”）．
【小问1详解】
由条形统计图可知爱国班5名选手的复赛成绩为：75、80、85、85、100，
求知班5名选手的复赛成绩为：70、100、100、75、80，
爱国班的众数为85，
爱国班的平均数为，
求知班的中位数是80；
【小问2详解】爱国班成绩好些．
因为两班平均数相等，爱国班的中位数高，所以爱国班成绩好些．（回答合理即可）
【小问3详解】
∵，
∴爱国班成绩较为稳定．
22. 如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F，连接AC、BE．
（1）求证：四边形ABEC是平行四边形；
（2）若∠AFC=2∠ADC，求证：四边形ABEC是矩形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，AB=CD，然后根据CE=DC，得到AB=EC，，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判断即可；
（2）由（1）得的结论得四边形ABEC是平行四边形，再通过角的关系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，可得结论．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AB=CD，
∵CE=DC，
∴AB=EC，，
∴四边形ABEC是平行四边形；
（2）∵由（1）知，四边形ABEC是平行四边形，
∴FA=FE，FB=FC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D．
又∵∠AFC=2∠ADC，
∴∠AFC=2∠ABC．
∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC=∠BAF，
∴FA=FB，
∴FA=FE=FB=FC，
∴AE=BC，
∴四边形ABEC矩形．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质及矩形的判定，关键是先由平行四边形的性质证三角形全等，然后推出平行四边形，再通过角的关系证矩形．
23. 如图，已知自行车与摩托车从甲地开往乙地，OA与BC分别表示它们与甲地距离s（千米）与时间t（小时）的关系，则：
（1）摩托车每小时走 千米，自行车每小时走 千米；
（2）自行车出发后多少小时，它们相遇？
（3）摩托车出发后多少小时，他们相距10千米？
【答案】（1）40，10；（2）4小时；（3）摩托车出发后或或4小时，他们相距10千米
【解析】
【分析】（1）根据图像可得BC为摩托车的图像可得时间和路程，就可以得到摩托车的速度；OA为自行车图像，由图像可得时间和路程，就可以得到自行车的速度；
（2）由图像可知自行车先出发3小时，由相遇时两车路程相等可列方程．
（3）由相遇前自行车在摩托车前，可用自行车路程－摩托车路程=10；相遇后摩托车在自行车前，可用摩托车路程－自行车路程=10；最后摩托车达到终点不再行驶，则自行车距离终点10千米也为题中所求．
【详解】（1）摩托车每小时走：80÷（5﹣3）＝40（千米），
自行车每小时走：80÷8＝10（千米）．
故答案为40，10；
（2）设自行车出发后x小时，它们相遇，
10x＝40（x﹣3）
解得x＝4．
（3）设摩托车出发后t小时，他们相距10千米；
①相遇前：10（t+3）﹣40t＝10，
解得t＝；
②相遇后：40t﹣10（t+3）＝10，
解得：t＝，
③摩托车到达终点10（t+3）＝70，解得t＝4
答：摩托车出发后或或4小时，他们相距10千米．
【点睛】本题考查一次函数与路程实际问题相结合，一定要先分析两个函数图像分别表示的是哪辆车，再进行计算．
24. 小明购买A，B两种商品，每次购买同一种商品的单价相同，具体信息如下表：
根据以上信息解答下列问题：
（1）求A，B两种商品的单价；
（2）若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】（1）A种商品的单价为20元，B种商品的单价为15元；(2) 当a=8时所花钱数最少，即购买A商品8件，B商品4件．
【解析】
【分析】（1）列二元一次方程组，用代入法或加减法解方程组即可；
（2）将题目转化为一元一次不等式，求解即可．
【详解】解：（1）设种商品的单价为元，种商品的单价为元，根据题意可得：
，
解得：，
答：种商品的单价为20元，种商品的单价为15元；
（2）设第三次购买商品种件，则购买种商品件，根据题意可得：
，
得：，
当时所花钱数最少，即购买商品8件，商品4件．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法以及不等式的相关知识，解题的关键是掌握消元思想与解二元一次方程组的方法步骤．
25. 如图，已知直线l1：y＝2x+4与y轴交于A点，与x轴交于点B，经过A点的直线l2与直线l1所夹的锐角为45°．
（1）过点B作CB⊥AB，交l2于C，求点C的坐标．
（2）求l2的函数解析式．
（3）在直线l1上存在点M，直线l2上存在点N，使得点A、O、M、N四点组成的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标．
【答案】（1）C(-6，2)；（2）；（3） 或
【解析】
【分析】(1)过作CD⊥x轴于点D，易证△BDC≌△AOB，由此可得BD=OA，CD=OB，由直线：，可得A（0，4），B（-2，0），可得BD=OA=4，CD=OB=2，有OD=4+2=6 ，即可求得点C坐标；
(2)利用待定系数法进行求解即可；
（3）分OA为平行四边形的边和OA为平行四边形的对角线，画出图形，结合平行四边形的性质进行求解即可.
【详解】(1)过作CD⊥x轴于点D，
∵CB⊥AB，
∴∠ABC=90°，∴∠CBD+∠ABO=90°，
又∵∠BAC=45°，
∴∠ACB=90°-∠BAC=45°=∠BAC，
∴BC=BA，
∵∠AOB=90°，∴∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CBD=∠BAO，
又∵∠BDC=∠AOB=90°，
∴△BDC≌△AOB，
∴BD=OA，CD=OB，
∵直线：，
∴A（0，4），B（-2，0），
∴BD=OA=4，CD=OB=2，
∴OD=4+2=6 ，
∴C(-6，2)；
(2)设的解析式为
∵A（0，4），C(-6，2)，
∴，
∴
∴；
（3）如图，OA为平行四边形的边时，
当四边形AOM1N1为平行四边形时，有M1N1=AO=4，
即（）-（）=4，解得：x=，
当x=时，=，
所以N1（）；
当四边形AOM2N2为平行四边形时，有M2N2=AO=4，
即（）-（）=4，解得：x=，
当x=时，=，
所以N2（）；
OA为平行四边形的对角线时，由上可知AM1ON2为平行四边形，此时N2（）；
综上可知N点坐标为 或，
故答案为 或.
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相关知识并灵活运用分类讨论思想是解题的关键.
26. （1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形；
（2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点E，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形的周长；
（3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边，于点E，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长．
【答案】（1）见详解；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）通过证明，得到，可证四边形为平行四边形，再由，可证平行四边形为菱形；
（2）过点作于，先判断四边形是矩形，再求矩形的边长，进而求出周长；
（3）过点作，交的延长线于，过点作于，先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形，在中，求出， 中，求出即可．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
垂直平分，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形；
（2）解：过点作于，
由折叠可知：，，
在中，，即，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
四边形的周长；
（3）解：过点作，交的延长线于，过点作于，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
，
由折叠的性质可知：，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
在 中，．
【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握菱形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，图形折叠的性质是解题的关键．
尺码
39
40
41
42
43
平均每天销售数量/件
6
15
22
12
9
测试项目
创新能力
综合知识
语言表达
测试成绩（分数）
80
80
90
班级
中位数（分）
众数（分）
平均数（分）
爱国班
85
求知班
100
85
班级
中位数（分）
众数（分）
平均数（分）
爱国班
85
85
85
求知班
80
100
85
次数
购买数量（件
购买总费用（元
A
B
第一次
2
1
55
第二次
1
3
65