江西省上饶市第四中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1. 国庆假期，小磊和小强去电影院观看了首部聚焦“外交官撤侨”的电影《万里归途》，若电影票上小磊的座号“5排6座”记作，则小强的座号“6排7座”
可记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知，把“排”的数据看成横坐标，把“座”的数据看成纵坐标，即可得出答案．
【详解】解：“5排6座”记作
“6排7座”可记作
故选：B
【点睛】本题主要考查了直角坐标系中位置的表示，结合题意表示出新的位置是解题的关键.
2. 下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】二元一次方程组是由两个未知数且未知数最高次数为一次的两个方程组成；根据二元一次方程组的定义逐项判断即得答案．
【详解】解：由题意可知：
A. ，不是整式方程，故A不正确
B. ，含有三个未知数，故B不正确；
C. ，是二元一次方程组，故C正确；
D. ，未知数的次数是2次，故D不正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，属于基础概念题型，熟知二元一次方程组的概念是关键．
3. 下列四个图形中，，能够判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键．根据平行线的判定方法逐项分析即可．
【详解】解：A．由不等判定，故不符合题意；
B．∵，，∴，∴，故符合题意；
C．由不等判定，故不符合题意；
D．由能判定，，不等判定，故不符合题意；
故选B．
4. 下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】利用平方根、立方根知识进行求解、辨别．
【详解】解：∵3，，0.6，±±5，2，3，
∴①，③，⑤表述不正确，②，④，⑥表述正确，
故选：B．
【点睛】此题考查了平方根和立方根，关键是能准确掌握立方根和平方根的求法．
5. 已知AB//x轴，且点A的坐标为，点B的坐标为，则线段AB的长为（ ）
A. 5B. 6C. 8D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件可得两个点的纵坐标相等，即可求出a，即可得到AB的长；
【详解】∵点A的坐标为，点B的坐标为，AB//x轴，
∴，
解得：，
∴；
故选:B．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解答本题的关键是理解题意，准确计算．
6. 如图，把一个长方形纸条沿折叠，已知，，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．
先根据直角三角形的性质求出的度数，再由平行线的性质求出的度数，根据图形翻折变换的性质即可得出结论．
【详解】解：∵四边形是长方形，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
二、填空题（共6 题，每题3分）
7. 如果是关于和的二元一次方程的解，那么的值是______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．
把代入方程得出6，再求出即可．
【详解】解：把代入方程得：，
解得：，
故答案为：2．
8. 的立方根是___________．
【答案】2
【解析】
【分析】的值为8，根据立方根的定义即可求解．
【详解】解：，8的立方根是2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查算术平方根和立方根的定义，明确算术平方根和立方根的定义是解题的关键．
9. 已知、是二元一次方程组的解，那么的值是______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组，掌握整体的思想和等式的性质是解决本题的关键．本题亦可先解方程组，再计算的值．
将二元一次方程组中两方程相加，再利用等式的性质得结论．
【详解】解：，
，得．
∴．
故答案为：2．
10. 已知点，则点在第__________象限．
【答案】三
【解析】
【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，每个象限内的点的坐标特点如下：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，根据，得到，再根据每个象限内点的坐标符号特点即可得到答案．
【详解】解：，
，
在第三象限，
故答案为：三．
11. 如图，将向右平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长是_______．
【答案】20
【解析】
【分析】本题考查了图形的平移，根据平移性质可得，，然后判断出四边形的周长的周长，即可得出结果．
【详解】解：向右平移得到，
，，
四边形的周长，
即四边形的周长的周长，
故答案为：20．
12. 如果∠1和∠2有公共顶点，且∠1的两边分别垂直于∠2的两边，若∠1=35°时，则∠2=_______．
【答案】35°或145°
【解析】
【分析】分∠1在∠2内部和外部两种情况，画出图形，根据角的和差关系即可得答案．
【详解】如图，当∠1在∠2外部时，
∵∠1的两边分别垂直于∠2的两边，
∴∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠1+∠BOC=∠2+∠BOC，
∴∠2=∠1=35°．
如图，当∠1在∠2内部时，
∵∠1的两边分别垂直于∠2的两边，
∴∠AOD=∠BOC=90°，
∴∠AOC=∠BOD=90°-∠1=90°-35°=55°，
∴∠2=∠AOC+∠1+∠BOD=55°+35°+55°=145°．
故答案为：35°或145°
【点睛】本题考查角的运算，分情况正确画出图形是解题关键．
三．解答题（共5 题，每题6分）
13. 计算．
（1）；
（2）．
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】（1）先算乘方，化简绝对值，再算加减法；
（2）先算开方，再算加减法．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14. 关于的方程和的解相同，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解、解二元一次方程组、求代数式的值，根据题意，联立二元一次方程组，并求得的值是解题的关键．
将两个二元一次方程联立成方程组，解这个方程组求得的值，再将的值代入代数式，计算即可得出结论．
【详解】解：∵关于方程和的解相同，
∴可得：，
解得：，
∴，
∴的值为．
15. 已知实数a的算术平方根是，1的立方根是b，解关于x的方程．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了平方根与立方根，熟记定义你是解得本题的关键．
根据算术平方根的定义以及立方根的定义求出与的值，代入所求式子即可求解．
【详解】解：∵实数的算术平方根是，
，
1的立方根是b，
，
解关于的方程为，
解得：或．
16. 如图，直线，，相交于点，，与互为余角，平分，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是角互余的含义，角平分线的定义，角的和差运算，熟练的利用角的和差关系进行计算是解本题的关键．由与互为余角，，可求出，进而求出，结合平分，可求出，根据对顶角相等得到，再利用角的和差关系可得答案．
【详解】解：与互为余角，
，
，
，
，
平分，
，
．
17. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动：
第一次：原点，；
第二次：，；
第三次：，；
第四次：，；
第五次：，；
…
归纳上述规律，完成下列任务．
（1）直接写出下列坐标： ， ， ；
（2）第2023次运动后，的坐标为________；
（3）点距轴的距离为 ，点距轴的距离为 ．
【答案】（1）；；
（2）
（3）；
【解析】
【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据点的运动方式发现其坐标的变化规律是解题的关键．
（1）根据动点的运动方式，即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
（3）求出点坐标即可解决问题．
【小问1详解】
由题知，
因为，，，，，
所以点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，(为正整数）．
令，
解得，
所以．
即点的坐标为．
同理可得，
点的坐标为，点的坐标为．
故答案为：，，．
【小问2详解】
根据（1）的发现可知，
令，
解得，
所以点的坐标为．
故答案为：．
【小问3详解】
根据（1）的发现可知，
令，
解得，
所以点的坐标为．
则点到轴的距离是4，到轴的距离是199．
故答案为：4，199．
四．解答题（共3题，每题8分）
18. 一个长方形信封，长宽比为，面积为150平方厘米，则此信封长、宽各多少？有一张面积为196平方厘米的正方形贺卡，能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？为什么？
【答案】贺卡不折叠不能放入此信封，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，找出信封的宽及贺卡的边长是解题的关键．
设长方形信封得长为厘米，则宽为厘米，根据长方形信封面积为150平方厘米，即可得出关于的方程，根据二次根式即可得出的值，进而可得出长方形信封的宽，由正方形贺卡的面积可求出贺卡的边长，将长方形信封的宽与正方形贺卡的边长比较后即可得出结论．
【详解】解：贺卡不折叠不能放入此信封，
理由：设长方形信封得长为厘米，则宽为厘米，
依题意得：，
即，
∵，
∴
，
正方形贺卡的边长为(厘米)．
，
∴不能将这张贺卡不折叠的放入此信封．
19. 如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．

（1）实数m的值是_______；
（2）求的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的值．
【答案】（1）
（2）值为2
（3）
【解析】
【分析】本题考查数轴，非负数及二次根式的运算，解题关键是熟练掌握绝对值与平方根的意义．
（1）通过在数轴上表示的数进行运算．
（2）化简绝对值进行运算．
（3）根据非负数的意义进行解答．
【小问1详解】
解：∵点在点右侧2个单位处，
∴点所表示的数为：，即，
故答案为：；
【小问2详解】
∵，
则，
∴；
答：的值为2．
【小问3详解】
∵与互为相反数，
∴，
∴，且，
解得：，
∴．
∴．
20. 已知点，解答下列各题：
（1）若点P在x轴上，则点P的坐标为P____________；
（2）若，且轴，则点P的坐标为P____________；
（3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意列出方程即可解决问题；
（2）根据题意列出方程即可解决问题；
（3）根据题意列出方程得出a的值代入即可得到结论．
【小问1详解】
由题意可得：，
解得：，
∴ ，
所以点P的坐标为，
故答案为：；
【小问2详解】
根据题意可得：，
解得：，
∴，
所以点P的坐标为，
故答案为：；
【小问3详解】
根据题意可得：，
解得：，
∴，，
把代入．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化，一元一次方程等知识，解题的关键是熟记各象限内与坐标轴上点的坐标的特点．
五．解答题（共2题，每题9分）
21. 如图，D，E，G分别是边上的点，．
（1）求证：；
（2）请说明的理由；
（3）若平分，判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）．理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知条件和对顶角相等可证明；
（2）根据平行线性质得角相等，再等量代换可得，进而可得，再根据平行线的性质得角相等；
（3）根据已知条件可得，可以证明，再由，即可得．
【小问1详解】
解：∵，
，
；
【小问2详解】
，
，
又，
，
，
．
【小问3详解】
．
理由如下：平分，
，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
．
22. 已知：点在线段，间（如图1）．连接，，．
（1）求证：；
（2）如图2，点在点右侧，连接、，求证：；
（3）如图2，若平分，平分，，求的大小．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的性质并正确作出辅助线．
（1）过点作，可得，再由，可得，即可求证；
（2）过点作，可得，从而得到，，即可求证；
（3）过点作，设，，根据角平分线的定义可得，，由得到，推出，根据可得，根据四边形的内角和求出的值，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，过点作，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
如图，过点作，
，
，
，，
，
即；
【小问3详解】
如图，过点作，
设，，
平分，平分，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
解得：，
．
六．解答题（共1题，12分）
23. 在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．根据所给定义解决下列问题：
（1）若点，，，则这三点“水平底”a的值为________；
（2）若点，，，求这三点的“矩面积”；
（3）若点，，三点的“矩面积”为9，求点F的坐标．
【答案】（1）4 （2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据题目中的新定义求得这三点“水平底”a的值即可；
（1）根据题目中的新定义可以求得相应的“矩面积”；
（2）根据题意可以求得a的值，然后再对t进行讨论，从而可以得到F的坐标；
【小问1详解】
∵“水平底”a为任意两点横坐标差的最大值，
∴
∴
故答案为：4；
【小问2详解】
依题意有：“水平底”，
“铅锤高”，
“矩面积”
【小问3详解】
依题意有：“水平底”
①当时，，
，
点
②当时，，
此时，这种情况不符合题意；
③当时，，
，

点
综合以上点 ．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义解答问题．