安徽省马鞍山市2024届高三下学期教学质量监测数学试题（原卷版+解析版）

这是一份安徽省马鞍山市2024届高三下学期教学质量监测数学试题（原卷版+解析版），文件包含安徽省马鞍山市2024届高三下学期教学质量监测数学试题原卷版docx、安徽省马鞍山市2024届高三下学期教学质量监测数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 已知集合，则（ ）
A. B. C. D. ［1，4]
【答案】C
【解析】
【分析】本题先解不等式求出集合A、B，再结合补集和交集的定义即可求解.
【详解】因为集合或，
，
所以，
故
故选：C.
2. 已知平面向量，不共线，，，且，则（ ）
A. B. 0C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】依题意可得，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可.
【详解】因为，且，
所以，即，
又，不共线，
所以，解得.
故选：A
3. 已知数列是公差为2的等差数列，若成等比数列，则（ ）
A. 9B. 12C. 18D. 27
【答案】D
【解析】
【分析】利用等比中项列式，借助等差数列通项公式求解即得.
【详解】由成等比数列，得，
所以，解得，
所以.
故选：D
4. 已知角，则数据的中位数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合诱导公式对已知式子进行化简，然后结合三角函数的性质判断各式的大小，结合中位数的概念即可判断．
【详解】因为角，
所以，，，
，，
所以，，
按照从小到大的顺序排列时，前个数为，，，
则中位数为（或）．
其中当时的证明过程如下：
构造单位圆，如图所示：

则，设，则，
过点作直线垂直于轴，交所在直线于点，
由，得，所以，
由图可知，
即，
即.
故选：A．
5. 已知函数的大致图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用排除法，取特值，求即可判断结果.
【详解】对于选项A：因为，与图象不符，故A错误；
对于选项B：因为，与图象不符，故B错误；
对于选项C：因为，与图象不符，故C错误；
故选：D.
6. 甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分类讨论人数的配比情况，分别求总共不同的安排方法和甲、乙两人恰选择同一岗位时不同的安排方法，结合古典概型运算求解.
【详解】若人数配比为时，则有种不同安排方法；
若人数配比时，则有种不同安排方法；
所以共有种不同安排方法.
若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为时，则有种不同安排方法；
若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为时，则有种不同安排方法；
所以共有种不同安排方法.
所以甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为.
故选：C.
7. 已知函数的一个零点是，且在上单调，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】整理可得，以为整体，根据单调性分析可得，再结合零点分析求解.
【详解】因为，
，且时，
可得，且，
若在上单调，则，解得，
又因为的一个零点是，则，解得，
所以.
故选：B.
8. 已知点，，，，，都在同一个球面上，为正方形，若直线经过球心，且平面．则异面直线，所成的角最小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设球的半径为，记中心为，依题意可得过点且的中点为球心，设球心为，建立空间直角坐标，设，，利用空间向量法表示出，求出的最大值，即可得到.
【详解】设球的半径为，记中心为，
因为为正方形，直线经过球心，且平面，
所以过点且的中点为球心，设球心为，
以为原点，、、分别为，，轴正半轴，建立空间直角坐标系，
设，，
则，，，，
所以，，
所以，
所以，，
又，即，
所以
，当且仅当时等号成立，
设直线，所成的角为，则，
又，所以.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题解答是建立空间直角坐标，利用空间向量法求出的最大值.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知四棱锥，平面ABCD，则（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】对于AD：根据线面垂直分析可知：等价于，结合选项分析判断；对于BC：根据三角形全等可得等价于，进而结合选项分析判断.
【详解】因为平面ABCD，平面ABCD，则，
对于选项AD： 若，且，平面PAC，
可得平面PAC，且平面PAC，所以，
同理：若，可得，
即等价于，
由不能推出，即不能推出，
故A正确；故D错误；
对于选项BC：若，可知，所以，
反之，，可知，所以，
即等价于，
由不能推出，即不能推出，
故B错误，故C正确；
故选：BC.
10. 已知点P，A，B在抛物线y2=2px（p>0）上，线段AB，PA，PB的中点分别为D，M，N，线段M，N的中点为E，若直线PA，PB的斜率之和为0，则（ ）
A. 点M，N不在x轴上B. 点E在x轴上
C. 点D与点P的横坐标相等D. 点D与点P的纵坐标互为相反数
【答案】ABD
【解析】
【分析】令且，则，且，结合坐标的中点公式判断名项正误.
【详解】解：如图所示：
令且，
则，
又，则，
而，
所以，
则，
故，而，则B选项正确；
若点M或N在x轴上，则，即，
故与题设矛盾，
所以点M或N不在x轴上，A选项正确；
由上，
则点D与点P的纵坐标互为相反数，D选项正确；
显然D不可能在抛物线上，点D与点P的横坐标不相等，C选项错误.
故选：ABD.
11. 已知函数是定义在上的可导函数，其导函数分别为，其中的图象关于点对称，的图象关于直线对称，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数与的对称性得到周期性，利用导数法则求导判断A，利用的周期性判断C，利用的周期性求和判断D，利用的周期性判断D.
【详解】由的图象关于点对称，则，
即，所以，又的图象关于直线对称，
则，又，所以，
所以，两边同时求导得，即，故A正确；
由，可得，即，
所以，所以函数的周期为，
又，，，结合，
得，又函数的周期为，所以，，
所以，则，故D正确；
再，所以，
结合得，即，所以函数的周期为，
所以，
又，所以，故C正确；
由A选项知：，所以，即，
再，所以，所以，，即，又，所以，
所以，故B错误.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题主要是研究抽象函数的性质，以及导数运算问题，本题的关键是以条件等式为桥梁，发现函数与的性质关系，以及解析式的关系.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数满足，若在复平面内对应的点不在第一象限，则______．
【答案】
【解析】
【分析】设，结合复数的运算以及共轭复数求，并结合复数的几何意义取舍.
【详解】设，则，
因为，则，
解得或，
又因为在复平面内对应的点不在第一象限，可知，可知，
所以.
故答案为：.
13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，若，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据双曲线的定义表示出，，即可得到，再由余弦定理计算可得.
【详解】依题意过点的直线与的右支交于，两点，
且，，，
则，，，
所以，
可得，
解得或（舍去）．
故答案为：．
14. 已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】参变分离可得对任意恒成立，换元令，整理得，结合对勾函数性质分析求解.
【详解】因为，且，
可得对任意恒成立，
令，则，
若，则，可得，
若，则，可得
，
由对勾函数可知或，
则或，可得，
则；
综上所述：，
即的最大值为，则，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题
（1）分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
（2）函数思想法
第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，直线在轴上的截距为，且与曲线相切于点．
（1）求实数的值；
（2）求函数的单调区间与极值．
【答案】（1）
（2）单调递增区间为，，单调递减区间为，，
【解析】
【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义得到切线方程，由切线过点代入计算可得；
（2）由（1）可得的解析式，利用导数求出函数的单调性，即可求出极值.
【小问1详解】
因为，则，
所以，，
故直线，
又直线在轴上的截距为，所以，解得．
【小问2详解】
由（1）得，的定义域为，
又，
由，解得或；由，解得，
所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为，
所以在处取得极大值，即，
在处取得极小值，即．
16. 如图，在四面体中，，，两两垂直，，是线段的中点，是线段的中点，点在线段上，且．
（1）求证：平面；
（2）若点在平面内，且平面，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1），交于点，作，交于点，证明四边形为平行四边形，然后证明平面．
（2）以为原点，分别以，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系，根据平面，可设，，，即可表示出点坐标，再由平面，由求出、，从而确定点坐标，再由空间向量法求出直线与平面所成角的正弦值．
【小问1详解】
作，交于点，作，交于点，
因为是线段的中点，是线段的中点，，
所以且，
，，所以且，
且，所以四边形为平行四边形，
，又平面，平面，平面．
【小问2详解】
以为原点，分别以，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，，，
设，则，，，
平面，可设，，，
即，
则，即，则，
平面，又，，
，即，解得，所以点坐标为，
，
设平面的法向量为，
则，令，则，得，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为．
17. 如果X，Y是两个离散型随机变量，的所有可能取值为：，则称为在事件下的条件期望.已知甲每次投篮的命中率均为，其中，设随机变量是甲第一次命中时的投篮次数，随机变量是甲第二次命中时的投篮次数.
（1）若，求；
（2）已知，求.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式求解即可；
（2）先求出的所有可能取值，然后利用条件概率求得分布列，进而利用期望公式求解即可.
【小问1详解】
时，前三次投篮都不中，且第四次投篮命中，
所以；
时，前三次投篮命中一次，且第四次投篮命中，
所以；
【小问2详解】
在的条件下的所有可能取值为，
时，第次和第次命中，其余次均未命中，
所以，
时，第次命中，前次只有一次命中，
所以，
所以，，
故有.
18. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，过点的直线与椭圆交于A，B两点，直线PA，PB与直线分别交于点M，N
（1）求椭圆C的方程；
（2）若T为椭圆的上焦点，求面积取得最大值时直线的方程；
（3）若的外接圆经过原点，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合离心率可得，进而可得，即可求椭圆方程；
（2）设直线，联立方程可得韦达定理，结合面积关系运算求解；
（3）设直线，直线，可得的坐标，联立方程结合韦达定理可得，再根据圆的性质列式求解.
【小问1详解】
由题意可知：，则，
所以椭圆C的方程为.
【小问2详解】
由题意可知：直线的斜率存在，设，
由（1）可知：，则，且直线与椭圆必相交，
联立方程，消去y得，
则，
可得
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以面积取得最大值时直线的方程为.
【小问3详解】
设直线，直线，则，
联立方程，消去y得，
则，
可得，
则
，
又因为
若的外接圆经过原点，则，
可得，
且，则，可得，解得，
检验可知满足，
所以的值为.
【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法
（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解；
（2）面积问题常采用底高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；
（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．
19. 已知S是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，则称S是数环．设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域．由定义知有理数集是数域．
（1）求元素个数最小的数环；
（2）证明：记，证明：是数域；
（3）若是数域，判断是否是数域，请说明理由．
【答案】（1）
（2）证明见详解 （3）不一定数域，证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据题意分析可知中至少有一个元素，分和两种情况，结合题意分析证明；
（2）根据题中数环和数域的定义分析证明；
（3）举特例，取，举例数列即可.
【小问1详解】
因为为数环，可知不是空集，即中至少有一个元素，
若，则，可知为数环；
若，则，可知中不止一个元素，不是元素个数最小的数环；
综上所述：元素个数最小的数环为.
【小问2详解】
设，可知，则有：
，
，
，
因为，则，
可知，所以是数环；
若，可知，满足①；
若，则，
因为，则，
可知，满足②；
综上所述：是数域.
【小问3详解】
不一定是数域，理由如下：
1.若，显然均为数域，且是数域；
2.设，可知，则有：
，
，
，
因为，则，
可知，所以是数环；
若，可知，满足①；
若，则，
因为，则，
可知，满足②；
综上所述：是数域.
例如：，例如，
但，
所以不是数域；
综上所述：不一定数域.
【点睛】方法点睛：与集合的新定义有关的问题的求解策略：
1.通过给出一个新集合的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.