山东省泰安市肥城市2023-2024学年七年级下册期中数学试题（含解析）

这是一份山东省泰安市肥城市2023-2024学年七年级下册期中数学试题（含解析），共27页。试卷主要包含了考试结束只交答题卡，下列命题为假命题的是，对于实数x，y，已知甲乙两人的年收入之比为3等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前请将答题卡密封线内的项目填写清楚，然后将试题答案认真书写（填涂）在答题卡的规定位置，否则作废．
2．本试卷共8页，考试时间120分钟．
3．考试结束只交答题卡．
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填在答题纸相应的位置）
1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
2．在一个不透明的袋子中装有3个红球、1个黄球、1个白球，这些球只是颜色不同．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．从袋子中摸出一个球，球的颜色是红色
B．从袋子中摸出两个球，它们的颜色相同
C．从袋子中摸出三个球，有颜色相同的球
D．从袋子中摸出四个球，有颜色相同的球
3．用加减法解方程组，下列解法错误的是（ ）
A．，消去xB．，消去x
C．，消去yD．，消去y
4．下列命题为假命题的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等，两条直线平行
B．三角形的三个内角中至少有一个内角不大于
C．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．三角形的一个外角等于它的两个内角的和
5．把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，是折痕，若，则下列结论正确的有是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．如图，函数y＝ax＋b和y＝kx的图像交于点P，关于x，y的方程组的解是（ ）

A．B．
C．D．
7．对于实数x，y：规定一种运算：（a，b是常数）已知，，则a，b的值为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
8．如图，，则下列说法中一定正确的是

A．B．
C．D．
9．如图，AB∥EF，∠ABP＝∠ABC，∠EFP＝∠EFC，已知∠FCD＝60°，则∠P的度数为（ ）
A．60°B．80°C．90°D．100°
10．已知甲乙两人的年收入之比为3:2，年支出之比为7:4，年终时两人各余400元，若设甲的年收入为x元，年支出为y元，可列出方程组为（ ）
A．B．
C．D．
11．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作。在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的。《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数的系数与相应的常数项。把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中的值为3，则被墨水所覆盖的图形为
A． B．C．D．
12．如图（1）所示为长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图（2）；再沿BF折叠成图（3）；继续沿EF折叠成图（4）按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG，整个过程共折叠了9次，问图（1）中∠DEF的度数是（ ）
A．20°B．19°C．18°D．15°
二、填空题（本大题共6小题，只要求填写结果）
13．“早上的太阳从东方升起”是 事件．（填“确定”或“不确定”）
14．学校朗诵比赛，参加决赛的是3名女生和2名男生，现抽签决定比赛顺序，那么第一个出场为女生的概率是 ．
15．一般地，在平面坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，在同一平面直角坐标系中画出二元一次方程的两个二元一次方程的图象如图所示，则二元一次方程组的解为 ．
16．如图已知：，，平分，，有以下结论：①；②；③；④，其中，正确的结论有 ．（填序号）
17．甲乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为；计算 ．
18．如图，在中，，的平分线，交于点，为的外角的平分线，的延长线交于点，，则的大小为 ．（用含的式子表示）
三、解答题（本大题共7个小题，要写出必要的计算、推理、解答过程）
19．解方程组
（1）
（2）
20．如图，点D、E、F分在AB、BC、AC上，且DE∥AC，EF∥AB，下面写出了证明“∠A+∠B+∠C＝180°”的过程，请补充完整：
证明：∵DE∥AC，EF∥AB
∴∠1＝∠ ，∠3＝∠ ，（ ）
∵AB∥EF（已知）
∴∠2＝∠ （ ）
∵DE∥AC（已知）
∴∠4＝∠ （ ）
∴∠2＝∠A（ ）
∵∠1+∠2+∠3＝180°（平角定义）
∴∠A+∠B+∠C＝180°（等量代换）

21．已知：如图，在中，点在边上，分别交，于点，， 平分，，

(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
22．学习完统计知识后，小明就本班同学的上学方式进行调查统计．下图是他绘制的两幅不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息解答下列问题：

(1)该班共有多少名学生？若全年级共有1200名学生，估计全年级乘车上学的学生有多少名？
(2)将条形统计图补充完整并求出扇形统计图中，表示“骑车”的扇形圆心角的度数；
(3)在全班同学中随机选出一名学生来宣读交通安全法规选出的恰好是骑车上学的学生的概率是多少？
23．如图，点C、D分别在射线OA、OB上，不与点O重合，CE//DF．
(1)如图1，探究、、的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图2，作，与的角平分线交于点P，若，，请用含，的式子表示______．（直接写出结果）
24．某校八年级数学组组织学生进行“数学素养大赛”活动，需购买甲、乙两种奖品，老师发现如果购买甲奖品2个和乙奖品5个，需用去120元；如果购买甲奖品3个和乙奖品4个，需用去124元．
(1)请用列二元一次方程组的方法，求甲、乙两种奖品的单价各是多少元？
(2)由于临时有变，现只需购买甲奖品，刚好、两个商场对甲奖品搞促销活动，其中商场按原价9折销售：商场购买不超过6个时按原价销售，超出6个的部分按原价的6折销售，现学校需要购买个甲商品，设在商场购买个甲奖品需要元，在商场购买个甲奖品需要元，请按要求分别写出与之间的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，根据购买数量，请直接写出去哪个商场购买甲奖品更省钱的方案．
25．已知；直线AB∥CD，直线MN分别与AB、CD交于点E、F．
（1）如图1，∠BEF和∠EFD的平分线交于点G．求∠G的度数；
（2）如图2，EI和EK为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点I和K，猜想∠FIE和∠K的关系，并证明；
（3）如图3，点Q为线段EF（端点除外）上的一个动点，过点Q作EF的垂线交AB于R，交CD于J，∠AEF、∠CJR的平分线相交于P，问∠EPJ的度数是否会发生变化？若不发生变化，求出∠EPJ的度数；若会发生变化，请说明理由．
附加题（供有兴趣的同学选择使用）
26．【概念认识】在四边形中，，如果在四边形内部或边上存在一点P，满足，那么称点P是四边形的“映角点”．
【初步思考】
（1）如图①，在四边形中，，点在边上且是四边形的“映角点”，若，，则的度数为 ；
（2）如图②，在四边形中，，点在四边形内部且是四边形的“映角点”，延长交边于点，求证：∠ADP=∠CEB．
【综合运用】在四边形中，，点是四边形的“映角点”，、分别平分、，当和所在直线相交于点时，请直接写出与满足的关系式．
参考答案与解析
1．B
【分析】很据二元一次方程组的定义：只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且有两个方程组成的方程组，即可作答．
【解答】A．含有三个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B．是二元一次方程组，故本选项符合题意；
C．第二个方程是二次方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
D．第二个方程是分式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题主要考查二元一次方程组的定义，正确理解二元一次方程组的定义是解题的关键．
2．D
【分析】在一定条件下，一定会发生的事件为必然事件，据此解答即可．
【解答】解： 总计5个球，其中有3个红球，故从袋子中摸出四个球，必有2个红球颜色相同．
故选：D
【点拨】本题考查必然事件的定义，能够列举出随机实验的所有可能结果是解题的关键．
3．D
【分析】利用加减消元法逐一分析即可．
【解答】解：∵方程①中x的系数为2，方程②中x的系数为3，而2与3的最小公倍数为6，
∴方程，方程时，x的系数相同，
∴，能够消去x，故A选项不符合题意；
∵方程①中x的系数为2，方程②中x的系数为3，而2与3的最小公倍数为6，
∴方程，方程时，x的系数互为相反数，
∴，能够消去x，故B选项不符合题意；
∵方程①中y的系数为，方程②中y的系数为，而2与3的最小公倍数为6，
∴方程，方程时，y的系数互为相反数，
∴，能够消去y，故C选项不符合题意；
∵方程①中y的系数为，方程②中y的系数为，而2与3的最小公倍数为6，
∴方程，方程时，y的系数互为相反数，
∴，不能消去y，故D选项符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
4．D
【分析】利用平行线的判定、三角形的内角及三角形的外角的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、两条直线被第三条直线所截，内错角相等，两条直线平行是真命题；
B、三角形的三个内角中至少有一个内角不大于，是真命题；
C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，是真命题；
D、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，原选项是假命题；
故选：D．
【点拨】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解平行线的判定、三角形的内角及三角形的外角的性质．
5．C
【分析】利用平行线的性质，折叠的性质依次判断．
【解答】解：∵AC´∥BD´，
∴∠C´EF=∠EFB=32°，故（1）正确；
由翻折得到∠GEF=∠C´EF=32°，
∴∠GE C´=64°，
∴∠AEC=180°-∠GE C´=116°，故（2）错误；
∵A C´∥B D´，
∴∠BGE=∠GE C´=64°，故（3）正确；
∵EC∥FD，
∴∠BFD=∠BGC=180°-∠BGE=116°，故（4）正确，
正确的有3个，
故选：C．
【点拨】此题考查平行线的性质，翻折的性质．熟记性质定理并熟练运用是解题的关键．
6．D
【分析】根据两图象的交点坐标满足方程组，方程组的解就是交点坐标．
【解答】由图可知，交点坐标为(﹣3，﹣2)，
∴方程组的解是．
故选D．
【点拨】本题考查了函数解析式与图象的关系，解决本题的关键是满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
7．A
【分析】将2△3＝12，5△（−3）＝9代入定义计算法则，得到关于a，b的二元一次方程组，再进行计算即可．
【解答】解：由题意得方程组，
，
解得 ，
故选：A．
【点拨】此题考查了新定义问题的解决能力，关键是能根据定义进行实数的运算与解二元一次方程组．
8．B
【分析】此题要作辅助线，过点作，则根据平行线的传递性，得．先利用，可得，即，再利用，可得，而，整理可得：．
【解答】解：过点作，
，
，
，，
又，
，
．
故选：B．
【点拨】注意此类题要作的辅助线：构造平行线．根据平行线的性质即可找到三个角之间的关系．
9．A
【分析】过C作CQ∥AB，利用平行线的判定与性质进行解答即可．
【解答】解：过C作CQ∥AB，
∵AB∥EF，
∴AB∥EF∥CQ，
∴∠ABC＋∠BCQ＝180°，∠EFC＋∠FCQ＝180°，
∴∠ABC＋∠BCF＋∠EFC＝360°，
∵∠FCD＝60°，
∴∠BCF＝120°，
∴∠ABC＋∠EFC＝360°﹣120°＝240°，
∵∠ABP＝∠ABC，∠EFP＝∠EFC，
∴∠ABP＋∠PFE＝60°，
∴∠P＝60°．
故选：A．
【点拨】此题考查平行线的性质，关键是利用平行线的判定与性质进行解答．
10．C
【分析】由甲、乙两人的年收入之比为3：2，年支出之比为7：4，得到乙的收入为，乙的支出为，根据题意找出等量关系，列出方程中选出正确选项即可．
【解答】设甲的年收入为x元，年支出为y元，
∵甲、乙两人的年收入之比为3：2，年支出之比为7：4，
∴乙的收入为，乙的支出为，
根据题意列出方程组得：．
故选：C．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，根据题意找出等量关系是解答本题的关键．
11．C
【分析】根据，结合图1可判断出：（1）前面两列为方程的左边，后两列表示一个数，为方程的右边；（2）“|”表示1，“—”表示10，“”中的横线表示5；因此，设被墨水所覆盖的图形表示的数字为，列出方程组求解即可.
【解答】由题意可知，（1）前面两列为方程的左边，后两列表示一个数，为方程的右边；（2）“|”表示1，“—”表示10，“”中的横线表示5，
设被墨水所覆盖的图形表示的数字为，则有：
将代入可解得：
根据图形所表示的数字规律，可推出代表的图形为“|||”.
故答案为：C.
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解法及实际应用，根据图1和其方程组判断出图形所表示的数字是解题关键，此型题较为新颖，是近年来的常考点.
12．C
【分析】根据最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG；整个过程共折叠了9次，可得CF与GF重合，依据平行线的性质，即可得到∠DEF的度数．
【解答】解：设∠DEF＝α，则∠EFG＝α，
∵折叠9次后CF与GF重合，
∴∠CFE＝9∠EFG＝9α，
如图（2），∵CFDE，
∴∠DEF+∠CFE＝180°，
∴α+9α＝180°，
∴α＝18°，
即∠DEF＝18°．
故选：C．
【点拨】本题考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是找出∠DEF+∠CFE＝180°．解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键．
13．确定
【分析】本题考查了确定事件的定义．熟练掌握：必然事件即在一定条件下一定发生的事件；不可能事件即在一定条件下，一定不发生的事件；统称为确定事件是解题的关键．
根据事件的可能性得到相应事件的类型即可．
【解答】解：“早上的太阳从东方升起”是必然事件，属于确定事件，
故答案为：确定．
14．
【分析】根据简单事件的概率公式计算即可得．
【解答】由题意得，从参加的5名学生中，抽出第一个出场的所有可能结果有5种，它们每一种出现的可能性都相等，其中，抽出第一个出场为女生的结果有3种
则所求的概率为
故答案为：．
【点拨】本题考查了简单事件的概率计算，依据题意，正确列出事件的所有可能的结果是解题关键．
15．
【分析】观察图象可得二元一次方程的解为，从而得到二元一次方程组中有，即可求解．
【解答】解：由图象得：二元一次方程的解为，
∴二元一次方程组中有，
解得：，
故答案为：．
【点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），熟练掌握方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解题的关键．
16．①②③④
【分析】根据平行公理判断①；根据角平分线得到，根据平行线的性质和垂线的定义分别得到，，进一步推出，可判断②；结合，得到，根据两式相减可判断③；根据平行线的性质得到，根据垂直得到，从而进一步推出，可判断④．
【解答】解：，，
，故①正确；
平分，
，
，
，
（1），
，
（2），
（1）（2）得，，故②正确；
，
，
平分，
，
，
（3），
（1），
（3）（1）得，，故③正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故④正确．
故正确的结论有：①②③④．
故答案为：①②③④．
【点拨】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
17．0
【分析】本题考查了二元一次方程组错解问题，将代入方程组的第二个方程，代入方程组的第一个方程，分别求出a与b的值，即可求出所求式子的值．
【解答】解：把代入②，得，
解得；
把代入①，得，
解得；
所以．
故答案为：
18．
【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质，先证明，，再结合三角形的外角的性质可得答案．
【解答】解： ，的平分线，交于点，
，
为的外角的平分线，
，
∵，，
∴；
故答案为：
19．（1）；（2） ．
【分析】（1）利用加减消元法解之即可，
（2）利用加减消元法解之即可．
【解答】（1），
②×4+①得：
11x=22，
解得：x=2，
把x=2代入②得：
4-y=5，
解得：y=-1，
方程组的解为：，
（2）原方程组可整理得：
，
①+②得：6x=18，
解得：x=3，
把x=3代入①得：
9-2y=8，
解得：y=0.5，
方程组的解为： ．
【点拨】此题考查解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
20．C；B；两直线平行，同位角相等；4；两直线平行，内错角相等；A；两直线平行，同位角相等；等量代换．
【分析】先由DE∥AC，AB∥EF，根据平行线的性质得出∠1=∠C，∠3=∠B．由AB∥EF，根据两直线平行，内错角相等得出∠2=∠4，由DE∥AC，得出∠4=∠A．等量代换得出∠2=∠A，进而得到∠A+∠B+∠C=180°．
【解答】解：∵DE∥AC，AB∥EF，
∴∠1＝∠C，∠3＝∠B．（两直线平行，同位角相等）
∵AB∥EF，
∴∠2＝∠4．（两直线平行，内错角相等）
∵DE∥AC，
∴∠4＝∠A．（两直线平行，同位角相等）
∴∠2＝∠A（等量代换）
∵∠1+∠2+∠3＝180°
∴∠A+∠B+∠C＝180°（等量代换）
故答案为C；B；两直线平行，同位角相等；4；两直线平行，内错角相等；A；两直线平行，同位角相等；等量代换．
【点拨】本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．两直线平行，同旁内角互补．两直线平行，内错角相等．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质和判定，是解决本题的关键．平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；平行线的判定：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【解答】（1）证明：∵，
∴．
∵．
∴．
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴．
22．(1)，
(2)图见解析；
(3)
【分析】（1）根据乘车的人数除以占比得出总人数，根据样本估计总体，用，即可求得全年级共有1200名学生，估计全年级乘车上学的学生有多少名；
（2）根据步行的占比乘以总人数，然后补全统计图，根据骑车的占比乘以，即可求得表示“骑车”的扇形圆心角的度数；
（3）根据扇形统计图中骑车上学的学生的占比，根据概率公式求概率即可求解．
【解答】（1）解：该班共有学生人，
全年级共有名学生，估计全年级乘车上学的学生有名；
（2）步行的学生有：，
补全统计图如图所示，

表示“骑车”的扇形圆心角的度数为：
（3）解：∵骑车的占比为
∴在全班同学中随机选出一名学生来宣读交通安全法规选出的恰好是骑车上学的学生的概率是
【点拨】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，根据概率公式求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．(1)∠ACE＋∠AOB＋∠ODF＝360°，见解析
(2)
【分析】（1）过点O作，根据平行线的判定及性质和等量代换即可求解．
（2）根据四边形的内角和为360°及角平分线的定义即可求解．
【解答】（1）解：，证明如下：
过点O作，如图所示：
∵，
∴∠ODF+∠DOC=180°，
又∵，，
∴，
∴∠GOC=∠OCE，
又∵∠ACE+∠OCE=180°，
∴∠ACE+∠GOC=180°，
∴∠ODF+∠DOG+∠ACE+∠GOC=360°，
∴∠ACE＋∠AOB＋∠ODF＝360°．
（2）∵DP是∠ODF的平分线，
∴，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了平行线的判定及性质、直角和周角的定义及角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
24．(1)甲、乙两种奖品的单价分别是20元，16元
(2)，
(3)当购买的奖品少于8个时，选择商场购买甲种商品更省钱；当购买奖品8个时，两个商场消费一样；当购买的商品多于8个时，选择商场购买甲种商品更省钱
【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意；
（1）根据“购买甲奖品2个和乙奖品5个，需用去120元；如果购买甲奖品3个和乙奖品4个，需用去124元”，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以分别写出；
（3）根据（2）中的结果，利用分类讨论的方法，可以得到选择哪个商场更省钱．
【解答】（1）设甲、乙两种奖品的单价分别是a元、b元，由题意得：
，
解得：，
答：甲、乙两种奖品的单价分别是20元，16元；
（2）由题意可得，
在商场购买个甲奖品需要；
由于，则在商场购买个甲奖品需要；
（3）令，
解得，
当时，得，
当时，得，
答：当购买的奖品少于8个时，选择商场更省钱；当购买奖品8个时，、两个商场消费一样；当购买的奖品多于8个时，选择购商场更省钱．
25．（1）90°；（2）∠EIF+∠K＝180°；（3）∠EPJ＝45°；
【分析】（1）根据、分别平分和，得到，，由于到，于是得到，即可得到结论；
（2）过点作，由已知可得，，得到，由于平分，求得，由于，于是得到，由于，得到，然后根据平行线的性质即可得到结论；
（3）根据、的平分线相交于，得到，，由于，得到，且；根据，得，再利用等量代换即可得到结论．
【解答】解：（1）∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，
∴∠BEF＝2∠BEG，∠EFD＝2∠GFD，
∵BE∥CF，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴2∠FEG+2∠GFE＝180°，
∴∠FEG+∠GFE＝90°，
∵∠EGF+∠FEG+∠GFE＝180°，
∴∠EGF＝90°；
（2）猜想：∠EIF+∠K＝180°．如图，过点I作IH∥AB，
∵AB∥CD，∴IH∥CD，
由已知可得∠K＝∠1+∠3，∠EIF＝∠BEI+∠IFD，
∴∠3＝∠KFD，
∵FK平分∠EFD，
∴∠4＝∠KFD，
∵∠1＝∠2，
∴∠K＝∠2+∠4，
∵∠EIF＝∠BEI+∠IFD，
∴∠EIF+∠K＝∠2+∠4+∠BEI+∠IFD＝∠BEF+∠EFD，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴∠EIF+∠K＝180°；
（3）∠EPJ＝45°，理由如下：
∵AB∥CD，
∴易得∠EPJ＝∠AEP+∠PIC，且∠AEF＝∠JFE，
∵∠AEF、∠CJR的平分线相交于P，
∴∠AEF＝2∠AEP，∠CJR＝2∠PJC，
∵RJ⊥EF，
∴∠FQJ＝90°，
∴∠EFJ+∠CJR＝90°，
∴∠AEF+∠CJR＝90°，
∴2∠AEP+2∠PJC＝90°，
∴∠AEP+∠PJC＝45°，
∴∠EPJ＝45°．
【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
26．【初步思考】（1）60；（2）见解析；【综合运用】当时，；当时，．
【分析】[初步思考]（1）根据题意可知，若，，可以得到，是的外角，则，则的度数可求；
（2）四边形中，，而，所以；
[综合运用]当时，当时，分别作出图形，根据题意作出图形都可以求出与的关系．
【解答】[初步思考]（1）解：根据题意可知，
，
，
，
，
，
是的外角，
，
，
，
故答案为：．
（2）∵点是四边形的“映角点”，
∴，
又，
∴，
在四边形中，
∴，
又
∴．
[综合运用]当时，；当时，．
如图，
，
由（2）可知，
设，，
；
当时，；
如图，
，
由可知，，
设，，
，
则，
，
，
，
，
．
当时，．
【点拨】本题考查了三角形的内角与外角，角平分线的定义，解题的关键是熟练运用三角形外角的性质．