2024年安徽省合肥市瑶海区众望初级中学中考二模数学试题（含解析）

这是一份2024年安徽省合肥市瑶海区众望初级中学中考二模数学试题（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．）
1．的绝对值是（ ）
A．2B．C．D．
2．计算a6÷（﹣a）3的结果是（ ）
A．a2B．﹣a2C．a3D．﹣a3
3．如图是水平放置的几何体，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人次射击的平均成绩恰好都是环，方差分别是，，，，在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
6．如图，直线和分别经过正五边形的一个顶点，，，则的度数为（ ）
A．32°B．38°C．46°D．48°
7．“红灯停，绿灯行”，平安生活每一天，一个十字路口的交通信号每次红灯亮37秒，绿灯亮30秒，黄灯亮3秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在矩形中，，，P为边上一动点，连接，过点D作于点E，与对角线交于点F．若，则的长为是（ ）

A． B．2C．D．
9．已知反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在中，，，，直线经过点，且垂直于，直线从点出发，沿方向以的速度向点运动，当直线经过点时停止运动，分别与、（）相交于点，，若运动过程中的面积是（），直线的运动时间是（s），则与之间函数关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共小题，每小题4分，共40分．）
11．代数式有意义时，应满足的条件是 .
12．写出一个小于4的正无理数是 ．
13．将函数图象向上平移个单位长度，平移后的解析式为 ．
14．如图，在扇形中，，点C，D分别在，上，连接，，点D，O关于直线对称，的长为，则图中阴影部分的面积为 ．
15．如图，在中，，，，的垂直平分线交于，交于点，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为点，连接，．当为直角三角形时，F的长为 ．

三、解答题（本大题共8个小题，满分80分）
16．（1）计算：；
（2）化简：．
17．2024年是新中国成立75周年，是实施“十四五”规划的关键一年，某市决定开展“砥砺奋进正青春，奋勇学习新时代”主题演讲比赛该市某中学将参加本校选拔赛的选手的成绩（满分分，得分均为正整数）分成六组，并绘制了如下不完整的统计图表．
频数分布表

根据以上信息，解答下列问题：
(1)参加学校选拔赛的有__________人．
(2)补全频数分布直方图
(3)小龙演讲的分数是88分，他认为他的成绩刚好是参赛选手成绩的中位数．请问小龙的想法是否正确？简要说明理由．
18．在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是，沿着山坡向上走75米到达B处．在B处测得大楼顶部M的仰角是，已知斜坡的坡度（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）求大楼的高度．（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：）
19．如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，．
(1)求证：；
(2)当时，求的长．
20．周末，李叔叔开车从盐城出发去千米远的南京游玩，当汽车行驶小时到达郭村时，汽车发生故障，需停车检修，修好后又继续向前行驶，其行驶路程y（千米）与时间x（时）之间的关系如图所示．
(1)求汽车修好后y与x之间的函数关系式；
(2)在距离南京千米的地方有一个服务区，求李叔叔从盐城出发后多长时间到达服务区？
21．在矩形中，，，是上的一点，且，是直线上一点，射线交直线于点，交直线于点，连结、，直线交直线于点．
(1)①当点为中点时，求与的长；
②求的值．
(2)若为等腰三角形时，求满足条件的的长．
22．如图1，拋物线交轴于点，，交轴正半轴于点，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，作，交抛物线于点，点为直线上方抛物线上任意一点，连接，与交于点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；
(3)如图3，过点作直线，点M，N分别是线段和直线l上的动点，连接，，，；
①连接，当与相似，且最小时，求点的坐标；
②在①的条件下，直线上是否存在一动点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查了求一个数的绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．据此即可解答．
【解答】解：的绝对值是2，
故选：A．
2．D
【分析】根据幂的运算法则即可求解．
【解答】a6÷（﹣a）3=- a6÷a3=﹣a3
故选D．
【点拨】此题主要考查幂的乘除运算，解题的关键是熟知其运算法则及公式．
3．A
【分析】本题考查了几何体的三视图，根据主视图是从前往后看，可得到主视图，正确得到几何体的三视图是解题的关键．
【解答】解：主视图是从前往后看，是一个上底比下底要短的梯形，
故选：A．
4．B
【分析】根据整式的减法运算、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A、，则A选项错误，故A选项不符合题意；
B、，则B选项正确，故B选项符合题意；
C、，则C选项错误，故C选项不符合题意；
D、，则D选项错误，故D选项不符合题意，
故选B．
【点拨】本题考查了整式的减法运算、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
5．A
【分析】本题考查了方差的意义，根据方差的定义，方差越小数据越稳定．进行判断即可，解题的关键是要掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】∵，，，，
∴，
∴成绩最稳定的是甲，
故选：．
6．D
【分析】如图所示，首先求出正五边形的内角，然后根据平行线的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【解答】如图所示，
∵是正五边形，
∴内角和为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点拨】此题考查了正多边形的内角和，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
7．B
【分析】本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．让绿灯亮的时间除以时间总数70，即为所求的概率．
【解答】解：∵每次红灯亮37秒，绿灯亮30秒，黄灯亮3秒，
∴每次时间总数是（秒）
则
故选：B
8．C
【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，根据，得到，证明，得到，，在证明，求出，在证明，即可得到答案；
【解答】解：过E作，
，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即：，
∴，，
∵，
∴，
∴，即：，
解得：，
故选：C．
9．D
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数综合题，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是解题关键．根据反比例函数和一次函数的图象，可得，，进而得到函数的图象的对称轴在轴左侧，再根据反比例函数与一次函数的交点坐标，得到，进而得到函数与轴交点纵坐标大于1，即可判断图象．
【解答】解：反比例函数的图象经过二、四象限，
，
当时，，
，
函数的图象的对称轴在轴左侧，排除B选项；
反比例函数与一次函数有两个交点，一个交点横坐标为，一个交点纵坐标为，
，
，
当时，，即函数与轴交点纵坐标大于1，
D选项符合题意，
故选：D．
10．B
【分析】本题考查了二次函数的应用．分类讨论是解答本题的关键．过点C作于D．先证明是直角三角形，进而求出的长．然后分和两种情况，求出的长，根据三角形面积公式即可得出y与x的函数关系式，进而得出结论．
【解答】过点作于．
∵，
∴是直角三角形，
∴，，
∴，．分两种情况：
（1）当时，如图1．
∵，
∴，
∴，函数图象是开口向上，对称轴为轴，位于轴右侧的抛物线的一部分；
（2）当时，如图2．
∵，
∴，
∴，函数图象是开口向下，对称轴为直线，位于对称轴右侧的抛物线的一部分；综上所述：B选项符合题意．
故选：B．
11．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数得到．
【解答】解：由题意，得，
解得．
故答案是：．
【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
12．（答案不唯一）
【分析】根据无理数估算的方法求解即可．
【解答】解：∵，
∴．
故答案为：（答案不唯一）．
【点拨】本题主要考查了无理数的估算，准确计算是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了一次函数图象的平移，根据“上加下减”，即可求解，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键．
【解答】解：将函数图象向上平移个单位长度，平移后的解析式为，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查轴对称的性质，弧长的计算以及扇形和三角形面积计算，连接；根据轴对称得出，即可得到是等边三角形．，再利用弧长公式求出半径，最后根据扇形面积和三角形面积公式求出答案即可．
【解答】如图，连接交于．
∵点D，O关于直线对称，
∴．
∴是等边三角形．
∴，
∵点D，O关于直线对称，
∴，，，
∴，
∵的长为，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
15．2或
【分析】在中，，，，则，根据垂直平分线的性质得出，，继而根据勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质得出，，根据旋转的中得出，进而在中，，，分为直角边和斜边，分别讨论，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：在中，，，，
∴，
∵的垂直平分线交于，交于点，
∴，，
在中，，
∴，，
∴，，
∵由线段绕点顺时针旋转得到，
∴，
在中，，，
当为直角边时，，
当为斜边时，，
故答案为：2或．
【点拨】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
16．（）；（）．
【分析】（）先进行负整数指数幂的运算，三角函数值的运算化简绝对值，再进行实数的运用即可；
（）先将括号里的异分母分式相减化为同分母分式相减，再算分式的除法运算得以化简;
本题考查了负整数指数幂的运算，三角函数值的运算化简绝对值及分式的化简，熟练掌握运用法则及分式的通分和约分是解题的关键．
【解答】解：（）原式，
，
；
（）原式，
，
，
，
，
．
17．(1)50
(2)见解析
(3)小龙的想法不正确，理由见解析
【分析】此题考查了频数分布直方图、扇形统计图、中位数等知识，读懂题意准确计算是解题的关键．
（1）求出D组的占比，得到D组和C组共同的占比，用其它四个组的总人数除以四个组总的占比即可得到答案；
（2）求出m、n的值，补全频数分布直方图即可；
（3）根据中位数应该是第25和26个数据的平均数，进一步分析即可得到答案．
【解答】（1）解：D组的占比为：，
D组和C组共占比为，
∵（人），
即参加学校选拔赛的有50人，
故答案为：50；
（2）由题意可得，（人），
（人），
补全频数分布直方图如下：

（3）小龙的想法不正确，理由如下：
∵参加学校选拔赛的有50人，
∴中位数应该是第25和26个数据的平均数，
∴中位数应该落在D组，
∵D组的范围是，
∴小龙演讲的分数是88分，不一定是中位数，
∴小龙的想法不正确
18．大楼的高度为92米
【分析】过点B分别作BE⊥AC，BF⊥MN，垂足分别为E、F，通过解直角三角形表示出BF、AN、AE的长度，利用BF=NE进行求解即可．
【解答】
过点B分别作BE⊥AC，BF⊥MN，垂足分别为E、F，
四边形BENF为矩形，
设，
在中，
斜坡的坡度，即，
在中，
在中，
解得，
所以，大楼的高度为92米．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，准确理解题意，能添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)AE=9
【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形，得出，，根据平行线的性质和等边对等角，结合，得出，即可证明结论；
（2）根据，得出，代入数据进行计算，即可得出AE的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴，，
，，
∵，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
即，
解得：．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，根据题意得出，是解题关键．
20．(1)
(2)小时
【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式．熟练掌握一次函数的应用是解题的关键．
（1）设汽车修好后y与x之间的函数关系式为，将，代入，计算求解，然后作答即可；
（2）由距离南京千米的地方有一个服务区，可得服务区距离盐城千米，将代入计算求解即可．
【解答】（1）解：设汽车修好后y与x之间的函数关系式为，
将，代入得，，
解得，，
∴函数关系式为；
（2）解：∵距离南京千米的地方有一个服务区，
∴服务区距离盐城千米，
将代入得，，
解得，，
∴李叔叔从盐城出发后小时到达服务区．
21．(1)①， ②
(2)当或1或或时，为等腰三角形
【分析】（1）①过点作于点，易得，为等腰直角三角形，进而得到为等腰直角三角形，，由可推出，则为等腰直角三角形，；
②过点作于点，易得，，易证，，得到，，于是，，进而可得，由等角加同角相等得，在中，；
（2）易得，得到，设，则，，，易证，根据相似三角形的性质可求得，，再分三种情况讨论：（Ⅰ）当时，过点作于点，则，，进而求出，，，再利用平行线分线段成比例得到，以此建立方程求解即可；（Ⅱ）当时，过点作于点，则，，，进而求出，由平行线的性质得到，于是，由等角的余角相等得，则，以此建立方程求解即可；（Ⅲ）当时，则，由平行线的性质可得，于是，由等角的余角相等得，进而得到，以此建立方程求解即可．
【解答】（1）解：①当点为中点时，如图，过点作于点，
则，
四边形为矩形，
，
四边形为矩形，
，
点为的中点，
，
，
，，
为等腰直角三角形，，
，
为等腰直角三角形，，
，
，
，
为等腰直角三角形，，
，；
②如图，过点作于点，
则，
，
，
，
，，，
，
，，
，即，
，即，
，，
，
，
，即，
；
（2），，
，
，即，
设，则，，
，
由（1）②可知，，
，
，
，
，
，
，即，
，，
（Ⅰ）当时，如图，过点作于点，
则，，
，
，
，
，
，即，
解得：，（舍去），
；
（Ⅱ）当时，如图，过点作于点，
则，，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
；
（Ⅲ）当时，如图，
则，
，
，
，
，
，
，
解得：，
．
当时，同理可得，
，
综上，当或1或或时，为等腰三角形．
【点拨】本题主要考查矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质；利用相似三角形性质和锐角三角函数推出．
22．(1)
(2)当点坐标为时，面积取得最大值为
(3)①点的坐标为：或或或；②存在，点的坐标为：或或或
【分析】（1）将A、B、C三点的坐标分别代入解析式，即得答案；
（2）过点P作，交x轴于点F，可求得，，，根据，，可得直线表达式为，直线表达式为，再联立直线和抛物线表达式， 可求得，过点作轴，交于点，过点作轴，交于点，设，再根据二次函数的性质，即可求解；
（3）①两种情况由相似三角形性质和两点间距离公式求出N坐标；②分过M作直线l于点F，过G作轴于点D，过N作轴于E，再分四种情况，利用三角函数求出和解可．
【解答】（1）解：（1）将，，，分别代入中，
得，
解得，
所以，抛物线表达式为：．
（2）解：如图：过点P作，交x轴于点F，
又，
，，，
，
设直线表达式为，
把，代入解析式，得
解得，
直线表达式为，
又，
设直线表达式为，
将代入中，得，
直线表达式为，
联立直线和抛物线表达式， 得 ，
解，得，
．
过点作轴，交于点，
过点作轴，交于点，
四边形是平行四边形，
，
，
，
设，
得，，
，
所以，当点的坐标为时，面积取得最大值为．
（3）解：①，，，
，，，，
，与相似，
，点对应点，边对应边，
最小，且与相似，形状不变，
∴边最小时，最小，即轴，与重合，，
分两种情况：
第一种情况：时，，
，
，，
设，而，，
∴由勾股定理，得，
解，得或．
∴或．
第二种情况：时，，
，
，．
设，方法同第一种可得或，
综上所述，点的坐标为：或或或；
②存在；
如图：分过M作直线l于点F，过G作轴于点D，过N作轴于E，
当点的坐标为时，，，
，
在中，，
在中，，即，
，
，，
又，
，，
，直线l于点F，
，
，
在中，，，，
，，
，
此时，直线上存在一动点，使得，点的坐标为；
同理可得其它三点的坐标为或或，
综上，点的坐标为：或或或．
【点拨】本题考查了二次函数、相似三角形及三角函数等综合知识，题目难度大，解题的关键是画出图形，确定点N的坐标，熟练运用三角函数求线段长，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
组别
成绩分
频数
A
6
B
4
C
D
E
12
F
4