广东省汕尾市陆丰市南塘中学2023-2024学年八年级下册期中数学试题（含解析）

这是一份广东省汕尾市陆丰市南塘中学2023-2024学年八年级下册期中数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了考生务必保持答题卡的整洁，下列命题中不正确的是等内容，欢迎下载使用。

说明：
1．本试卷共4页，23小题，满分120分，考试用时为90分钟．
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑．
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上．
4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面处折断，树顶端落在离树底部处，则树折断之前高（ ）
A．B．C．D．
5．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．3，4，5B．6，8，10C．4，5，6D．5，12，13
6．能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ）
A．一组对角相等B．对角线互相平分
C．一对邻角互补D．两条对角线互相垂直
7．下列命题中不正确的是（ ）．
A．直角三角形斜边中线等于斜边的一半B．矩形的对角线相等
C．矩形的对角线互相垂直D．矩形是轴对称图形
8．如图，在平行四边形中，对角线交于点O，点E为线段的中点，连接，若，，，则的长为（ ）

A．B．C．5D．
9．已知△ABC的三边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是( )
A．B．
C．D．
10．如图，在矩形中，为线段上一动点，于点于点Q，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．比较大小： ．
12．，则 ， ．
13．已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为 ．
14．菱形的边长为5，则它的周长为 ．
15．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和BC′F的周长之和为 ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16．计算：．
17．已知，，求下列各式的值：（1）；（2）．
18．如图，E，F分别是平行四边形的边上的点，且．求证：四边形是平行四边形．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．如图，矩形的对角线，相交于点O，，．求边的长．
20．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：
，如 ．
(1)填空， ．
(2)若，求x的值．
21．有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行多少米．？
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22．如图，在中，，的平分线交于D，过点B作交的外角平分线于E．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)直接写出当满足什么条件时，四边形是正方形．
23．如图1，四边形是正方形，，分别是边，上的点，连接，作于点，延长交边于点．

(1)判断与的数量关系，并说明理由；
(2)如图，若，连接，判断线段，，的数量关系，并说明理由；
(3)在（）的条件下，若，，则的长为________．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
【解答】解：A、属于最简二次根式，故本选项符合题意；
B、不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A
【点拨】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
2．C
【分析】二次根式的被开方数是非负数，即．
【解答】解：依题意得：，
解得．
故选：C．
【点拨】此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
3．D
【分析】根据二次根式的运算性质进行计算即可．
【解答】A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B．3与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
C．，此选项错误；
D．，此选项计算正确；
故选：D．
【点拨】本题考查了二次根式加减乘除计算，熟知以上计算是解题的关键．
4．B
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，利用勾股定理求出，进而得到，据此可得答案．
【解答】解：如图所示，在中，，
∴，
∴，
∴树折断之前高，
故选：B．
5．C
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
【解答】解：A、，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长，故该选项不符合题意；
B、，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长，故该选项不符合题意；
C、，不符合勾股定理的逆定理，不能作为直角三角形三边长，故该选项符合题意；
D、，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长，故该选项不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
6．B
【分析】根据平行四边形的判定定理选择即可．
【解答】A．一组对角相等，不能判定，不符合题意；
B．对角线互相平分，能判定，符合题意；
C．一对邻角互补，不能判定，不符合题意；
D．两条对角线互相垂直，不能判定，不符合题意；
故选B．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握其判定定理是解题的关键．
7．C
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质、矩形的性质逐项判定即可．
【解答】解：A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确，不符合题意；
B、矩形的对角线相等，正确，不符合题意；
C、矩形的对角线不互相垂直，原说法错误，符合题意；
D、矩形是轴对称图形，正确，不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查直角三角形斜边上的中线性质、矩形的性质等知识点，掌握相关性质定理是解答本题的关键．
8．A
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可求，再根据勾股定理求出，最后根据三角形中位线定理即可求出的长．
【解答】解：中，，，点E为边的中点，
，
，
，
平行四边形中，对角线交于点O，
，
又点E为边的中点，
是的中位线，
，
故选A．
【点拨】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线定理等，解题的关键是证明是的中位线．
9．C
【分析】只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可．
【解答】A、∵∠A=∠B+∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，故能判定△ABC是直角三角形；
B、∵，∴，故能判定△ABC是直角三角形；
C、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠C=，故不能判定△ABC是直角三角形；
D、∵，故能判定△ABC是直角三角形．
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理的应用以及三角形内角和定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
10．B
【分析】连接CM，先证四边形PCQM是矩形，得PQ = CM，再由勾股定理得BD=3，当CM BD时，CM最小，则PQ最小，然后由面积法求出CM的长，即可得出结论．
【解答】解：连接CM，如图，
于点P，于点Q，
，
四边形ABCD是矩形，
AD=1，CD=AB=，，
四边形PCQM是矩形，
，
在中，，
当CM BD时，CM最小，则PQ最小，
此时，，
，
的最小值为．
故选B．
【点拨】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
11．．
【分析】先比较两个负实数的绝对值的大小，再利用绝对值大的反而更小，即可选择．
【解答】∵
∴
∴
故答案为：<
【点拨】本题考查实数的大小比较．掌握“两个负数作大小比较时，绝对值大的反而小．”是解题关键．
12． 0 2
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件得到，，求出，然后代入即可求出b的值．
【解答】∵
∴，
∴
∴．
故答案为：0，2．
13．5或
【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论．
【解答】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时，
第三边的长为：；
②长为3、4的边都是直角边时，
第三边的长为：；
∴第三边的长为：或5，
故答案为：或5．
14．20
【分析】根据菱形的四条边相等，即可求出．
【解答】∵菱形的四条边相等．
∴周长：，
故答案为：20．
【点拨】本题考查菱形的性质；熟练掌握菱形的性质是本题解题关键．
15．6
【解答】由折叠特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，
∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°
∴∠ABE=∠C′BF
又BC'=AB
∴△BAE≌△BC′F（ASA），
∵△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，
∴△ABE和△BC′F的周长和=2△ABE的周长=2×3=6．
故答案为：6
16．
【分析】根据二次根式的乘除运算法则和二次根式的化简进行计算，再进行加减计算．
【解答】解：
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
17．（1）24；（2）
【分析】（1）利用完全平方公式求解即可；
（2）利用平方差公式求解即可．
【解答】（1）∵，
∴
（2）∵，
∴
∴
【点拨】本题主要考查完全平方公式和平方差公式的应用，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
18．证明见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到，再证明即可证明四边形是平行四边形．
【解答】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
19．4
【分析】此题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，
首先得到，然后根据矩形的性质得到，然后证明出是等边三角形，即可得到．
【解答】∵
∴
∵四边形是矩形，
∴
∴是等边三角形
∴．
20．(1)3
(2)
【分析】（1）根据定义得到计算即可．
（2）根据定义得到，代入方程计算即可．
【解答】（1）∵，
∴，
故答案为：3．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
故x的值为．
【点拨】本题考查了新定义运算，分母有理化，解一元一次方程，熟练掌握新定义的运算法则是解题的关键．
21．它至少要飞行10米．
【分析】根据题意画出对应的几何图形，如图，过点D作，则四边形是矩形，故可得AE，DE的长度，在中利用勾股定理即可求解．
【解答】解：根据题意画出图形如下：
其中，，，求BD的长，
过点D作，则四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
答：一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行10米．
【点拨】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理等内容，根据题意画出对应的几何图形是解题的关键．
22．(1)证明见解析
(2)当时，四边形是正方形．理由见解析
【分析】本题主要考查了正方形的判定，矩形的判定，三线合一：
（1）先根据平分，得，然后根据是的外角平分线，可求出，再根据平行线的性质得到得到，即可证明四边形ADBE为矩形；
（2）根据矩形的性质可知当时，则°，利用等腰三角形的性质定理可知对应边，再运用邻边相等的矩形是正方形，问题得证．
【解答】（1）证明：∵，平分，
∴，，
∵是的外角平分线，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：当时，四边形是正方形．理由如下：
∵，平分，，
∴，
∴，
又∵四边形是矩形，
∴矩形为正方形．
23．(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）由正方形的性质可得，，从而得到，，由，得到，从而得到进而得出；
（2）作交延长线于，则，从而得到，由正方形的性质可得，从而得到，由四边形的内角和定理可得，由，可得，通过证明，可得，，再由勾股定理可得，从而即可得到答案；
（3）作于点，连接，由得，，再，进而证明，得，由，得，可求得，则，，由，求得，则，，所以，于是得，即可求得，于是得到问题的答案．
【解答】（1）解：，
理由如下：
如图，
，四边形是正方形，
，，
，，
，
，
．
，
；
（2）解：，
作交延长线于，
，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
在中，根据勾股定理得，，
，
，
；
（3）解：如图，作于点，连接，
，
则，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、同角的余角相等、勾股定理，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．