广东省揭阳市揭西县宝塔实验学校2023-2024学年八年级下册期中数学试题（含解析）

这是一份广东省揭阳市揭西县宝塔实验学校2023-2024学年八年级下册期中数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题一，解答题二，解答题三等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟．答题前，考生务必将自己的姓名等信息按要求写在答题卡上，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；考试结束后，只需将答题卡交回．
一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列汽车标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
3．若x=1是不等式1-ax≤x的一个解，则a的值可以是（ ）
A．-2B．-1C．0D．任意实数
4．木工师傅将一个含45度角的三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．垂线段最短B．等腰三角形的“三线合一”
C．角平分线的性质定理D．线段垂直平分线的性质定理
5．下列说法，正确的是（ ）
A．等腰三角形的高线，角平分线，中线互相重合
B．到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点
C．三角形一边上的中线把三角形分成周长相等的两个三角形
D．两边分别相等的两个三角形全等
6．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD等于（ ）

A．3B．4C．5D．6
7．如图，在中，，将沿直线向右平移后，得到，连接．下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
8．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在四边形中，，连接，，垂足为，并且，，，，点是边上一动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧交于、于，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于，下列四个结论：
是的平分线；
；
点在的中垂线上；
④．
其中正确的有（ ）
A．只有①②③B．只有①②④C．只有①③④D． ①②③④
二、填空题（共6个小题，每小题3分，总共18分）
11．请写出一个关于x的不等式，使，3都是它的解 ．
12．已知实数a，b，满足，，则的值为 ．
13．如图，已知函数和的图象交点为，则不等式的解集为 ．
14．如图，在中，的垂直平分线分别与边，交于点D和点E，连接．若，，则 ．
15．将直线向上平移3个单位长度后得到的新直线表达式为 ．
16．已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形顶角的度数为 ．
三、解答题一（共3小题，每小题6分，总共18分）
17．分解因式：．
18．解不等式组并在数轴上表示它的解集
19．如图，，，交于点．求证：是等腰三角形．
四、解答题二（共4小题，每小题8分，共32分）
20．在实数范围内规定新运算“▲”，其规则是：，例如：．已知关于x的不等式的解集在数轴上如图所示，求k的值．
21．2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选．甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元．销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元．
(1)采购1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？
(2)甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A，B两种品牌小电器共150台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围
(3)在（2）的条件下，所购进的A，B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲的采购方案有几种？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？
22．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”．
问题解决：
(1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 ；（填序号）
(2)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围．
23．如图①，是等边三角形，点D在的内部，连接，将线段绕点A按逆时针方向旋转，得到线段，连接．
(1)判断线段与的数量关系并给出证明；
(2)如图②，延长交直线于点F．当点F与点B重合时，直接用等式表示线段之间的数量关系：​
五、解答题三（共2小题，第24题10分，第25题12分）
24．已知，，和分别为线段，的中点．
（1）若重合，在线段上，如图1，求的长度；
（2）①如果将图1的线段沿着向右平移个单位，求的长度与的数量关系；
②当为多少的时，的长度为9；
（3）如果保持长度和位置不变，点保持图1的位置不变，改变的长度，将点沿着直线向右移动个单位，其余条件不变，①②，请问以上两个式子哪一个式子的值是定值，定值是多少？
25．综合与实践—探究特殊三角形中的相关问题．
问题情境：某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置．现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转（0°＜＜90°），如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．
(1)初步探究：勤思小组的同学提出：当旋转角= 时，△AMC是等腰三角形；
(2)深入探究：敏学小组的同学提出：在旋转过程中．如果连接AP，CE，那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线，请帮他们证明；
(3)拓展延伸：在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，请求出旋转角的度数；若不能，请说明理由．
参考答案与解析
1．D
【分析】根据中心对称和轴对称的概念得出结论即可．
【解答】解：A、沿着某条直线对折，图形两部分能够完全重合的图形，是轴对称图形，旋转180度后不能与自身重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、沿着某条直线对折，图形两部分不能够完全重合的图形，不是轴对称图形，旋转180度后不能与自身重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、沿着某条直线对折，图形两部分不能够完全重合的图形，不是轴对称图形，旋转180度后能与自身重合，是中心对称图形，故本选项不符合题意；；
D、沿着某条直线对折，图形两部分能够完全重合的图形，是轴对称图形，旋转180度后能与自身重合，是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确记忆轴对称图形是沿着某条直线对折，图形两部分能够完全重合的图形，中心对称图形是绕某点，旋转度后与自身重合的图形是解题关键．
2．B
【分析】本题考查用数轴表示不等式的解集．根据用数轴表示不等式的解集的方法，直接写出解集进行判断即可．注意含等号，用实心点，不含等号，用空心点．
【解答】解：由图可知，不等式的解集为：；
故选B．
3．C
【分析】将x=1代入该不等式求解即可．
【解答】∵x=1是不等式1-ax≤x的一个解，
∴1-a≤1，
解得a≥0，
故选：C．
【点拨】此题考查了不等式解集问题的求解能力，关键是能准确理解并应用该知识．
4．B
【分析】利用等腰三角形的性质即可确定答案．
【解答】解：由题意可知，三角尺是等腰的，等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合，若重锤的线经过三角尺底边的中点刻度，说明重锤与三角形底边上的高是重合的，而重锤是和水平面互相垂直的，所以说明此时的横梁是水平的，如果重锤的线没有经过三角尺底边的中点刻度，则说明横梁不是水平的， 因此能解释这一现象的数学知识是等腰三角形的三线合一．
故选：B．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质，理解等腰三角形三线合一（顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合）的性质是解题的关键．
5．B
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形全等的判定，掌握等腰三角形和三角形全等的判定是解题的关键．
由三线合一的条件可知A不正确，由三角形垂直平分线的性质可知B正确，由三角形的中线可知C错误，根据全等三角形的判定判断D错误，可得出答案．
【解答】解：A、等腰三角形底边上的高、顶角的角平分线、中线互相重合，故A错误；
B、到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点，故B正确；
C、三角形一边上的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，故C错误；
D、两边分别相等，且它们的夹角对应相等的两个三角形全等，故D错误；
故选：B．
6．A
【分析】由于∠C=90°，∠ABC=60°，可以得到∠A=30°，又由BD平分∠ABC，可以推出∠CBD=∠ABD=∠A=30°，∴BD=AD=6，再30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果．
【解答】解：∵∠C=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=∠A=30°，
∴BD=AD=6，
∴CD= BD=6×=3．
故填空答案：A．
【点拨】本题考查的知识点是直角三角形的性质和角的平分线的性质，解题关键是熟记30°直角三角形所对线段是斜边的一半.
7．C
【分析】沿直线向右平移后，得到，由此得，，，，再由垂直的定义和性质可得，由此可得选项.
【解答】解：因为将沿直线向右平移后，得到，
所以，故A选项不符合题意；
所以，故B选项不符合题意；
所以，故C选项符合题意；
因为，
又，
所以，
所以，故D选项不符合题意；
故选：C.
【点拨】本题考查三角形的平移，关键在于正确运用在平移的过程中，线段的长度和位置的变化.
8．B
【分析】由可得，则，根据不等式的性质求解即可．
【解答】解：得，则，
∴，
∴，
故选：B．
【点拨】本题考查了不等式的性质，注意：当不等式两边同时乘以一个负数，则不等式的符号需要改变．
9．A
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质定理，垂线段的定义等知识点，由三角形的内角和定理和角的和差求出，角平分线的性质定理得，垂线段定义证明最短，求出长的最小值为．
重点掌握角平分线的性质定理，难点是作垂线段找线段的最小值．
【解答】解：过点作交于点，如图所示：
，
，
又，，，，
，
是的角平分线，
又，，
，
又，
，
又点是直线外一点，
当点在上运动时，点运动到与点重合时最短，其长度为长等于，
即长的最小值为．
故选：．
10．D
【分析】根据作图过程可判断①；根据角平分线的定义和直角三角形两锐角互余可判断②；证明可判断③；利用所对的直角边等于斜边的一半和可得出，再利用三角形的面积公式即可判断④．
【解答】解：根据作图方法可得∶是的平分线，故①正确；
∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，故②正确；
∵，，
∴，
∴点在的中垂线上，故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，故④正确，
故选：D．
【点拨】本题考查角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，所对的直角边等于斜边的一半，等角对等边，垂直平分线的判断以及三角形面积求法等知识，根据角平分线的定义得出是解题关键．
11．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查不等式的解集．由，3均小于4可得．
【解答】解：由，3均小于3可得，
所以符合条件的不等式可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
12．42
【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可．
【解答】
．
故答案为：42．
【点拨】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点．
13．x＞1
【分析】根据图象直接解答即可．
【解答】解：从图象上得到函数y=x+b和y=ax+3的图象交点P，点P的横坐标为1，
在x＞1时，函数y=x+b的值大于y=ax+3的函数值，
故可得不等式x+b＞ax+3的解集x＞1．
故答案为：x＞1．
【点拨】此题考查了一次函数与一元一次不等式，认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系是解决本题的关键．
14．##度
【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求得，进而求得，再根据三角形的内角和定理求解即可．
【解答】解：∵垂直平分，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．
15．
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换：直线向上平移个单位的解析式为；直线向右平移个单位的解析式为．
根据平移后解析式的规律“上加下减”进行求解．
【解答】解：将直线向上平移3个单位长度后得到的新直线表达式为，即．
故答案为：．
16．或
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形外角性质，直角三角形两锐角互余，分顶角为钝角和锐角两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【解答】解：分两种情况：
顶角为钝角时，如图，则，
∴；
顶角为锐角时，如图，则，
∴；
综上，这个等腰三角形顶角的度数为或，
故答案为：或．
17．
【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
变形后直接利用提取公因式法分解因式得出答案．
【解答】解：
．
18．，数轴表示见解析
【分析】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，正确掌握解题步骤是解题关键．
分别解不等式进而得出不等式组的解集，进而得出答案；
【解答】，
解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
在同一数轴上表示不等式①②的解集如图所示：
∴原不等式组的解集是．
19．见解析
【分析】本题考查了平行的性质及等腰三角形的判定，利用平行线的性质可证，进而可证得，再根据等腰三角形的判定即可求证结论，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键．
【解答】证明：，
，
又，
，
，
是等腰三角形．
20．
【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，理解新定义的运算是正确解答的前提．
根据新定义的运算可得，解得，再由数轴所表示的解集可得即可．
【解答】解：不等式，由新运算的定义可得，，
所以，
由数轴所表示的解集可知，，
解得：．
21．(1)A，B型品牌的奥电器每台进价为15元、20元
(2)购进A种品牌小电器数量的取值范围为
(3)采购方案有共有6种，A型台，型120台，最大利润是570元
【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组解法和应用以及一次函数的图象和性质等知识，搞清这些知识之间的相互联系是解决问题的前提和必要条件．
（1）列方程组即可求出两种风扇的进价，
（2）列一元一次不等式组求出取值范围即可，
（3）再求出利润和自变量之间的函数关系式，根据函数的增减性确定当自变量为何值时，利润最大，由关系式求出最大利润．
【解答】（1）解：设型品牌小电器每台的进价分别为元、元，
根据题意得：，
解得：，
答：型品牌小电器每台进价分别为15元、20元．
（2）设购进型品牌小电器台，
由题意得：，
解得，
答：购进种品牌小电器数量的取值范围．
（3）设获利为元，由题意得：，
∵所购进的、两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，
，
解得：，
，
即采购方案有6种；
∵随的增大而减小，
∴当台时获利最大，（元），
答：采购方案有6种；当采购型30台，型120台时，利润最大，最大利润是570元．
22．(1)③；
(2)．
【分析】（1）求得每个方程的解以及不等式组的解集，根据“子方程”的定义进行判断即可；
（2）求得方程的解以及不等式组的解集，根据“子方程”的定义，列不等式求解即可．
【解答】（1）解：解不等式组可得
由可得，则不是不等式组的“子方程”；
由可得，则不是不等式组的“子方程”；
由可得，而，即在范围内，所以是不等式组的“子方程”；
故答案为：③；
（2）解不等式组可得
由可得，
由题意可得：
解得
即的取值范围为．
【点拨】此题考查了一元一次方程的求解，不等式组的求解，解题的关键是理解“子方程”的定义，正确的求解方程与不等式组．
23．(1)，证明见解析
(2)
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是证明三角形全等．
（1）证明；
（2）根据（1）中全等的性质即可得出是等边三角形，再根据即可求解；
【解答】（1）解：，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
∵是由绕点逆时针旋转得到的，
∴，
∴，
∴，
即：，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）由（1）得：，
∴是等边三角形，
∴，
，
故答案为：．
24．（1）2.5，（2）2.5+n，6.5，（3）一定为定值，定值是2.5．
【分析】（1）根据中点求出BM和BN长，相减即可；
（2）①根据题意可知，AD=BC=n，根据中点表示出BN长，BM-BN即可；②列出关于n的方程求解；
（3）根据题意可知，CD长为8+m，求出两个式子的值，判断即可．
【解答】解：（1）∵，M是线段AB的中点，
∴BM=6.5，
∵重合，
∴BD=CD=8，N是线段CD的中点，
∴CN=BN=4，
MN=BM-BN=6.5-4=2.5；
（2）①由（1）得，BM=6.5，CN=4，根据平移可知，BC=n，
BN=CN-CB=4-n，
MN=BM-BN=6.5-（4-n）=2.5+n；
②根据题意得，2.5+n=9，
解得，n=6.5，
∴当=6.5时，的长度为9；
（3）根据题意，CD的长为8+m，BC=m，BM=6.5，
∵N是线段CD的中点，
∴，
当N点在B点左侧时，BN=CN-CB=，
MN=BM-BN=，
，为定值；
，为定值；
当N点在B点右侧时，BN=CB-CN=，
MN=BM+BN=，
，为定值；
，不为定值；
综上所述，一定为定值，定值是2.5．
【点拨】本题考查了线段的和差和线段中点的意义以及一元一次方程，体现了分类讨论思想，能够根据中点的意义，利用字母表示线段长是解决问题的关键．
25．(1)60°或15°
(2)见解析
(3)能，30°或60°
【分析】（1）分AM=CM和AC=CM两种情况进行讨论求解即可；
（2）由题意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC，根据旋转的性质得到∠BAM=∠FAN，根据全等三角形的性质得到AM=AN，证明△MPE≌△NPC，得PE=PC，由线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（3）当∠CNP=90°时，依据对顶角相等可求得∠ANF=90°，然后依据∠F=60°可求得∠FAN的度数，由旋转的定义可求得∠α的度数；当∠CPN=90°时．由∠C=30°，∠CPN=90°，可求得∠CNP的度数，然后依据对顶角相等可得到∠ANF的度数，然后由∠F=60°，依据三角形的内角和定理可求得∠FAN的度数，于是可得到∠α的度数．
【解答】（1）解：当AM=CM，即∠CAM=∠C=30°时，△AMC是等腰三角形；
∵∠BAC=90°，
∴α=90°−30°=60°；
当AC=CM，即∠CAM=∠CMA时，△AMC是等腰三角形，
∵∠C=30°，
∴∠CAM=∠AMC=75°，
∵∠BAC=90°，
∴α=15°，
综上所述，当旋转角α=60°或15°时，△AMC是等腰三角形，
故答案为：60°或15°；
（2）证明：由题意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC，
∵将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转（0°＜＜90°），
∴∠BAM=∠FAN，
在△ABM与△AFN中，
，
∴△ABM≌△AFN(ASA)，
∴AM=AN，
∵AE=AC，
∴EM=CN，
在△MPE与△NPC中，
，
∴△MPE≌△NPC(AAS)，
∴PE=PC，
∴点P在CE的垂直平分线上，
∵AE=AC，
∴点A在CE的垂直平分线上，
∴AP所在的直线是线段CE的垂直平分线；
（3）解：△CPN能成为直角三角形．
如图1所示：当∠CNP=90°时，
∵∠CNP=90°，
∴∠ANF=90°．
又∵∠AFN=60°，
∴∠FAN=180° -60° -90°=30°．
∴=30°．
如图2所示：当∠CPN=90°时，
∵∠C=30°，∠CPN=90°，
∴∠CNP=60°，
∴∠ANF=60°，
又∵∠F=60°，
∴∠FAN=60°，
∴=60°．
综上所述，=30°或60°．
【点拨】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定及性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．