广东省东莞市外国语学校、寮步镇外国语学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

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一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（）
A B. C. D.
2. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）
A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. 1，1， D. 1，2，2
3. 已知点，都在直线上，则，大小关系（）
A. B. C. D.
4. 下列运算中，正确的是（）
A. B. C. D.
5. 如图，直角三角形三边向外作正方形，字母A所代表的正方形的面积为( )
A. 4B. 8C. 16D. 64
6. 如图，在平行四边形中，，则度数是（）

A B. C. D.
7. 如图，在中，是的中线，分别是的中点，连接．已知，则的长为（）
A. 2B. 4C. 6D. 8
8. 如图，数轴上的点所表示的数为，则的值为（）

A. B. C. D.
9. 如图：已知点A的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点O，则C点的坐标是（）

A. B. C. D.
10. “赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄做，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是，小正方形的面积是，则大正方形的面积是（）
A. 121B. 144C. 169D. 196
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 函数中，自变量x的取值范围是_____．
12. 分母有理化：________．
13. 如果正比例函数的图象在第二、四象限内，那么的取值范围是________．
14. 如图，中，，点在线段上，且，，，则__________．
15. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边，上的动点，P是线段的中点，，，G，H为垂足，连接．若，，，则的最小值是______．
三、解答题（一）（每小题5分，共10分）
16. 计算：．
17. 已知正比例函数图象过点．
（1）求该函数的解析式；
（2）若点在这个函数的图象上，求a的值．
四、解答题（二）（每小题7分，共21分）
18. 已知，，分别求和的值．
19. 如图，在四边形中，，，为边上一点，且，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，，，求的长．
20. 如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多．求该河的宽度的长．
五、解答题（三）（每小题8分，共24分）
21. 如图，在中，对角线相交于点O，已知，，．

（1）求证：；
（2）过A作于E，求．
22. 如图，在四边形中，，，对角线，相交于点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，且，求的长．
23. 湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且B在C的正南方向900米处．
（1）求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：）；
（2）救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）
六、解答题（四）（每小题10分，共20分）
24. 如图1，把一个含角的直角三角板和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边上，连接，取中点M，的中点N，连接．

（1）如图 1，连接，求证：；
（2）在（1）的条件下，请判断线段与之间的数量关系，并加以证明；
（3）如图2，将这个含角的直角三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边的延长线上，其他条件不变，当时，求的长．
25. 如图1，矩形的顶点A、C分别在x轴，y轴的正半轴，若点，且a，b满足，若点D为矩形的对角线的中点，过点D作的垂线分别交于点E，F．
（1）__________， __________；
（2）求线段的长度；
（3）如图2，连接，直线交y轴于点G，若点P为射线上的点，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使得以为边，点O，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P，Q的坐标，若不存在，请说明理由．