广东省东莞市弘正学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷共4页，25小题，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号．用2B铅笔把对应号码的标号涂黑．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的条件，掌握二次根式的条件是解题的关键．根据二次根式的条件即可得到答案．
【详解】解：由题意可知：，
解得，
故选D．
2. 下列四组数种，为勾股数的是（ ）
A. 2，3，5B. 4，12，13C. 3，4，5D. 1，2，3
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查勾股数．根据勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，然后利用勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故该选项不符合题意，
B、，不能构成直角三角形，故该选项不符合题意，
C、，能构成直角三角形，且3，4，5都是正整数，故该选项符合题意，
D、，不能构成直角三角形，故该选项不符合题意，
故选：C．
3. 在中，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的对角相等即可得出答案．熟记平行四边形的对角相等是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
故选：B．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则将各式计算后进行判断即可．
【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
5. 添加下列一个条件，能使平行四边形成为菱形是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形的判定逐个进行证明，再进行判断即可．
【详解】解：A、中，本来就有，故本选项错误；
B、中，对角线，可判断平行四边形成为矩形，故本选项错误；
C、中，，可利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形，判定▱ABCD是菱形，故本选项正确；
D、中，一个内角，可判断平行四边形成为矩形，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定的应用，注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
6. 如图，在中，，分别是的中点，则的长为（ ）
A. 5B. 3C. 4D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是三角形的中位线定理，解题的关键是记住三角形的中位线定理．
【详解】解：∵分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：B．
7. 如图，三位学生在做投圈游戏．他们分别站在的三个顶点处，目标物放在斜边的中点处．仅从数学的角度看这样的队形哪个位置的学生投中的可能性最大（ ）

A. 处学生投中的可能性最大B. 处学生投中的可能性最大
C. 处学生投中的可能性最大D. 三位学生投中的可能性一样大
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：依题意，他们分别站在的三个顶点处，目标物放在斜边的中点处．

设的中点为，
则，
∴三位学生投中的可能性一样大，
故选：D．
8. 如图，矩形的边长，则图中五个小矩形的周长之和为（ ）
A. 14B. 16C. 28D. 36
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质，利用平移的性质将五个小矩形的周长和转为大矩形的周长是解题的关键．
【详解】解：根据题意可知：五个小矩形的周长之和为大矩形的周长，
∵，，
∴图中五个小矩形的周长之和为：．
故选：C．
9. 如图，钓鱼竿的长为m，露在水面上的鱼线长为m．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为m，则的长为（ ）
A. mB. mC. mD. m
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是利用数形结合的思想并掌握勾股定理．
根据勾股定理进行计算即可得．
【详解】解∶ 在中，m，m，
根据勾股定理得， m
在中，m，m，
根据勾股定理得， m，
∴ m，
故选∶A．
10. 如图，已知四边形和四边形均为正方形，且G是的中点，连接，若，则的长为（ ）

A. B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．
过点作交于点，交于点，则，再证明，得出，再利用勾股定理即可解答．
【详解】解：过点作交于点，交于点，则，

四边形和四边形均为正方形，
，，，
，
，
，，
，，
，
故选：C．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 任意写一个大于5的二次根式______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的比较大小．根据，可得，即可．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：（答案不唯一）
12. 化为最简二次根式为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式，被开方数的分子分母都乘以7，再根据分式的除法，可得答案．根据二次根式的除法，可化简二次根式．
【详解】解：原式=，
故答案为：．
13. 如图，菱形的两条对角线相交于点，若，则菱形的面积是______．
【答案】30
【解析】
【分析】此题考查菱形的性质，解题关键在于利用对角线求面积的方法，在求菱形的面积中用得较多，需要熟练掌握．根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答．
【详解】解：∵菱形的两条对角线相交于点，，
∴菱形的面积是，
故答案为：30．
14. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形，，的面积依次为，，，则正方形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查是勾股定理，根据勾股定理可得正方形A、B的面积之和等于正方形E的面积，正方形C、E的面积之和等于正方形D的面积，即可得到结果．
【详解】
由题意得，正方形的面积为，
则正方形的面积．
故答案为：．
15. 在矩形中，，，若是射线上一个动点，连接，点关于直线的对称点为．连接，，当，，三点共线时，的长为______．
【答案】1或9
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，分情况讨论，当点在线段上时，当点在的延长线时，根据折叠的性质和勾股定理即可得到结论．
【详解】解：当点线段上时，如图，

与关于直线对称，
，，，
，
，
，
，
设，
，
，
，
解得，
；
当点在的延长线时，如图，

与关于直线对称，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，的长为1或9，
故答案为：1或9．
三、解答题：本大题共10小题，共75分．
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，利用负整指数幂、化简绝对值，零指数幂的意义计算即可．
【详解】解：原式
．
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键，先化简二次根式，计算二次根式的乘法运算，再合并即可．
【详解】解：
．
18. 已知，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式加减运算和完全平方公式进行因式分解，先求出，把它代入中即可求解．
【详解】解：∵
∴

．
19. 如图，在四边形中，．求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质以及勾股定理的逆定理．
连接，根据，得出是等边三角形，求得，然后根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，从而求得．
【详解】解：连接
，
是等边三角形，
，
在中，，
，
是直角三角形，且，
20. 三月草长莺飞，万物复苏，在一个阳光明媚的周末，李明与同学相约公园放风筝，如图所示风筝线断了、风筝被挂在了树上A点处，他想知道此时风筝距地而的高度，于是他先拉住风筝线垂直到地面上B点、发现风筝线多出2米，然后把风筝线沿直线向后拉开6米，发现风筝线末端刚好接触地而C点（如图所示），请你帮李明求出风筝距离地面的高度．
【答案】风筝距离地面的高度为8米
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
根据题意可知，利用勾股定理解答即可．
【详解】解：由题可知，
，
解得
答：风筝距离地面的高度为8米．
21. 如图所示，有一张长方形纸片，，．现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点A落在F处，
（1）____________，____________；
（2）求的长．
【答案】（1）6，4 （2）3
【解析】
【分析】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理．
（1）根据折叠的性质即可得到，利用勾股定理先求出，即可求出；
（2）由（1）知，设，则，利用勾股定理建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：折叠该纸片使得边与对角线重合，，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
故答案为：6，4；
【小问2详解】
解：由折叠的性质得：，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
．
22. （1）求代数式的值，其中．
如图是小亮和小芳的解答过程：
（填“小亮”或“小芳”）的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质：（填字母） ．
A． B．
（2）化简：．
【答案】（1）小亮，A；（2）当时，原式；当时，原式
【解析】
【分析】本题考查二次根式的性质，掌握：，是解题的关键：
（1）结合即可判断；
（2）根据，进行化简求值即可．
【详解】解：（1）小亮的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质；
故答案为：小亮，A；
（2），
∴当时，原式；当时，原式．
23. 小乐是一个善于思考的学生，学习完“二次根式”和“勾股定理”后，他发现可以有多种方法求三角形的面积，以下是他的数学笔记，请认真阅读并完成任务，
（1）请根据思路1的公式，求的面积；
（2）请你结合思路2，在如图所示的网格中（正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点），完成下列任务，
①画出，要求三个顶点都在格点上；
②结合图形，写出面积的计算过程．
【答案】（1）
（2）①见解析；②，过程见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次根式运算，勾股定理，海伦-秦九韶公式，理解公式，能根据公式进行正确运算是解题的关键．
（1）将，，代入公式进行计算，即可求解；
（2）①按要求作图，即可求解；
②过点作于点，由三角形面积公式即可求解．
【小问1详解】
解：由题意，得
．
【小问2详解】
①如图，即为所求．（画法不唯一）
②过点作于点，由题意，得．
．
24. 如图，已知正方形，，点在边上，射线交于点，交射线于点，过点作，交于点．
（1）求证：．
（2）判断形状，并说明理由．
（3）作的中点，连接，若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）是等腰三角形，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质，利用“”证明即可；
（2）由全等三角形的性质可得，由余角的性质可得，从而得出结论；
（3）由三角形中位线定理可求，再由勾股定理计算即可得出答案．
【小问1详解】
证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
；
【小问2详解】
解：是等腰三角形，理由如下：
，
，
，，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
【小问3详解】
解：如图，连接，
，，，
，
，
，
点是的中点，，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理，灵活运用这些性质是解此题的关键．
25. 如图，四边形为菱形，．，，．
（1）点坐标为______；
（2）如图2，点在线段上运动，为等边三角形．
①求证：，并求的最小值；
②点在线段上运动时，点的横坐标是否发生变化？若不变，请求出点的横坐标．若变化，请说明理由．
【答案】（1）
（2）①证明见解析；的最小值为；②不变，点F的横坐标为．
【解析】
【分析】（1）先求出，，再由菱形的性质得到，则；
（2）①设交于J，由菱形的性质结合题意易证，都是等边三角形，即得出，从而可证．再结合，即可证，得出，即说明当时，的值最小．最后结合含30度角的直角三角形的性质求解即可；
②过点F作于H．由全等的性质可得，即易证，得出，即说明点F的横坐标为，不变．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
①证明：如图，设交于J．
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，都是等边三角形，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴当时，的值最小．
∵，
∴，
∴
∴的最小值为．
②点F的横坐标不变，理由如下：
如图，过点F作于H．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴点F的横坐标为，不变．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，综合性强．正确作出辅助线是解题关键．
题目：已知在中，，求的面积，
思路1：可以利用八年级下册课本16页“阅读与思考”中的海伦－秦九韶公式求的面积，
海伦公式，，其中，
秦九韶公式，，
思路2：可以利用勾股定理在正方形网格中构造三角耏，将的面积．