河北省张家口市桥西区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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2．请务必在答题纸上作答，写在试卷上的答案无效．考试结束，只收答题纸．
3．答卷前，请在答题纸上将姓名、班级、考场、座位号、准考证号填写清楚．
4．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净．
5．主观题答案须用黑色字迹钢笔、签字笔书写．
6．必须在答题纸上题号所对应的答题区域内作答，超出答题区域的书写，无效．
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一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列各式中，是分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式，根据分式的定义逐一判断即可求解，熟记：“如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母”是解题的关键．
【详解】解：、、不是分式，则A、B、D选项不符合题意；
是分式，则C选项符合题意；
故选C．
2. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的概念和识别，掌握其概念，图形结合分析是解题的关键．
中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，由此即可求解．
【详解】解：A、是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
3. 下列从左到右的变形中是因式分解的有（ ）
①
②
③
④．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的定义，要与整式的乘法区分开，二者是互逆运算，容易出错．根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式，叫做因式分解，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】①是整式的乘法，不是因式分解，故①不正确；
②，符合定义，是因式分解，故②正确
③右边不是积的形式，故③不正确；
④，符合定义，是因式分解，故④正确；
故选：B．
4. 在平面直角坐标系中，点向下平移个单位长度后，得到对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，根据“左减右加（横轴），上加下减（纵轴）”，即可求解，掌握平面直角坐标系中点的平移规律是解题的关键．
【详解】解：根据题意，平移后点A的对应点的纵坐标为，
∴平移后对应点的坐标为，
故选：A ．
5. 等腰中，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据等边对等角得出，设的度数为，则，根据三角形的内角和为，列出方程求解即可．解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角，三角形的内角和为．
【详解】解：∵，
∴，
设的度数为，则，
∵，
∴，
解得：，
即的度数为，
故选：B．
6. 甲、乙两地相距，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的倍，根据题意可列方程，，则方程中表示（ ）
A. 特快列车的平均行驶速度B. 高铁列车的平均行驶速度
C. 特快列车的行驶时间D. 高铁列车的行驶时间
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查分式方程的实际运用，掌握路程、时间、速度三者之间的关系是解决问题的关键．
【详解】解：由，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用，可知，
方程中表示，特快列车的平均行驶速度，
故选：A．
7. 如图所示的Rt△ABC向右翻滚，下列说法正确的有（ ）
（1）①⇒②是旋转
（2）①⇒③是平移
（3）①⇒④是平移
（4）②⇒③是旋转．
A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种
【答案】C
【解析】
【分析】根据旋转、平移的判断方法，逐一判断．
【详解】观察图形可知，（1）（3）（4）说法正确；
（2）①⇒③需要改变旋转中心，经过两次旋转得到，不属于平移，错误；
正确的有三种，故选C．
【点睛】解答此题要明确平移和旋转的性质：
（1）①经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；②平移变换不改变图形的形状、大小和方向（平移前后的两个图形是全等形）．
（2）①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．
8. 计算：（ ）
A. 100B. 110C. 1210D. 10000
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了利用完全平方公式进行计算，利用完全平方公式即可求解，熟练掌握完全平方公式的形式是解题的关键．
【详解】解：
，
故选D．
9. 如图在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
连接，延长交于D，根据线段垂直平分线性质及等腰三角形的性质证得，，根据三角形外角的性质即可求出．
【详解】解：连接AP，延长BP交AC于D，
，
∵点P是，的垂直平分线的交点，
，
，，，
故选：A．
10. 分式中，当时，下列结论正确的是（ ）
A. 分式的值为零B. 分式无意义
C. 若时，分式的值为零D. 若时，分式的值为零
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查分式的有意义的条件、分数值为零的条件，解答本题的关键是熟练掌握分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为零．
根据分式有意义的条件和分式值为零的条件即可求得结果．
【详解】当时，
，
即，
解得： ，
当，时，分式的值为零
故选：D．
11. 在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了含角的直角三角形的特征，作，，交的延长线于，根据含角的直角三角形的特征求得，，根据是锐角三角形可得，则可求解，熟练掌握“角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键．
【详解】解：作，，交的延长线于，如图：
，
，
，，
，
，，
是锐角三角形，
，即：，
满足条件的长可以是2，
故选：B．
12. 若关于的方程的解为整数，则整数的值的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有整数解确定出整数的取值即可得到结论．
【详解】解：，
去分母得：，
解得：，
∵分式方程的解为整数，
∴是，且，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∵，
∴，
综上，符合条件的整数为，
∴所有符合条件的整数a有3个．
故选：C．
【点睛】此题考查了分式方程的解，熟练分式方程的解法是解本题的关键．
二、填空题
13. 多项式中各项的公因式是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了寻找多项式中的各项的公因式.
先找出公因式的系数，即各项系数的最大公约数，然后再提取出相同字母，最后找相同字母的最低次幂.
【详解】解：由题意可知：各项系数的最大公约数为2，相同的字母为x，x的最小指数为2，
，的公因式是，
故答案为：.
14. 在边长为1的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是________．

【答案】6
【解析】
【分析】确定一组对应点，从而确定平移距离．
【详解】解：如图，点是一组对应点，，所以平移距离为6；
故答案为：6
【点睛】本题考查图形平移；确定对应点从而确定平移距离是解题的关键．
15. 若关于的方程无解，则_____________ ．
【答案】1
【解析】
【分析】先化为整式方程，然后根据方程无解，得，再代入计算即可求出答案．
【详解】解：∵，
化为整式方程，得，
∵原方程无解，则，
∴，
解得：；
故答案为：1．
【点睛】本题考查了分式方程的增根和无解，理解分式方程有增根和无解的含义是解题的关键．
16. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝，则BD的长为___．
【答案】
【解析】
【分析】如图所示，过点D作DE⊥BC交BC延长线于E，根据∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，利用勾股定理求出AC=5，然后利用勾股定理得到三角形ACD是直角三角形，再证明△ABC≌△CED得到CE，DE的长，最后理由勾股定理求出BD即可.
【详解】解：如图所示，过点D作DE⊥BC交BC延长线于E
∴∠DEC=90°
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4
∴
∵CD＝5，DA＝
∴，
∴
∴=90°
∵∠ABC=∠DEC=90°
∴∠ACB+∠DCE=90°，∠EDC+∠DCE=90°
∴∠ACB=∠CDE
又∵
∴△ABC≌△CED
∴，，
∴
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了勾股定理和全等三角形的性质与判定，勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
三、解答题（本大题共8个小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 如图，卡片A、B、C各代表一个代数式，从三张卡片中取两张进行因式分解运算．
（1）若选择B、C卡片，请进行因式分解；
（2）嘉嘉发现：“若选择A、B卡片，不论为何整数，其结果总可以被整除”，请确定满足条件的最小正整数的值．
【答案】（1）
（2）的值是3
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的应用；
（1）根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）求出，即可得到答案．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
由题意可知值总可以被整除，
即是整数的倍数，
满足条件的最小正整数的值是3．
18. 如图，在的方格纸中，每个小方格的边长为1，已知格点．
（1）在方格纸中画一个格点三角形（顶点均在格点上），使，点在上，点在上；
（2）将（1）中的向右平移1个单位，得到，画出；设扫过的最大面积为S，直接写出S的值．
【答案】（1）作图见解析
（2）图见解析，
【解析】
【分析】本题考查了作图，平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键；
（1）根据网格作图的特点，可以作出等腰直角三角形．
（2）利用割补法计算扫过的面积。
【小问1详解】
如图所示：
即为所求；
小问2详解】
，
，
为等腰直角三角形，
在的方格纸中，
为矩形
，
点Q最大为移动一个单元格到和D重合，
如图所示：
，
，
19. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是每人只能看到前一人给的式子，并进一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示：
但老师最后说，结果是错的，请你确定接力中出错的同学，并写出正确的过程．
【答案】乙、丁同学在接力中出错，正确答案为
【解析】
【分析】本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的乘除法法则、分式的约分法则是解题的关键．
根据分式的乘除法法则计算即可．
【详解】解：乙、丁同学在接力中出错．
正确的过程：
．
20. 下面是琪琪同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质；
（1）根据条件证明是等边三角形，根据三线合一的性质即可证明；
（2）根据条件证明是等边三角形，从而再证明即可．
【详解】解：方法一：如图：延长到点，使得，连接，
，
，
，，
又，
是等边三角形，
，
，
，
；
方法二：如图，在线段上取一点，使得，连接，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
即．
21. 某中学的校园中有两块草坪．草坪甲是边长为的正方形，中间有一个边长为2的正方形喷水池，草坪乙是长为，宽为的长方形，设两块草坪的面积分别为、．
（1）比较甲、乙两块草坪面积的大小；
（2）求甲、乙两块草坪的面积的比．
【答案】（1）
（2）甲、乙两块草坪的面积的比为
【解析】
【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式在几何图形中的应用，完全平方公式，分式的化简，根据图形分别表示出甲、乙两图中草坪的面积即可得到答案．
（1）根据题意分别表示出、，然后作差求解即可；
（2）列式根据分式的性质化简即可．
【小问1详解】
，；
，
，
，
；
【小问2详解】
．
所以甲、乙两块草坪面积的比为．
22. 如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，点落在上，连接．

（1）若．求的度数；
（2）若，，求长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后，对应边及对应角相等，以及勾股定理，掌握相关结论是解题关键.
（1）求出，结合即可求解；
（2）求出，根据旋转得，，进而得，即可求解；
【小问1详解】
解：在中，，，
，
由旋转得，，
，
．
【小问2详解】
解：在中，
，，，
，
由旋转得，，，
，
在中，由勾股定理得：．
23. 长为的春游队伍，以的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．
（1）求甲这次往返的时间，；（用含的代数式表示）
（2）求甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程．
【答案】（1），
（2）甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为
【解析】
【分析】本题考查了列分式及分式运算，读懂题目，列出式子是解题关键．
（1）根据路程速度和时间，列出方程即可求解；
（2）由甲这次往返队伍的过程中队伍行进的时间为，结合路程速度和时间即可求解．
【小问1详解】
解：由题意可知，，
∴，；
【小问2详解】
，
．
所以甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为．
24. 如图，中，，，从开始绕点逆时针旋转角，与射线相交于点，的角平分线所在的直线交射线相交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若为轴对称图形时，求；
（3）当、、的中垂线的交点落在的某一边上时，直接写出点到的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）或
（3）到的距离为或
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等等：
（1）由旋转得：，由角平分线的定义得到，再证明，即可证明；
（2）为轴对称图形，即为等腰三角形，先求出，由全等三角形的性质可得，再分如图，当时，当时，两种情况讨论求解即可；
（3）当、、的中垂线的交点落在的某一边上时，为直角三角形，然后分当时， 当时，两种情况讨论求解即可．
【小问1详解】
证明：由旋转得：，
平分，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：为轴对称图形，即为等腰三角形，
，，
，
∵，
∴，
如图，当时，则，
∵，
，
；

如图，当时，，
∴
，
；
【小问3详解】
解：当、、的中垂线的交点落在的某一边上时，为直角三角形，
当时，则，
∵，
∴，，
平分，
，
∴，
∴由角平分线的性质可得到的距离等于的长，即为2；
当时，则，
∴，
如图所示，过点E作于H，过点D作于T，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴到的距离为．

综上所述，到的距离为2或．定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在中，，．求证：．
方法一
证明：如图，延长至点，使，连接．
方法二
证明：如图，在线段上取一点，使得，连接．