河南省许昌市长葛市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
本试卷分试题卷和答题卡两部分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题中均有四个选项，其中只有一个选项是正确的，请将你选择的结果涂在答题卡上对应位置）
1. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的意义和性质．根据二次根式有意义的条件，被开方数大于或等于0，可以得出x的范围．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
故选：C．
2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义．被开方数不含开得尽方的因数或因式，不含分母；根据最简二次根式的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：B．
3. 下列计算正确是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
故选：A．
4. 下列长度的三条线段，能构成直角三角形的是（ ）
A. 8，9，10B. C. 20，21，32D. 6，8，10
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
【详解】解：A、∵，
∴长为8，9，10的三条相等不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴长为三条相等不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴长为20，21，22的三条相等不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴长为6，8，10的三条相等可以组成直角三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
5. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ）
A. ①，对角相等B. ③，有一组邻边相等
C. ②，对角线互相垂直D. ④，有一个角是直角
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质和矩形、菱形、正方形的判定定理，对它们之间转换的条件一一进行分析，即可得出结果．
【详解】解：A、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意；
B、③，有一组邻边相等的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意；
C、②，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意；
D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意．
故选：A.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定，解本题的关键在熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理．
6. 如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A. AB= CDB. AD= BCC. AB=BCD. AC= BD
【答案】D
【解析】
【分析】易得四边形ABCD为平行四边形，再根据矩形的判定∶对角线相等的平行四边形是矩形即可得出答案．
【详解】解：可添加AC＝BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了矩形的判定，矩形的判定有：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．
7. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形．若点A的坐标是，则点C的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了菱形性质以及勾股定理，先根据勾股定理得出，再结合菱形的性质，，即可作答．
【详解】解：过点A作，如图：
∵点A的坐标是，
∴
∴
∵四边形是菱形
∴
则
∴点C的坐标是，
故选：C
8. 如图，一轮船从港口出发以16海里/时速度向北偏东方向航行，另一轮船同时从港口出发以12海里/时的速度向南偏东方向航行，航行2小时后，两船相距（ ）

A. 25海里B. 30海里C. 40海里D. 60海里
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知，海里，海里，，，再利用勾股定理求出海里，即可得到两船的距离．
【详解】解：由题意可知，海里，海里，，，
，
在中，海里，
即两船相距40海里，
故选：C．
【点睛】本题考查了方位角，勾股定理，正确理解方位角，熟练掌握勾股定理是解题关键．
9. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD⊥BC于点D，则AD的长为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】首先由勾股定理得AB，AC，BC的三边长，从而有AB2+AC2＝BC2，得∠BAC＝90°，再根据S△ABC，代入计算即可．
【详解】解：由勾股定理得：AB，AC，BC，
∵AB2+AC2＝25，BC2＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴S△ABC，
∴，
∴AD＝2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，通过勾股定理计算出三边长度，判断出∠BAC＝90°是解题的关键．
10. 如图，在正方形中，是边上一动点（不与、重合），对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交、于点、，下列结论：
①；
②；
③；
④当是的中点时，．
其中正确的结论有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方形的每一条对角线平分一组对角可得，然后利用证明和全等即可判断①；根据全等三角形对应边相等可得，同理，证出四边形是矩形，得出，根据等角对等边得出，，故可判断②；根据矩形的性质可得，再利用勾股定理即可得到即可判断③；证明，是中位线，可得四边形是正方形，四边形是正方形，根据正方形的性质可得结论．
【详解】解：①∵四边形是正方形，是对角线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
故结论①正确；
②∵，
∴，
∵四边形是正方形，是对角线，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵正方形中，，
又∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故结论②正确；
③∵四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
故结论③正确；
④如图，
由①得，由②得，
∴，，，，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴点是的中点，点是的中点，
∴为的中位线，为的中位线，
∴，，
∴，，
又∵，，
∴四边形是正方形，四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故结论④错误；
∴正确的结论是①②③，共个．
故选：C．
【点睛】本题考查正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，等角对等边，直角三角形两锐角互余等知识．证明是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分，请将结果写在答题卡上对应位置）
11. 比较大小：________ （填“＞”或“＜”＝）．
【答案】>
【解析】
【分析】先将两个数平方，再比大小即可．
【详解】∵，，
又∵18>12，
∴．
故答案为：>．
【点睛】此题主要考查二次根式的大小比较．掌握比较二次根式大小的方法是解题关键．
12. 化简：＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质计算，即可得到答案．
【详解】
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解．
13. 如图，数轴上点A的坐标是4，于点A．，以原点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据，得到，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
在中，，
∵以原点圆心，长为半径画弧交数轴于点，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，解题的关键是利用勾股定理计算出OB的长．
14. 如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，若，四边形的面积为，则的长为______．
【答案】10
【解析】
【分析】根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．本题考查了菱形的判定与性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半的性质，判定出四边形是菱形是解题的关键．
【详解】解：根据作图，，
，
，
四边形是菱形，
，四边形的面积为，
，
解得．
故答案为：10．
15. 如图，E是线段BC上的一个动点，AD在线段AE上，于E，，，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】设 则利用勾股定理可得再构建坐标系内三点： 且 先求解的最小值，从而可得答案．
【详解】解：设 则
∵于E，，，
∴
∴
如图，构建如下坐标系与格点，
且
∴
∴当三点共线时，
最小，最小值为线段的长度，
此时
∴的最小值为：
故答案为：
【点睛】本题考查的是坐标与图形，勾股定理的应用，熟练的运用两点之间线段最短构建直角三角形，再利用勾股定理解题是关键．
三、解答题（8小题，共75分，请将解答过程写在答题卡上对应位置）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质以及完全平方公式、平方差公式、二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据二次根式的性质化简，再运算二次根式的加减，即可作答．
（2）先分别根据完全平方公式、平方差公式展开，再运算二次根式的加减，即可作答．
【小问1详解】
解：
=
=
【小问2详解】
解：
17. 请先把下面三角形的中位线定理补充完整，再证明．
三角形的中位线______三角形的第三边，并且______第三边的一半．
已知：如图，在中，D、E分别是边的中点．
求证：，且．
【答案】平行于；等于；证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质．延长至F，使，连接，先证明，得，，再证明四边形是平行四边形，可得结论．
【详解】解：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
证明：延长至F，使，连接．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，且．
18. 如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．

【答案】绳索AD的长度是
【解析】
【分析】设秋千的绳索长为，，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可作答．
【详解】解：设秋千的绳索长为，则，
依题意，因为
所以四边形是矩形，
则，
那么，
在中，，
故，
即
解得：，
所以绳索AD的长度是．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
19. 如图，平行四边形ABCD，E、F分别为AC、CA延长线上的点，当时．
（1）请你猜想：线段与位置关系是：______，大小关系是：______．
（2）证明你的猜想．
【答案】（1），
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定：
（1）连接交于O，先由平行四边形的性质得到，，再证明，得到四边形是平行四边形．则，．
（2）同（1）证明即可．
【小问1详解】
解：猜想线段与位置关系是，大小关系是．
证明如下：如图，连接交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∴，．
故答案为：，．
【小问2详解】
证明：如图，连接交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∴，．
故答案为：，．
20. 如图，菱形中，对角线交于点，点是的中点，延长到点，使，连接．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据菱形的性质得到，然后根据矩形的判定可证得结论；
（2）根据矩形的对角线相等求得，再根据菱形的性质和勾股定理求出对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半求解即可．
【小问1详解】
证明：∵点是的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，即，
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形的面积为．
【点睛】本题考查平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解答的关键．
21. 如图，在中，已知，于点D．
小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线，为对称轴，画出，的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长，相交于点G．
请按照小明的思路，探究并解答下列问题：
（1）求证：四边形是正方形．
（2）若，，则______．
【答案】（1）证明见解析
（2）3
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，轴对称的性质，勾股定理：
（1）根据题意得，，得，，根据得，根据得，则，，可得四边形是矩形，根据得，即可得；
（2）设，则，进而求出，，则，在中，根据勾股定理得 ，解方程即可得到．
【小问1详解】
解：根据题意得，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴四边形是矩形，
∵
∴，
∴矩形是正方形；
【小问2详解】
解：设，则
∵，，四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：3．
22. 在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点，，在同一直线上），并修建一条路，测得，，．
（1）问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明．
（2）求新路比原来的路少多少米？
【答案】（1）是从村庄到河边最近的路，理由见解析
（2）新路比原来的路少245米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用．
（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）设，则．在中根据勾股定理求出的长即可解答．
【小问1详解】
解：∵，，，
，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∴是从村庄到河边最近的路；
【小问2详解】
解：设，则．
∵，
，
∴，即，
解得：．
，
，
，
即新路比原来的路少245米．
23. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式
子的平方，如
善于思考的小明进行了以下探索：
设其中a、b、m、n均为整数，
则有．
∴，．
这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：______；______．
（2）利用所探索的结论，找一组正整数填空：______+______（______+______）．
（3）若，a、m、n均为正整数，求a的值．
【答案】（1），
（2）4，2，1，1（答案不唯一）
（3）a的值为7或13
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，
（1）根据上面的例子，将，按完全平方展开，可得出答案；
（2）由（1）可写出一组答案，不唯一；
（3）将展开得出，由题意得，，再由a、m、n均为正整数，可得出答案．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，；
故答案为：，．
【小问2详解】
解：由（1）可得，，，；
故答案为：4，2，1，1．
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，，
∵a、m、n均为正整数，
∴，，或，，；
∴a的值为7或13．