四川省眉山市2024届高三下学期第三次诊断考试数学（理）试卷(含答案)

这是一份四川省眉山市2024届高三下学期第三次诊断考试数学（理）试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．在复平面内,对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．设全集,集合,,则( )
A.B.C.D.
3．采购经理指数(PMI),是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一,具有较强的预测､预警作用.综合PMI产出指数是PMI指标体系中反映当期全行业(制造业和非制造业)产出变化情况的综合指数,指数高于50%时,反映企业生产经营活动较上月扩张;低于50%,则反映企业生产经营活动较上月收缩.2023年我国综合PMI产出指数折线图如下图所示:
根据该折线图判断,下列结论正确的是( )
A.2023年各月综合PMI产出指数的中位数高于53%
B.2023年各月,我国企业生产经营活动景气水平持续扩张
C.2023年第3月至12月,我国企业生产经营活动景气水平持续收缩
D.2023年上半年各月综合PMI产出指数的方差小于下半年各月综合PMI产出指数的方差
4．已知向量,,满足,,且,则( )
A.B.C.D.
5．的展开式中的系数为( )
A.20B.10C.D.
6．已知,则( )
A.B.C.D.
7．设O为坐标原点,过点的直线与抛物线交于M,N两点,若,则p的值为( )
A.B.C.2D.4
8．如图,该组合体由一个正四棱柱和一个正四棱锥组合而成,已知,,,则( )
A.平面B.平面
C.平面D.平面
9．四名同学参加社会实践,他们中的每个人都可以从A,B,C三个项目中随机选择一个参加,且每人的选择相互独立.这三个项目中恰有一个项目没有被任何人选择的概率为( )
A.B.C.D.
10．给出下述三个结论:①函数的最小正周期为;
②函数在区间单调递增;
③函数的图象关于直线对称.其中所有正确结论的编号是( )
A.①②③B.②③C.①③D.②
11．已知双曲线的左,右焦点分别为,.点A在C上,点B在y轴上,,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
12．若关于x的不等式恒成立,则的最大值为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．若x,y满足约束条件,则的最小值为__________.
14．已知的三边长,,,则的面积为__________.
15．若为奇函数,则__________.(填写符合要求的一个值)
16．已知球O的半径为3,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆,,其半径分别为,,若,,两圆的公共弦的中点为M,则__________.
三、解答题
17．某公司为改进生产,现对近5年来生产经营情况进行分析.收集了近5年的利润y(单位:亿元)与年份代码x共5组数据(其中年份代码,2,3,4,5分别指2019年,2020年,…,2023年),并得到如下值:,
（1）若用线性回归模型拟合变量y与x的相关关系,计算该样本相关系数r,并判断变量y与x的相关程度(r精确到0.01);
（2）求变量y关于x的线性回归方程,并求2024年利润y的预报值.
附:①;
②若,相关程度很强;,相关程度一般;,相关程度较弱;
③一组数据,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,;相关系数
18．已知数列的前n项和为,且,.
（1）求数列的通项公式;
（2）若__________,求数列的前n项和.
从①;
②;
③,这三个条件中任选一个补充在上面的横线上并解答问题.
19．如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD为菱形,平面平面ABCD,平面平面ABCD,,是等腰直角三角形,且.
（1）证明:平面平面CDE;
（2）若,求平面ADE与平面BCE所成锐二面角的余弦值的取值范围.
20．已知椭圆的离心率是,左､右顶点分别为,,过线段上的点的直线与C交于M,N两点,且与的面积比为.
（1）求椭圆C的方程;
（2）若直线与交于点P.证明:点P在定直线上.
21．已知函数.
（1）若过点可作曲线两条切线,求a的取值范围;
（2）若有两个不同极值点,.
①求a的取值范围;
②当时,证明:.
22．在直角坐标系xOy中,的圆心为,半径为2,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求的极坐标方程;
（2）过点O的直线交于P,Q两点,求的最大值.
23．已知函数.
（1）若对任意,使得恒成立,求a的取值范围;
（2）令的最小值为M.若正数a,b,c满足,求证:.
参考答案
1．答案：B
解析：由,对应的点位于第二象限,选择B.
2．答案：D
解析：由,选项A错误;,选项B错误;,选项C错误;因为,所以,所以选项D正确.
3．答案：B
解析：根据图表可知,各月PMI的中位数小于53%,A错误;2023年各月,2023年我国综合PMI产出指数均大于50%,表明我国企业生产经营活动持续扩张,C错误,B正确;2023年上半年各月PMI比下半年各月PMI的波动大,则方差也大,故D错误.
4．答案：A
解析：由题意得,则有,解得,又由,则有,解得,同理可得,所以,,,所以.
5．答案：C
解析：因为,相加的两项二项式展开后的通项分别为与,所以的系数为.
6．答案：A
解析：因为,所以,有,所以.
7．答案：C
解析：设,,直线MN的方程为:,联立方程得,,故,,从而-4,即,故选C.
8．答案：C
解析：如图,因为,,,
在平面中有,所以,平面,不平行于平面;同理,不平行于平面;易得,
,所以,又,,所以平面.
9．答案：C
解析：.
10．答案：B
解析：对于①由,最小正周期为,结论①不正确;对于②,由,有,,此时在区间单调递增,结论②正确;对于③,,对称轴由,确定,当时,,结论③正确.
11．答案：A
解析：设,则,,由于,关于y轴对称,故,又因为,所以,,所以,,所以,故选A.
12．答案：C
解析：依题意,,,不等式化为.设,则,当时,,单调递增;当时,单调递减,所以,在处取得极大值,也即最大值.又时,.由题知不等式恒成立,所以的图象恒在的图象的上方,显然不符题意;当时,为直线的横截距,其最大值为的横截距,再令,可得,且当直线与在点处相切时,横截距取得最大值.此时,切线方程为,所以取得最大值为.
13．答案：
解析：作出约束条件表示的可行域为以,,三点为顶点的及其内部,作出直线并平移,当直线经过点时,在y轴上的截距最小,此时目标函数取得最小值.
14．答案：
解析：由余弦定理有,所以,所以的面积.
15．答案：,填写符合,的一个值即可.
解析：依题意,,当,为奇函数,此时,则,,故填,等等.
16．答案：1
解析：如图,设,,,
则在中,,在中,,在中,,联立得,所以在中,,所以.
17．答案：（1）见解析
（2）78亿元
解析：（1）依题意,,
,
则,
则,故变量y与x的相关程度很强.
（2）令变量y与x的线性回归方程为.
,
所以,
所以,变量y关于x的回归方程为.
2024年,即时,(亿元).
所以,该公司2024年利润y的预报值为78(亿元).
18．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由,
当时,,得,
当时,,
整理得,,
又,所以,
所以数列是首项为3,公比为3的等比数列,
所以.
（2）若选①,由（1）可得,,
所以,
,
两式相减得
,
所以.
若选②,由（1）可得,.
若选③,由（1）可得,.
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）如图,取AB,CD的中点M,N,连接ME,EN,NF,FM.
因为,平面平面ABCD,
平面平面,
所以平面ABCD.
同理,平面ABCD.
所以.
又和是等腰直角三角形,所以,
四边形MENF为平行四边形,所以,
又因为,,
所以平面平面CDE.
（2）如图,以A点为原点,AB所在直线为y轴,过A平行于ME的直线为x轴,在平面
ABCD内垂直于AB的直线为z轴,建立空间直角坐标系.
设,,,
则,,,,.
所以,,.
设平面ADE的法向量为,则
令,得,,所以.
设平面BCE的法向量为,则
令,得,,所以.
所以.
设,则,
所以在上单调递减,所以
所以,
所以平面ADE与平面BCE所成锐二面角的取值范围是.
20．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由,,,
故,则.
由,得,,
故椭圆C的方程为:.
（2）由（1）可得,,设,.
显然直线MN的斜率不为0,所以设直线MN的方程为.
将与联立,
可得,
其中,
则,.
因为直线的方程为,直线的方程为,
联立直线与直线的方程可得:
.
由可得,即,
故点P在定直线上.
21．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）依题意,,
设过点的直线与曲线相切时的切点为,斜率,则,点的坐标代入可得,
则,
即有
解法1:若过点可作曲线两条切线,只需方程方程有两个不相等的实数根即可.
令,只需函数有2个零点即可.则,
①若,则时,时,时,,
此时时,取极大值;时,取极小值,
又,
时,,
函数只有1个零点,不合题意.
②若,同理可知,此时时,取极大值;时,取极小值,
又,时,,
函数只有1个零点,不合题意.
③若,,则时,;时,,
所以时,取极大值,
又时,,时,,
函数有2个零点,则必有,得,
故过点可作曲线两条切线时,a的取值范围是.
解法显然,.
若过点可作曲线两条切线,只需方程方程有两个不相等的实数根即可.令,
则,
令,则,
可知时,,单调递增;时,,单调递减,
所以,
故当时,,单调递增;时,,单调递减;时,,单调递减.
又时,由,则;
由上可知时,取得极大值,也即为时,取得最大值,
又时,;时,,
函数的大致图象如图所示.
所以方程有两个不相等的实数根时,.
故过点可作曲线两条切线时,
a的取值范围是.
（2）①由（1）知,,
因为有两个极值点,,即有两个实数根,,
令,,
可知时,,单调递增,此时;当时,,单调递减,此时,
所以即有两个实数根时,.
则有两个极点时,.
②由,即得,
要证明,只需证明.
由题,,
令,则,
欲证明,也即证明,
只需证明即可,
令,
可知,
则在时单调递增,故,则,令在时单调递增,则,
故,即
所以.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题知,的直角坐标方程为,
即
故的极坐标方程为.
（2）设.
联立直线PQ和圆C的方程得:
,
则,.
故,
故当时,取得最大值.
23．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,;当时,;当时,.则的最小值为4.
由于对任意,使得恒成立,
所以,解得,
故a的取值范围是.
（2）由（1）可知的最小值为,则,
则.
,
当且仅当,,且取“,即取“=”.
所以.