张家口市宣化第一中学2024届高三下学期押题卷（二）数学试卷(含答案)

这是一份张家口市宣化第一中学2024届高三下学期押题卷（二）数学试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知,则z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
2．设,,且,则a的取值范围为( )
A.B.C.D.
3．为了了解小学生的体能情况,抽取了某小学四年级100名学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,绘制如下频率分布直方图.根据此图,下列结论中错误的是( )
A.
B.估计该小学四年级学生的一分钟跳绳的平均次数超过125
C.估计该小学四年级学生的一分钟跳绳次数的中位数约为119
D.四年级学生一分钟跳绳超过125次以上优秀,则估计该小学四年级优秀率为
4．若,且,则( )
A.B.-2C.-3D.
5．设,为双曲线的左、右焦点,Q为双曲线右支上一点,点.当取最小值时,的值为( )
A.B.C.D.
6．安排5名大学生到三家企业实习,每名大学生只去一家企业,每家企业至少安排1名大学生,则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为( )
A.B.C.D.
7．对于数列,若存在正数M,使得对一切正整数n,都有,则称数列是有界的.若这样的正数M不存在,则称数列是无界的.记数列的前n项和为,下列结论正确的是( )
A.若,则数列是无界的
B.若,则数列是有界的
C.若,则数列是有界的
D.若,则数列是有界的
8．如图,中,,,D为BC的中点,将沿AD折叠成三棱锥,则当该三棱锥体积最大时它的外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．主动降噪耳机工作的原理是:先通过微型麦克风采集周围的噪声,然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声.设噪声声波曲线函数为,降噪声波曲线函数为,已知某噪声的声波曲线(,)部分图像如图所示,则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.的单调减区间为,
D.图像可以由图像向右平移个单位得到
10．设是公差为的无穷等差数列的前n项和,则下列命题正确的是( )
A.若,则是数列的最大项
B.若数列有最小项,则
C.若数列是递减数列,则对任意的:,均有
D.若对任意的,均有,则数列是递增数列
11．半正多面体(semiregularslid)亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形围成的多面体,半正多面体有且只有13种.最早用于1970年世界杯比赛的足球就可以近似看作是由12个正五边形和20个正六边形组成的半正面体,半正多面体体现了数学的对称美.如图所示的二十四等边体就是一种半正多面体,它由8个正三角形和6个正方形围成,它是通过对正方体进行八次切截而得到的.若这个二十四等边体的棱长都为2,则下列结论正确的是( )
A.MQ与平面AEMH不可能垂直
B.异面直线BC和EA所成角为
C.该二十四等边体的体积为
D.该二十四等边体外接球的表面积为
12．已知函数,的零点分别为,,则( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题
13．已知,,若,,则______.
14．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,,,则______.
15．P为椭圆上一点,曲线与坐标轴的交点为A,B,C,D,若,则P到x轴的距离为______.
16．若正实数a,b满足,则的最小值为______.
四、解答题
17．设数列的前n项和满足:,,记.
(1)证明:是等比数列,并求的通项公式;
(2)求的最大值.
18．如图,平面四边形ABCD中,,,.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足.
(1)求四边形ABCD的外接圆半径R;
(2)求内切圆半径r的取值范围.
19．近日,某芯片研发团队表示已自主研发成功多维先进封装技术XDFOI,可以实现手机SOC芯片的封装,这是中国芯片技术的又一个重大突破,对中国芯片的发展具有极为重要的意义.可以说国产先进封装技术的突破,激发了中国芯片的潜力,证明了知名院士倪光南所说的先进技术是买不来的、求不来的,自主研发才是最终的出路.研发团队准备在国内某著名大学招募人才,准备了3道测试题,答对两道就可以被录用,甲、乙两人报名参加测试,他们通过每道试题的概率均为,且相互独立,若甲选择了全部3道试题,乙随机选择了其中2道试题,试回答下列问题.(所选的题全部答完后再判断是否被录用)
(1)求甲和乙各自被录用的概率;
(2)设甲和乙中被录用的人数为,请判断是否存在唯一的p值,使得?并说明理由.
20．如图,在四棱柱中,平面ABCD,底面ABCD是矩形,,,M,N分别是线段AB,PC的中点.
(1)求证:平面PAD;
(2)在线段CD上是否存在一点Q,使得直线NQ与平面DMN所成角的正弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
21．已知抛物线的焦点在圆上.
(1)设点P是双曲线左支上一动点,过点P作抛物线C的两条切线,切点分别为A,B,证明:直线AB与圆E相切;
(2)设点T是圆E上在第一象限内且位于抛物线开口区域以内的一点,直线l是圆E在点T处的切线,若直线l与抛物线C交于M,N两点,求的最大值.
22．已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)求函数的最小值;
(3)若函数的图象与直线有两个不同的交点,,证明:.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意得,
所以复数z在复平面内对应的点为,位于第三象限,故选:C.
2．答案：C
解析：由已知,,,
,,即.
的取值范围是.
故选:C.
3．答案：B
解析：根据题意可得,可得,故A正确；根据频率分布直方图可得其平均数为,所以B错误;
由频率分布直方图可知,,而,所以中位数落在区间内,设中位数为a,则,可得,所以C正确;
由图可知,超过125次以上的频率为,所以优秀率为,即D正确.故选：B.
4．答案：C
解析：因为,所以,
由,得,即,
所以,即,解得
或(舍).
故选:C.
5．答案：A
解析：由双曲线定义得,
故
如图示,当P,Q,三点共线,即Q在M位置时,取最小值,
,,故方程为,
联立,解得点Q的坐标为(Q为第一象限上的一点),
故
故选:A.
6．答案：D
解析：5名大学生分三组,每组至少一人,有两种情形,分别为2,2,1人或3,1,1人;
当分为3,1,1人时,有种实习方案,
当分为2,2,1人时,有种实习方案,
即共有种实习方案,
其中甲、乙到同一家企业实习的情况有种,
故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为,故选:D.
7．答案：C
解析：对于A,恒成立,存在正数,使得恒成立,
数列是有界的,A错误;
对于B,,
,,即随着n的增大,不存在正数M,使得恒成立,
数列是无界的,B错误;
对于C,当n为偶数时,;当n为奇数时,;
,存在正数,使得恒成立,
数列是有界的,C正确:
对于D,,
;
在上单调递增,,
不存在正数M,使得恒成立,数列是无界的,D错误.
故选:C.
8．答案：C
解析：在中,,,D为BC的中点,
所以,,,,
所以,在三棱锥中,,,
因为,平面BCD,
所以,平面BCD,
所以,当底面三角形BCD的面积最大时,该三棱锥的体积最大,
因为,当且仅当时等号成立,
所以,当时,三角形BCD的面积最大,此时三棱锥的体积最大,
所以,DA,DB,DC两两垂直,
所以,三棱锥的外接球即为以DA,DB,DC为邻边的正方体的外接球,
所以,棱锥的外接球直径为以DA,DB,DC为邻边的正方体的体对角线,
所以,三棱形的外接球的半径满足,
所以,三棱形的外接球的表面积为.
故选:C.
9．答案：AB
解析：对于A,由已知,,,故选项A正确:
对于B,,由图像知,,,
又,且在的单调递减区间上,
,,,,
又,,
,故选项B正确;
对于C,,
由,,解得,,
的单调减区间为,,故选项C错误;
对于D,图像向右平移个单位得到:
,
故选项D错误.
故选:AB.
10．答案：BD
解析：对于A:取数列为首项为4,公差为-2的等差数列,,故A错误;
对于B：等差数列中,公差,是关于n的二次函数.当数列有最小项,即有最小值,对应的二次函数有最小值,对应的函数图象开口向上,,B正确;
对于C:取数列为首项为1,公差为-2的等差数列,,,即恒成立,此时数列是递减数列,而,故C错误;
对于D:若数列是递减数列,则,一定存在实数k,当时,之后所有项都为负数,不能保证对任意,均有.
故若对任意,均有,有数列是递增数列,故D正确.
故选:BD.
11．答案：ABC
解析：对于A,若平面AEMH,因为平面AEMH,所以,又因为为等边三角形,所以,这与矛盾,故MQ与平面AEMH不可能垂直,所以A正确:
对于B,因为,所以异面直线BC和EA所成的角即为直线AD和EA所成的角,设角,在正六边形ADGPNE中,可得,所以异面直线BC和EA所成角为,所以B正确;
对于C,补全八个角构成一个棱长为的一个正方体,则该正方体的体积为,其中每个小三棱形的体积为,
所以该二十四面体的体积为,所以C正确:
对于D,取正方形ACPM对角线的交点为O,即为该二十四面体的外接球的球心,其半径为,所以该二十四面体的外接球的表面积为,所以D不正确.故选:ABC.
12．答案：BC
解析：对A,,由的图象向右向上各平移一个单位得到图象,
函数的图像关于直线对称,即可知点A,B关于直线对称.
,,故A不正确;
对B,由,故B正确:
对C,,
,,等号不成立,,故C正确;
对D,由图知,
,易知函数在上单调递减,
所以,,故D不正确.
故选:BC.
13．答案：
解析：,且,,
,故
故答案为:.
14．答案：
解析：,由正弦定理,得；
又,
由正弦定理,得,
将代入上式,化简整理得,
两边同除以,得,
解得或(舍).
故答案为:.
15．答案：
解析：不妨设,,,,
则A,B为椭圆的焦点,所以,
又,所以,
且,所以P在以C、D为焦点的椭圆上,且,所以,
所以P为椭圆上一点,由,解得,则,故P到x轴的距离为.故答案为:.
16．答案：
解析：因为,所以,
所以,即令,则有,设,则,由得当时,,单调递增,当时,,单调递减,所以,即,又因为,所以,当且仅当时等号成立.
所以,从而,所以设,则,由得当时,,单调递减,当时,,单调递增,所以,所以的最小值为.故答案为:.
17．答案：(1)证明见解析,
(2)
解析：(1)由已知可得,①,
当时,有②,
①-②整理可得,,
所以,即,
又,所以,
所以,
所以是首项为,公比为的等比数列,
所以,
则;
(2)由(1)可知,,
所以,当时,有,
所以要求的最大值,先比较与的大小,
令,则,
根据函数的单调性,可知当时,单调递增.
且时,有,所以.
所以,时,有,即；
当时,有,所以单调递增.
又,
所以时,,
所以时,有,即单调递减,
又,,,,,
所以最大,此时.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)在中,,
所以,由正弦定理,,可得,再由余弦定理,,又,所以.因为,所以,所以A,B,C,D四点共圆,则四边形ABCD的外接圆半径就等于外接圆的半径.又,所以.
(2)由(1)可知:,则,则.
在中,由正弦定理,
,所以,,则
又,所以,所以,,所以.
19．答案：(1),
(2)不存在,理由见解析
解析：(1)由题意,设甲答对题目的个数为X,得,
则甲被录用的概率为,
乙被录用的概率为.
(2)的可能取值为0,1,2,则,
,
.
设,
则.
当时,单调递减,
当时,单调递增,
又,,,
所以不存在p的值,使得.
20．答案：(1)证明见解析
(2)存在,见解析
解析：(1)如图,取PB中点E,连接ME,NE.
,N分别是线段AB,PC的中点,.又平面,平面PAD,
平面PAD,同理得平面PAD.
又,平面平面MNE.
平面,平面PAD
(2)ABCD为矩形,,平面,,,两两垂直.
依次以AB、AD、AP为x、y、z轴建立如图的空间直角坐标系,
则,,,,PC中点,,.
设平面DMN的法向量,则,即,
取,得,,.
若满足条件的CD上的点Q存在,设,,又,则.设直线NQ与平面DMN所成的角为,则,
解得或.
已知,则,.
,,,.
故CD上存在点Q,使直线NQ与平面DMN所成角的正弦值为,且.
21．答案：(1)证明见解析
(2)5
解析：(1)抛物线的焦点为,故可知,设,的直线方程为,的直线方程为,则,
由于PA与抛物线相切,所以,故方程的根为,将其代入抛物线方程得,故,
同理,,因此m,n是方程的两个根,
故,,
直线AB的方程为,化简得,
圆心到直线AB的距离为,
由于,,将其代入得,故直
线AB与圆E相切
(2)联立,
设,且满足,,则,则,此时MN的直线方程为
联立直线MN与抛物线方程,
设,,所以,,
进而,,
,
因此
由于,当时,时取最大值5,由于T是圆E上在第一象限内且位于抛物线开口区域以内的一点,所以M,N在T的两侧,故,故此时的最大值为5.
22．答案：(1)单调递减区间是,单调递增区间是
(2)
(3)证明见解析
解析：(1)由函数可得定义域为,,
令可得,
当,,即在上单调递减；
当,,即在单调递增;
所以,函数的单调递减区间是,单调递增区间是.
(2)由题意得,其定义域为,,当,,即在上单调递减,当,,即在单调递增;所以,即的最小值是.
(3)由(2)可知,
即,直线为函数的一条切线,,取,,,所以在处的切线方程,即
(下面证明此切线在函数图像下方)
令,,
又令,恒成立,
则为单调递增函数,又,
当时,,此时单调递减,
当,,此时单调递增,所以,
所以函数图像夹在直线和直线之间,
直线与直线的交点为,
与直线的交点为,
不妨设,则.