11，广东省惠州市惠阳高级中学初中部2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份11，广东省惠州市惠阳高级中学初中部2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题．，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题．（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的知识点是最简二次根式，解题关键是正确理解最简二次根式的概念．
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【详解】解：A．，不是最简二次根式；
B．，不是最简二次根式；
C． ，不是最简二次根式；
D． 是最简二次根式；
故选D．
2. 下列条件中，使不是直角三角形的是（ ）
A. ，，B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的定义及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理来判断直角三角形及直角三角形的定义是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理及根据角的比例算出最大的角与作比较逐一判断即可求解．
【详解】解：∵，是直角三角形，故A不符合题意；
由题意：令，则，，
∴，故是直角三角形，故B不符合题意；试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。，故是直角三角形，故C不符合题意；
由，
则：最大的角，故不是直角三角形，故D符合题意，
故选：D．
3. 如图，在中，，E，F，G，H分别是边的中点，连接，则对四边形的形状描述最准确的是（ ）
A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理、矩形的判定定理是解题的关键．连接、，根据菱形的判定定理得到平行四边形为菱形，根据菱形的性质得到，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理解答即可．
【详解】解：连接、，
四边形为平行四边形，，
平行四边形为菱形，
，
，，，分别是边，，，的中点，
是的中位线，是的中位线，是的中位线，
，，，，，
，，，
四边形平行四边形，
，，，
，
平行四边形为矩形，
故选：B．
4. 不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）.
A. ，AD=BC
B. ，∠A=∠C
C. ，AD=BC
D. ∠A=∠C，∠B=∠D
【答案】A
【解析】
【详解】解：根据平行四边形的判定，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故B可以；
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知C能判定；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形，可知D正确，
而A条件不能判断四边形是平行四边形
故选A
5. 若菱形的两条对角线的长分别为6和10，则菱形的面积为（ ）
A. 60B. 30C. 24D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】由菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求解．
【详解】解：菱形的面积= ×6×10=30，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键．
6. 在平行四边形中，的平分线分成和两条线段，则平行四边形的周长为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质，的平分线分成和两条线段，设∠A的平分线交BC于E点，有俩种可能，BE=4或3，证明△ABE是等腰三角形，即可分别求出周长．
【详解】解：在平行四边形中，
∠DAE=∠AEB
又AE平分∠BAD
∠BAE=∠DAE
∠BAE=∠BEA
BA=BE
当BE=3，CE=4时；
可得=20
当BE=4，CE=3时；
可得=22
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是根据BE的两个值分别求出俩个答案．
7. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用勾股定理求出的长，再根据少走的路长为，计算即可．
【详解】，，，
，
少走的路长为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确少走的路为是解本题的关键．
8. 如图所示，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）
A. 4B. 6C. 16D. 55
【答案】C
【解析】
【分析】运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．
【详解】解：如图：
a，b，c都是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，，
在中，由勾股定理得，
．
故选：C．
【点睛】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强，解题的关键是灵活运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解．
9. 已知，化简二次根式的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查二次根式的性质和化简，根据，由，化简解答即可．
【详解】解：，
，
故选：B．
10. 如图，正方形的面积为6，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为（ ）
A. 3B. 6C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接．由正方形的对称性可知，则，依据两点之间线段最短可知当点、、在一条直线上时，有最小值，最小值，然后依据正方形和等边三角形的性质求解即可．
本题主要考查的是正方形的性质、轴对称最短路径问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，明确当点、、在一条直线上是，有最小值是解题的关键．
【详解】解：连接．
点与关于对称，
，
．
由两点之间线段最短可知当点为点处时，有最小值，最小值．
正方形的面积为6，
又是等边三角形，
．
的最小值为．
故选：D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. 若二次根式有意义时，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：二次根式有意义，
，
解得：，
故答案为：．
12. 如图，在矩形中，，对角线，相交于点O，垂直平分于点E，则的长等于______．
【答案】6
【解析】
【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出，进而求解即可．
此题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质和线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．
【详解】解：∵四边形是矩形，
，，，，
，
∵垂直平分，
，
，
．
故答案为：6．
13. 如图，菱形ABCD中，点E是AB的中点．AC=16cm， BD=12cm，则OE=___cm．
【答案】5
【解析】
【分析】由菱形中，利用菱形的性质求得AD的长，再利用三角形的中位线性质即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵AC=16cm，BD=12cm，
∴OA=8cm，OD=6cm，
∴cm，
∵点E是AB中点，
∴OE=AD=5cm，
故答案：5．
【点睛】此题考查了菱形的性质以及三角形中位线的性质，注意掌握菱形的对角线互相垂直平分、四条边相等是解题的关键．
14. 已知，化简：_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质，熟练掌握二次根式和绝对值的性质是解题的关键．
根据的取值范围得出，，根据二次根式的性质和绝对值的性质化简即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴
，
故答案为：．
15. 如图，点E是正方形外一点，连接、和，过点A作的垂线交于点P，若，．下列结论：①；②；③点B到直线的距离为；④．则正确结论的序号是______．
【答案】①②④
【解析】
【分析】由正方形的性质，余角的性质可以证明，由，得到，因此，由勾股定理即可求出的长，得到到直线的距离小于，由等腰直角三角形的性质得到，的长，由勾股定理求出的值，即可求出正方形的面积．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，故②正确；
是等腰直角三角形，
，
，
，
到直线的距离小于，故③错误；
过点A作交的延长线于点H，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
正方形的面积，故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，关键是由全等三角形的性质证明，由勾股定理求出的长，的长．
三、解答题（一）（共3小题，每小题8分，共24分）
16. （1）计算：．
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，熟练掌握运算顺序和法则是解题关键．
（1）首先计算负整数指数幂，二次根式的乘法，绝对值，然后计算加减；
（2）根据二次根式的混合运算法则求解即可；
【详解】（1）
；
（2）
．
17. 如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点E、F，连接，．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质，得到，，再根据平行线和互补的性质，推出，易证，进而证明四边形是平行四边形，得到，即可证明结论．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
．
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】
【解析】
【分析】先计算两个括号内的减法运算，最后再计算除法运算，得出结果后，把x的值代入计算即可．
【详解】解：
＝
＝
＝
＝，
当x1时，
原式＝
＝
＝．
【点睛】此题考查了分式的化简求值、二次根式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键．
四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分）
19. 如图，已知等腰三角形ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上的一点，且BD=12cm，CD=16cm．
（1）求证：△BCD是直角三角形；
（2）求△ABC的周长．

【答案】（1）详见解析；（2）cm．
【解析】
【分析】（1）求出，再根据勾股定理的逆定理得出即可；
（2）设，则，根据勾股定理求出 ，求出，再求出周长即可．
【详解】（1）证明：中，， ，．
，
，
是直角三角形；
（2）解：设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即，
，
的周长是．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，能灵活运用定理进行计算是解此题的关键．
20. 如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E，F连接AF，CE．
（1）求证：OE＝OF；
（2）求证：四边形AFCE是菱形．
【答案】（1）OE＝OF，详见解析；（2）四边形AFCE是菱形，详见解析
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质得出AD//BC，求出∠EAO＝∠FCO，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）根据平行四边形的判定得出四边形AFCE是平行四边形，再根据菱形的判定得出即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵AC的中点是O，
∴OA＝OC，
在和中，
，
，
∴OE＝OF；
（2）∵OE＝OF，AO＝CO，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．
【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定、菱形的判定；关键在于掌握好相关的基础知识．
21. 如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止．
（1）P、Q出发4秒后，求PQ的长；
（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？
【答案】（1）
（2）9.6秒或16秒
【解析】
【分析】（1）根据题意可以先求出BQ和BP的长，然后根据勾股定理即可求得PQ的长；
（2）根据题意可知存在两种情况，然后分别计算出相应的时间即可．
【小问1详解】
解：由题意可得，
BQ=2×4=8（cm），BP=ABAP=161×4=12（cm），
∵∠B=90°，
∴PQ=（cm），
即PQ的长为cm；
【小问2详解】
解：当BQ⊥AC时，∠BQC=90°，
∵∠B=90°，AB=16cm，BC=12cm，
∴AC=（cm），
∵，
∴，
解得cm，
∴CQ=（cm），
∴当△CQB是直角三角形时，经过的时间为：（12+）÷2=9.6（秒）；
当∠CBQ=90°时，点Q运动到点A，此时运动的时间为：（12+20）÷2=16（秒）；
由上可得，当点Q在边CA上运动时，出发9.6秒或16秒后，△CQB能形成直角三角形．
【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合和分类讨论的数学思想解答．
五、解答题（三）（共2小题，每小题12分，共24分）
22. 如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接．

（1）求证：；
（2）若，试判断四边形的形状，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）先证明，，，再证明，从而可得结论；
（2）先证明四边形是平行四边形，由，是斜边的中线，可得，从而可得结论；
（3）如图，连接交于点O，过点F作，交的延长线于H，证明，，，证明四边形是平行四边形，可得，，证明四边形是矩形，可得，，再利用勾股定理可得答案．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵E是的中点，是边上的中线，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
四边形是菱形，
证明：，，
∴四边形是平行四边形，
∵，是斜边的中线，
∴，
∴平行四边形是菱形．
【小问3详解】
如图，连接交于点O，过点F作，交的延长线于H，

∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，，
∴四边形平行四边形，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，化为最简二次根式，熟记特殊四边形的判定与性质是解本题的关键．
23. 综合与实践
问题情境：
如图1，把一个含角的直角三角板和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C始终重合，连，取的中点M，的中点N，连接、．
特例感知：
（1）若直角三角板和正方形如图1摆放，点E、F分别在正方形的边、上，请判断与之间的数量关系，并加以证明；
深入探究：
（2）若直角三角板和正方形如图2摆放，点E、F分别在、的延长线．其他条件不变，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
（3）若，，连接，在摆放的过程中，的面积存在最大值和最小值，请直接写出和的值．
【答案】（1），证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3），．
【解析】
【分析】（1）连接，证明，得，再根据直角三角形斜边上中线的性质和三角形中位线定理可得答案；
（2）连接，由（1）同理可证明结论；
（3）连接，连接，设交于，交于，首先证明是等腰直角三角形，可得，再根据三角形三边关系知，从而解决问题．
【详解】（1），
证明如下：
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
为的中位线，
，
；
（2）仍然成立，证明如下：
如图，连接，
四边形是正方形，
，
即，
，
为的中点，
，
；
（3）如图3，连接，
设交于，交于，
，
，
，
，
，
，
，
∵四边形是正方形，，
，
，
由题意可知，，
即，
当时，
最小值
当时，
最大值
，．
【点睛】本题四边形综合题，主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形三边关系等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键．