15，河北省邯郸市2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题

这是一份15，河北省邯郸市2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题，共14页。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的乘法运算计算得解.
【详解】.
故选：B
2. 若向量满足，且，则向量的夹角为（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】B
【解析】
【分析】由,平方求出,代入向量夹角公式,求出的夹角余弦值,即可得结果.
【详解】设的夹角为
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故选:B
【点睛】本题考查向量的模长和向量的夹角计算,着重考查计算能力,属于基础题.
3. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由斜二测画法还原该平面图形的原图，计算可得．
【详解】在直角梯形中，，，
则，
直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形，
，
所以该平面图形的高为.
故选：C.
4. 已知圆锥的母线长为2，轴截面面积为，则圆锥的侧面积为（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件求出圆锥的底面半径和高，再利用公式求侧面积即可.
【详解】已知圆锥的母线长，设圆锥的底面半径为，高为，
由已知得
解得或，
由于圆锥的侧面积为：，
所以，或，
故选：D.
5. 在中，内角，，的对边分别是，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角正弦化简求解即得.
【详解】在中，由正弦定理及，得，
而，则，又，于是，
而，所以．
故选：A
6. 已知，为两个不同的平面，，，为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，且，则
B 若，且，则
C. 若，，则
D. 若，，且，，则
【答案】A
【解析】
【分析】根据线面位置关系中平行的有关判定和性质逐一判断即可.
【详解】对于A，由面面平行的定义可知，若两个平面平行，则其中一个面内的任意一条直线平行于另一个平面，故A正确；
对于B，若则或，故B错误；
对于C，若，，则或异面或 相交，故C错误；
对于D，若，且，则，或，故D错误，
故选：A.
7. 已知为复数，则“实部大于0”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】设出复数的代数形式，利用模的定义变形给定不等式，再利用充分条件、必要条件的定义判断得解.
【详解】设，，则，
所以z的实部大于0是的充要条件．
故选：C
8. 在中，角，，所对的边分别是，，，其中为常数，若，且，则的面积取最大值时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦定理角化边可得，再由已知不等式求出的范围，结合二倍角的正弦将的面积建立为的函数并探讨最大值即得.
【详解】在中，由及余弦定理，得，即，则，
又，则有，即，又，因此，
则，当且仅当，即时取等号，
所以的面积取最大值时，．
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，其中，是虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则的虚部为
C. 若为纯虚数，则
D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】把代入，利用复数的除法运算计算即可判断AB；利用复数除法运算计算，再结合纯虚数及模的意义计算判断CD.
【详解】当时，，
对于A，，A正确；
对于B，z的虚部为，B错误；
，
对于C，z为纯虚数，则，满足，C正确；
对于D，，则，解得或，D错误，
故选：AC
10. 已知，，为非零向量，下列说法正确的是（ ）
A. 向量在向量上的投影向量可表示为
B. 若，，则
C. 若向量可由向量，线性表出，则，，一定不共线
D. 若，则
【答案】AB
【解析】
【分析】利用投影向量定义判断A；利用共线向量定理推理判断B；举例说明判断CD.
【详解】对于A，由投影向量的定义，得向量在向量上的投影向量可表示为，A正确；
对于B，均为非零向量，存在实数m，n使得，，则，B正确；
对于C，令，，，有，而共线，C错误；
对于D，令，，，有，而，D错误.
故选：AB
11. 四棱锥的底面为正方形，，，，，动点在线段上，则（ ）

A. 直线与直线为异面直线
B. 四棱锥的体积为2
C. 在中，当时，
D. 四棱锥的外接球表面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据异面直线的定义判断A，根据锥体体积公式判断B，由条件确定点的位置，结合锥体体积公式，判断C，确定四棱锥的外接球的半径，结合球的表面积公式判断D.
【详解】对于A，因为平面，平面，
点不在直线上，
所以直线与直线为异面直线，A正确；
对于B，因为，，平面，，
所以平面，
又，，四边形为正方形，
所以四棱锥的高，底面面积为，
所以四棱锥的体积，B错误，
对于C，因为平面，平面，
所以，所以为直角三角形，又，
所以，又，，，
所以，所以，所以，
所以点到平面的距离为，
所以，C正确，
对于D，因为平面，平面，
所以，
因为，，平面，，
所以平面，又平面，
所以，故为直角三角形，
同理可证为直角三角形，
取的中点，则，
所以四棱锥的外接球的外接球的球心为，
所以四棱锥的外接球的半径为，
所以四棱锥的外接球得表面积，D正确，
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 将一实心铁球放入圆柱形容器中（厚度忽略不计），铁球恰好与圆柱的内壁相切，且铁球的最高点与圆柱上底面在同一平面内，则铁球的体积与圆柱形容器的体积之比为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，设出铁球半径，利用球和圆柱的体积公式计算即得.
【详解】设铁球的半径为r，则圆柱的高为2r，所以铁球的体积与圆柱形容器的体积之比为．
故答案为：
13. 已知，，为复数，且，则______.
【答案】1
【解析】
【分析】根据给定条件，利用复数模的性质、共轭复数的性质计算得解.
【详解】令，显然，
则，
，
，
，
由，得，，
所以．
故答案为：1
14. 在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足.设分别为四边形与的面积，则______.
【答案】
【解析】
【分析】设出梯形两底的长，取AB，CD，BD，AC的中点M，N，X，Y，并探讨它们的关系，结合已知向量等式确定点P的位置并求出，再由三角形、梯形面积公式求解即得.
【详解】在四边形中，，则四边形是梯形，且，令，，
记M，N，X，Y分别是AB，CD，BD，AC的中点，显然，
于是点M，X，Y，N顺次共线并且，
显然，，而，则，
因此点P在线段XY上，且，设A到MN的距离为h，
由面积公式可知．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知，复数，.
（1）若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围；
（2）设为坐标原点，，在复平面内对应的点分别为，（不与重合），若，求.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出，再利用复数的几何意义列出不等式组求解即得.
（2）利用复数的向量表示，结合给定数量积求出，进而求出，，再求出复数的模.
【小问1详解】
依题意，，而在复平面内对应的点位于第三象限，
则，解得，
所以m的取值范围为.
【小问2详解】
依题意，，，
由，得，解得或，
而时，为原点，不符合题意，因此，，，，
所以．
16. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量与垂直.
（1）求；
（2）若，求的周长的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量与垂直，由求解；
（2）由（1）得到，再由三角形周长为 求解.
【小问1详解】
解：因为向量与垂直，
所以，由于，
即 ，
因为 ，
所以 ；
【小问2详解】
由（1）知：，
则三角形的周长为 ，
，
，
，
因为 ，所以 ，
所以 ，则周长的范围是 .
17. 如图，在四棱锥中，，，，设，分别为，的中点，.

（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面.
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）连接，利用三角形中位线及平行四边形性质证得，再利用线面平行的判定推理即得.
（2）由（1）的信息，利用线面平行的判定、面面平行的判定推理即得.
【小问1详解】
在四棱锥中，连接，由，分别为，的中点，得，
而，，则，四边形为平行四边形，
因此，而平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
由，得是的中点，而为中点，则，
又平面，平面，于是平面，
由（1）知，，而平面，平面，
因此平面，又平面，
所以平面平面.
18. 如图，圆柱的底面半径为1，侧面积为，，分别是圆柱上、下底面圆的一条直径，且点在下底面的投影点平分圆弧.
（1）若圆柱上下底面的圆周均在球的表面上，求球的表面积；
（2）求四面体的体积.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由圆柱的侧面积求出圆柱的高，再利用球面的性质求出圆柱外接球半径即可得解.
（2）连接，，将四面体的体积转化为两个三棱锥体积和求解.
【小问1详解】
设圆柱的高为h，由圆柱的侧面积为，底面圆半径，得，解得，
设球O的半径为R，由对称性知，球心为线段的中点，则，
所以球O的表面积为.
【小问2详解】
连接，，则四面体的体积等于四面体和的体积之和，
由为圆柱下底面圆的直径，得平面截圆柱所得的截面是圆柱的轴截面，
又为圆柱上底面圆的直径，且点在下底面的投影点平分圆弧，
因此点A，B到平面的距离相等，均为1，
则四面体的体积，
所以四面体的体积为．
19. 在中，角，，所对的边分别是，，，已知，.
（1）求；
（2）作角的平分线，交边于点，若，求的长度；
（3）在（2）的条件下，求的面积.
【答案】（1）1； （2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合差角的正弦公式及同角的三角函数公式计算即得.
（2）利用正弦定理求出，再利用余弦定理建立方程求出.
（3）利用正弦定理求出边，再利用三角形面积公式计算即得.
【小问1详解】
在中，由及正弦定理，得，
由，得，则，
于是，
整理得，而，则，
所以.
【小问2详解】
由AD为的平分线，得，由（1）知，，
在中，由正弦定理，则，
由余弦定理得，即，
整理得，而，
所以.
【小问3详解】
由（2）知，，
由正弦定理得，则，
所以的面积．