2024年陕西省西安市灞桥区西安滨河学校中考模拟数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分． 每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 年是龙年，本次春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”，请问的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相反数的概念：绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数，的相反数是．
【详解】且与符号相反
是的相反数．
故选：B．
2. 由4个相同的小正方体组成的几何体如图所示，则它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【详解】解：从左面看可得到第一列为2个正方形，第二列有一个正方形．
故选D．
【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式减法运算法则直接求解即可得到答案．
【详解】解：
，
故选：A．
【点睛】本题考查分式减法运算，涉及因式分解、通分、约分等知识，熟练掌握分式减法运算法则是解决问题的关键．
4. 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过顶点作直线l支撑平台，直线l将分成两个角即、，
根据平行线的性质即可求解．
【详解】
如图所示，过顶点作直线l支撑平台，直线l将分成两个角即、
∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l支撑平台
∴直线l支撑平台工作篮底部
∴、
∵
∴
∴
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
5. 若一次函数图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. y随x的增大而增大D. 时，
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据图像中过两点，求出一次函数的解析式，然后根据函数的性质进行判断即可．
【详解】首先将代入一次函数解析式，得
，
解得，
所以解析式为 ；
A、,由求出的，可知此选项错误；
B、，由求出的，可知此选项正确；
C、因为k＜0，所以y随x的增大而减小，故此选项错误；
D、将x=3代入， ，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数图像的性质和求一次函数解析式，熟练掌握函数图像与函数解析式中系数 的关系是解题关键．
6. 如图，在矩形中，连接，分别以点A和C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交于点E，交于点F．若，，则线段的长为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质、矩形的性质和解直角三角形，如图，利用基本作图得到，，由于，则，所以，根据余弦的定义，在中求出，在中求出，然后计算即可，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
【详解】解：由作法得垂直平分，设垂足为点，如图，
，，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
．
故选：B．
7. 如图，AB、BC为的两条弦，连接OA、OC，点D为AB的延长线上一点，若，则的度数为（ ）

A. 100°B. 118°C. 124°D. 130°
【答案】C
【解析】
【分析】根据∠CBD的度数可先求出弧AC所对应的圆周角的度数，进而可得答案．
【详解】解：如图，在优弧AC上取点P，连接PA，PC
∵
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质与圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
8. 已知二次函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线的顶点恰好落在原抛物线图象上，则a的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出平移后的抛物线，进而求出顶点坐标，待入原解析式，进行求解即可．
【详解】解：，
由题意，得，新的抛物线的解析式为：，
∴新抛物线的顶点坐标为，
∵所得新抛物线的顶点恰好落在原抛物线图象上，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查二次函数图象的平移，待定系数法求二次函数解析式．熟练掌握抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 若代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是____________
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了分式及二次根式有意义的条件．直接利用分式和二次根式有意义的条件解答即可．
【详解】解：代数式有意义，
，
解得．
故答案为：．
10. 如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1800°，那么该多边形的一个外角是______ ．
【答案】30°##30度
【解析】
【分析】由多边形的内角和公式求得多边形的边数，然后根据任意多边形的外角和是360°求解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意得：（n-2）×180°=1800°，
解得：n=12，
360°÷12=30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，由多边形的内角和公式求得多边形的边数是解题的关键．
11. 一个扇形的圆心角是，半径是，则扇形的弧长是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了扇形的弧长公式的运用，正确记忆弧长公式是解题的关键．由弧长公式是即可求出弧长．
【详解】解：根据题意，扇形的弧长是：．
故答案为：．
12. 如图，为等边三角形，且轴于点B， 反比例函数 经过点A与点C， 则________．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比函数的图象和性质，等边三角形的性质，巩勾股定理．过点C作，可得轴，再根据等边三角形的性质可得点A的坐标为，点C的坐标为，，从而得到，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作，

∵轴，
∴轴，
∵为等边三角形，，
∴，，点A的坐标为，
∴，点C的坐标为，
∴，
解得：．
故答案为：
13. 如图，中，，，点为线段上一动点，连接，以为直角边在右侧作等腰直角，连接，则的最小值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】作，且，连接，则为等腰直角三角形，作于，证明，得到，证明，结合勾股定理得出，，，过于，于，则，得出四边形是矩形，证明得出，从而推出四边形是正方形，推出，求出，再由当时，有最小值，此时，即可得解．
【详解】解：如图，作，且，连接，则为等腰直角三角形，作于，
、为等腰直角三角形
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
，，，
过于，于，则，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
当时，有最小值，此时，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、垂线段最短等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
三、解答题（共13小题，计81分． 解答应写出过程）
14. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据实数的混合运算法则即可求解．
【详解】原式
【点睛】本题考查实数的混合运算．熟记特殊角的三角函数值、求绝对值法则，负指数幂的运算法则是解题关键．
15. 解方程组
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．用加减消元法求解即可．
【详解】解：，
，得
，
∴，
把代入①，得
，
∴．
∴．
16. 解分式方程：．
【答案】．
【解析】
【分析】根据解分式方程的一般步骤解方程即可．
【详解】解：去分母，得．
去括号，得．
解得：．
经检验是原方程的解．
所以原方程的解是．
【点睛】此题考查的是解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决此题的关键．
17. 如图，已知，请用尺规作图法在线段上找一点，使．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图—作一个角等于已知角、相似三角形的判定与性质，以为圆心，任意长度为半径画弧交于，交于，以为圆心，长度为半径画弧交于，交于，以为圆心，长度为半径画弧交原弧于，作射线交于，点即为所求，证明，得出，即可得解．
【详解】解：如图，点即为所求，
，
由作图可得，
，
，
，
．
18. 如图，、、、在一条直线上，，，求证：
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形全等的判定与性质，由平行线的性质可得，证明得出，即可推出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键．
【详解】证明：，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，
．
19. 盲盒近些年来比较火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了年轻人的青睐，某商场计划采购进价为15元的潮玩盲盒和进价为32元的高品质精品盲盒，若采购这两种盲盒共300盒，共用去6200元，这两种盲盒各采购了多少盒？
【答案】采购了盒潮玩盲盒，采购了盒精品盲盒
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设采购了盒潮玩盲盒，则采购了盒精品盲盒，根据“采购这两种盲盒共300盒，共用去6200元”列出一元一次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键．
【详解】解：设采购了盒潮玩盲盒，则采购了盒精品盲盒，
由题意得：，
解得：，
（盒），
采购了盒潮玩盲盒，则采购了盒精品盲盒．
20. 某校在课后服务时间开设了丰富多彩的社团活动，每位同学只能选择一个社团参加．小军和小阳对其中的四个社团（A．航模社团、B．智能制造、C．篮球社、D．“生物圈”创新实验室）难以取舍，于是他们每人决定随机选择一个社团．
（1）小军选择“智能制造”社团的概率是______；
（2）已知A、C为室外社团，B、D为室内社团，请利用画树状图或列表的方法，求小军和小阳都选择室外社团的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查概率公式：
（1）利用概率公式计算即可；
（2）利用画树状图求概率即可．
【小问1详解】
解：由题意可知：小军选择“智能制造”社团的概率是．
故答案为：
【小问2详解】
解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小军和小阳都选择室外社团的结果有4种，
所以小军和小阳都选择室外社团的概率为．
21. 图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM＝60°．
（1）求点M到地面的距离；
（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：1.73，结果精确到0.01米）
【答案】（1）3.9米；（2）货车能安全通过．
【解析】
【分析】(1)过M作MN⊥AB于N，交BA的延长线于N，在Rt△OMN中，求出ON的长，即可求得BN的长，即可求得点M到地面的距离；
(2)左边根据要求留0.65米的安全距离，即取CE=0.65，车宽EH=2.55，计算高GH的长即可，与3.5作比较，可得结论．
【详解】(1)如图，过M作MN⊥AB于N，交BA的延长线于N，
在Rt△OMN中，∠NOM＝60°，OM＝1.2，∴∠M＝30°，
∴ONOM＝0.6，
∴NB＝ON+OB＝3.3+0.6＝3.9，
即点M到地面的距离是3.9米；
(2)取CE＝0.65，EH＝2.55，∴HB＝3.9﹣2.55﹣0.65＝0.7，
过H作GH⊥BC，交OM于G，过O作OP⊥GH于P，
∵∠GOP＝30°，∴tan30°，
∴GPOP0.404，
∴GH＝3.3+0.404＝3.704≈3.70＞3.5，
∴货车能安全通过．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，正确添加辅助线，构建直角三角形是解题的关键.
22. 为切实做好校内“午餐托管”工作，某学校食堂为参加“午餐托管”的学生提供了四种价格的午餐供其选择，四种价格分别是：元；：元；：元 ；：元． 为了解学生对四种午餐的购买情况，学校随机抽样调查了一部分学生某天四种午餐的购买情况，依统计数据给制成了如下两幅尚不完整的统计图、根据图中信息解决下列问题：
（1）求被抽查学生人数及的值，并补全条形统计图；
（2）被抽查学生购买午餐费中位数为 元；
（3）若该校参加“午餐托管”的学生有1200人，请估计购买10元午餐的学生有多少人？
【答案】（1），，图见解析
（2）
（3）该校参加“午餐托管”的学生有1200人，估计购买10元午餐的学生有人
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、求中位数、由样本估计总体．
（1）由元的人数和所占的比例计算即可得出被抽查的学生人数，求出的值即可得出的值，计算出元的人数，即可补全条形统计图；
（2）根据中位数的定义即可得出答案；
（3）用乘以购买10元午餐的学生人数所占的比例即可得出答案．
【小问1详解】
解：被抽查的学生人数为：（人），
，
，
元的人数有：（人），
补全统计图如图所示：
；
【小问2详解】
解：共有个数，中位数是第、个数的平均数，
中位数是；
【小问3详解】
解：由题意得：（人），
该校参加“午餐托管”的学生有1200人，估计购买10元午餐的学生有人．
23. 绵州大剧院举行专场音乐会，成人票每张元，学生票每张元，暑假期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，影剧院制定了两种优惠方案，方案：购买一张成人票赠送一张学生票；方案：按总价的付款，某校有名老师与若干名不少于人学生听音乐会．
（1）设学生人数为人，付款总金额为元，分别建立两种优惠方案中与函数关系式；
（2）请计算并确定出最节省费用的购票方案．
【答案】（1）；
（2）当购买张票时，两种优惠方案付款一样多，时，，优惠方案1付款较少；当时，，优惠方案2付款较少
【解析】
【分析】（1）首先根据优惠方案：付款总金额购买成人票金额除去人后的学生票金额；
优惠方案：付款总金额购买成人票金额购买学生票金额打折率，列出关于的函数关系式，
（2）根据（1）的函数关系式求出当两种方案付款总金额相等时，购买的票数．再就三种情况讨论．
【小问1详解】
按优惠方案可得
，
按优惠方案可得
；
【小问2详解】
因为，
当时，得，解得，
当购买张票时，两种优惠方案付款一样多．
当时，得，解得，
时，，优惠方案付款较少．
当时，得，解得，
当时，，优惠方案付款较少．
【点睛】本题根据实际问题考查了一次函数的运用．解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，进而计算出临界点的取值，再进一步讨论．
24. 如图，是的外接圆，是的直径，点D为弧的中点，的切线交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）连接交于P，若，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，用垂径定理的推论和切线性质定理证明；
（2）设与交点为F，连接，根据的余弦值和勾股定理求出，的长，证明，得到，根据三角形中位线定理求出的长，得到的长，用勾股定理求出的长，最后用的余弦值求出的长．
【小问1详解】
解：如下图所示，连接，
∵点D是弧中点，
∴，
∵是切线，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：设与交点为F，连接，则，
∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，切线性质定理，平行线的判定，圆周角定理推论，三角形中位线定理，勾股定理，锐角三角函数，熟练运用上述性质和判定定理解答．
25. 某农户用喷枪将斜坡上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是抛物线．经测量，P处的喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点与水平线的距离为．建立如图所示的直角坐标系，并设抛物线的解析式为，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距水平线的高度．

（1）求抛物线的表达式．
（2）若斜坡上有一棵高的树EC，它与喷水头的水平距离为，，请判断从P处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶，并说明理由．
【答案】（1）．
（2）不能，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据抛物线解析式为，为抛物线的顶点，得到抛物线顶点式，由是抛物线与轴交点，将点代入解析式，求解出待定系数即可；
（2）连接，过点作，根据题意点、、点横坐标5，得，由，即可求出，从而得到，然后另代入（1）中求解出的解析式中，得到，比较与即可．
【小问1详解】
过顶点坐标，
抛物线解析式为：，
又抛物线过点，
将点代入解析式，
，
解得：，
抛物线解析式为：；
【小问2详解】
如图，过点作，由题意得点、、点横坐标，即，

，
，
，
，
，
当时，，
，
P处喷出的水柱不能越过这棵树的树顶．
【点睛】本题考查了二次函数的应用喷水问题，解直角三角形斜坡问题，熟练掌握二次函数待定系数法求解析式、读懂题意、把实际问题转化为数学问题和熟记二次函数的顶点式是解题的关键．
26. （1）感知：如图①，点、分别是的一组对边、的中点，点是直线上一动点连接、，若，则 ；
（2）探究：如图②，中，点为的中点，，求面积的最大值；
（3）应用：工人师傅想要在板材上制作如图③所示的四边形部件、为对角线，要求裁出的板材满足；，，，且要求四边形的面积最大．请你帮工人师傅计算出四边形面积的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3）四边形的面积最大值为
【解析】
【分析】（1）作于，由得出，证明四边形为平行四边形，，从而得出，再由，即可得解；
（2）作的外接圆，连接、、，作于，连接，则，由圆周角定理得出，求出，解直角三角形得出，由图形可得：当点、、在同一直线上时，最大，且，求出的最大值，结合得出此时的面积也为最大值，即可得解；
（3）延长至，使得，连接，证明四边形为平行四边形，，，由平行线的性质得出，从而得出，推出当的面积最大时，四边形的面积最大，作的外接圆，当点与优弧的中点重合时，的面积最大，连接、，连接并延长交于，则，由圆周角定理得出，证明为等腰直角三角形，求出，即可得出的面积最大值，从而得解．
【详解】解：（1）如图，作于，
，
，
，
点、分别是的一组对边、的中点，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
，
；
（2）点为的中点，，
，
如图，作的外接圆，连接、、，作于，连接，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
由图形可得：当点、、在同一直线上时，最大，且，此时，
，
当最大，面积的最大，最大值为；
（3）如图，延长至，使得，连接，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
当的面积最大时，四边形的面积最大，
作的外接圆，当点与优弧的中点重合时，的面积最大，连接、，连接并延长交于，则，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
面积最大值为，
四边形的面积最大值为．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．