03，山东省淄博市周村区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份03，山东省淄博市周村区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1. 要使二次根式有意义，x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴
解得：，
故选：D．
2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
3. 下列各式中，计算结果正确的是（ ）试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可得到答案．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、原式计算错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，正确对每个选项中的二次根式化简是解题的关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加减，二次根式的除法，以及二次根式的性质，根据二次根式的加减，二次根式的除法，以及二次根式的性质逐项分析即可．
【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，故不正确；
B．，故不正确；
C．，正确；
D．，故不正确；
故选C．
5. 若x为实数，在“□x”的“□中添上一种运算符号（在“，，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的运算，分母有理化，依据题意对每个选项进行逐一判断是解题的关键．依据题意对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：当时，“□”中添上“−”，
则，其运算的结果为有理数，
∴A选项不符合题意；
当时，“□”中添上“−”，
则，其运算的结果为有理数，
∴B选项不符合题意；
当时，“□”中添上“+”，
则，其运算的结果为有理数，
∴C选项不符合题意，
当时，“□”中添上“+”，
则，其运算的结果为无理数，
当时，“□”中添上“−”，
则，其运算的结果为无理数，
当时，“□”中添上“×”，
则，其运算的结果为无理数，
当时，“□”中添上“÷”，
则，其运算的结果为无理数，
∴D选项符合题意；
故选：D．
6. 方程解为（ ）
A. ，B. ，C. ，D.
【答案】B
【解析】
【分析】先移项，然后利用提公因式法进行求解方程即可．
【详解】解：，
，
，
，
解得：，，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程—因式分解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
7. 若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查根的判别式．分和，两种情况进行讨论求解，即可．掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键．
【详解】解：当时，方程化为，得到，满足题意；
当时，方程为一元二次方程，则：，解得：；
综上：；
故选A．
8. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据配方法的方法可以对题目中的方程配方，从而可以解答本题．
【详解】解：4x2-2x-1=0，
x2-x=，
x2-x+（）2=+（）2，
（x-）2=．
故选：D．
【点睛】本题考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是明确配方法，会用配方法对方程进行变形．
9. 已知m，n是方程的两个根，则的值是（ ）
A. 12B. 10C. 8D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，根据解的定义及根与系数的关系得到，，，再代入计算即可．
【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根，
∴，，，
∴，
∴
；
故选：C．
10. 已知，，若，则下列等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先推出， ，进而得到a、b相当于是关于x的一元二次方程的两个实数根，由根与系数的关系即可得到．
【详解】解：∵，，
∴， ，
∴a、b相当于是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
二、填空题：请将最终结果填入题中的横线上（每小题4分，共20分）
11. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是_____.．
【答案】1
【解析】
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴∆=0，
∴4﹣4m=0，
∴m=1，
故答案为1．
12. 对于任意两个不相等的实数，定义一种新运算“”如下：，如：．那么________．
【答案】
【解析】
【分析】根据新定义，将，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案：．
【点睛】本题考查实数的计算，解题的关键是将，正确代入再化简．
13. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为_____．
【答案】20%
【解析】
【分析】解答此题利用的数量关系是：商品原来价格×（1-每次降价的百分率）2=现在价格，设出未知数，列方程解答即可．
【详解】设这种商品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得：
125(1−x)2=80
解得：x1=0.2=20%，x2=1.8(不合题意，舍去)
故答案为20%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意列出关系式是解题的关键．
14. 已知α，β是方程的两实根，则的值为______________．
【答案】30
【解析】
【详解】解：∵α为方程x2-2x-4=0的实数根，
∴α2-2α-4=0，即α2=2α+4，
∴α3+8β+6=α（2α+4）+8β+6=2α2+4α+8β+6=8α+8β+14，
∵α，β为方程x2-2x-4=0的两实根，
∴α+β=2，
∴α3+8β+6=8×2+14=30．
故答案为30．
15. 在《代数学》中记载了求方程正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解x的值为．小明尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的正方形，已知图2中阴影部分的面积和为56，则方程的正数解x的值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意并数形结合是解决问题的关键，根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积等于阴影部分的面积加四个小正方形的面积，从而可求得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可求解．
【详解】解：如图2所示：
先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，
则该方程的正数解为．
故答案为：4
三、解答题．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键；
（1）根据二次根式的乘除法计算即可；
（2）根据二次根式的化简，二次根式的乘法计算即可；
【小问1详解】
；
【小问2详解】
；
17. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）将方程进行移项，配方，进行计算即可得；
（2）将方程左边进行配方，开方计算即可得．
【小问1详解】
解：
，；
【小问2详解】
解：
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法．
18. 已知，求下列各式的值．
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）10．
【解析】
【分析】（1）先代入分别求出x+y，x﹣y的值，根据平方差公式分解因式，代入求出即可；
（2）先代入分别求出x+y，xy的值，根据完全平方公式代入求出即可；
【详解】解：（1）∵，，
∴，，
∴；
（2）∵，，
∴，，
∴．
【点睛】此题考查了平方差公式及完全平方公式的变形计算，二次根式的混合运算，正确掌握平方差公式及完全平方公式是解题的关键
19. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若，是一元二次方程的两个根，且，求m的值．
【答案】（1）m＜；（2）﹣1．
【解析】
【分析】（1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系得出，，再结合完全平方公式可得出，代入数据即可得出关于关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值，经验值m=﹣1符合题意，此题得解．
【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴△=4﹣4×1×2m=4﹣8m＞0，
解得：m＜，
∴m的取值范围为m＜．
（2）∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴=4﹣4m=8，
解得：m=﹣1．
当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0，
∴m的值为﹣1．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=，x1•x2=．
20. 要想学好数学，需要不断反思，举一反三，才能触类旁通．
（1）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，求的面积；
（2）思考（1）的解题过程，解决下面的问题：若一个三角形的三条边的长分别为，，（a，b均为正数），求此三角形的面积（用含a，b的代数式表示）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理，三角形的面积计算，解题的关键在于学会利用分割法求三角形面积；
（1）根据图形可知，的面积可用边长为3的正方形面积减去三个直角三角形的面积，据此可计算出答案；
（2）设每个单位长方形的长为b，宽为a，利用勾股定理确定三角形的三条边长，再用(1)的方法求出三角形面积即可得出答案；
【小问1详解】
；
【小问2详解】
构造如图所示的矩形网格，设每个小矩形的长、宽分别为a，b，则，，，
∵的面积等于最大的矩形面积减去三个直角三角形面积，
∴；
21. 实数与满足．
（1）写出与的取值范围；
（2）已知是有理数．
①当是正整数时，求的值；
②当是整数时，将符合条件的的值从大到小排列，请直接写出排在第3个位置和第11个位置的数．
【答案】（1）
（2）①或②
【解析】
【分析】（1）由二次根式有意义的条件解题即可；
（2）①把正整数的值一次代入，将是有理数的数值留下即可；②要使是有理数，则为的整数倍，即可以得到知第3个数，第11个数，代入求出的值．
小问1详解】
解：由题可知：
解得：;
【小问2详解】
①∵是正整数时，
∴可以取，
这时b的对应值为：，
又∵是有理数，
∴或；
②∵是有理数，
∴的整数倍，
当是正整数时，则，
由①可知第3个数，第11个数，
即，
解得：．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件和二次根式的乘法，掌握二次根式的有意义条件是解题的关键．
22. 小李大学毕业后积极自主创业，在网上创办了一个微店，销售一款节能灯，该灯成本是40元/盏．通过调研发现，若按50元/盏销售，一个月可售500盏；若销售单价每涨1元，月销售量就减少10盏．
（1）写出月销售量m（盏）与销售单价x（元/盏）之间的函数关系式；
（2）若想让节能灯的月销售利润达到8000元，且尽快减少库存，则节能灯销售单价应定为多少元？
（3）在数学问题解决中，借助“配方”的方法可以求某些代数式的最大值，例如：
．
∵，
∴，
∴当时，的最大值为，
即代数式的最大值为，此时．
请利用题中的条件，结合上述代数式的“配方”的方法，求出这种节能灯的销售单价定为多少元时，月销售利润能获得最大值？最大利润是多少元？
【答案】（1）
（2）60元 （3）销售单价定为70元时，月销售能获得最大利润9000元
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程和配方法的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
（1）根据销售单价每涨1元，月销售量就减少10盏，列式即可；
（2）根据节能灯的月销售利润达到8000元，列出方程解答即可；
（3）写出月销售利润关系式：，仿照题目中的配方法即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意得：；
【小问2详解】
解：根据题意得：，
解得：或（舍），
∴节能灯销售单价应定为60元．
【小问3详解】
解：月销售利润：
，
∴，
∴
∴当时，的最大值为9000．
∴销售单价定为70元时，月销售能获得最大利润9000元．
23. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，连接CD．以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点E，连接CE．
（1）求∠DCE的度数．
（2）设BC=a，AC=b．
①线段BE的长是关于x的方程的一个根吗？说明理由．
②若D为AE的中点，求的值．
【答案】（1）45° （2）①线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2=0的一个根，详见解析；②
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得出答案；
（2）①直接利用勾股定理得出AB的长，再利用配方法解方程得出答案；②直接利用勾股定理得出等式求出答案．
【小问1详解】
解：∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC，
∵AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACE﹣∠DCE=90°，
又∵在△DCE中，∠BDC+∠AEC+∠DCE=180°，
∴90°+2∠DCE=180°，
∴∠DCE=45°．
【小问2详解】
解：①线段BE的长是关于x的方程的一个根．理由如下：
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴
解得，
∴线段BE的长是关于x的方程的一个根；
②∵D为AE的中点，
∴，
由勾股定理得： ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形性质，勾股定理，解一元二次方程，熟知相关知识是解题的关键．