15，重庆市第十八中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

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考试说明：1．考试时间：120分钟2．试题总分：150分3．试卷页数：4页
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
1. 我们生活的周边有形色各异的交通标识，交通标识中，属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义即可求解，熟练掌握：“如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”是解题的关键．
【详解】解：属于轴对称图形的是选项A，
故选A．
2. 已知代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）．
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件等知识点，掌握二次根式有意义的条件、分式有意义的条件成为解题的关键．
根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列不等式组求解即可．
【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴，解得：且．
故选D．
3. 以下不能构成直角三角形的是（ ）
A. ，，B.
C. D. 试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形内角和定理等知识．根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、∵，故能构成直角三角形；
B、∵，
∴，故能构成直角三角形；
C、∵，
∴，故能构成直角三角形；
D、设，则，
∵，
∴，故不能构成直角三角形．
故选：D．
4. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论不正确的是（ ）
A. 当时，它是矩形
B. 当时，它是矩形
C. 当平分时，它是菱形
D. 当且时，是正方形
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定等知识点，理解和掌握相关判定定理成为解题的关键．
根据已知及各个四边形的判定逐项判定即可．
【详解】解：A、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即该选项正确；
B、根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形，即该选项错误；
C、根据对角线平分一组对角的的平行四边形是菱形，即该选项正确；
D、根据对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，即该选项正确．
故选B．
5. 估计的值在哪两个数之间（ ）
A. 4与5B. 5与6C. 6与7D. 7与8
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的估算，掌握利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算是解题的关键．
先估算的范围，然后再确定的范围即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选C．
6. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】题主要考查了一次函数图象与系数之间的关系，先根据函数的图象得到，，是解决问题的关键．
【详解】解：∵函数的图象经过第一、二、三象限，
∴，，则，
∴函数的图象经过经过第一、二、四象限，
∴只有选项C符合题意，故C正确．
故选：C．
7. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，．若点E，F分别为，的中点，连接，，，则四边形的周长为（ ）
A. B. C. 40D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理，中位线的性质．证明是菱形，可得是的中位线，根据勾股定理求得，根据菱形的性质求得周长．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴是菱形，
∴；
∵点分别为的中点，
∴是的中位线，，
∴，
由（1）可知，四边形是菱形，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴菱形的周长．
故选：B．
8. 观察下列一组图形中的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，……，按此规律第200个图中共有点的个数是（ ）
A. 60301B. 60300C. 40000D. 40401
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了图形中数字的规律，根据图形、归纳规律是解题的关键．
先根据图形归纳规律，然后再运用规律即可解答．
【详解】解：根据题意可得：
第1个图形中的点数为，
第2个图形中的点数为，
第3个图形中的点数为，
第n个图形中的点数为，
故当时，有．
故选A．
9. 在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲车先从A地沿这条公路匀速驶向C地，1小时后乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车与C地的距离（单位：），（单位：）与甲车行驶时间t（单位：h）之间的函数关系如图．其中正确的选项是（ ）
①甲车的行驶速度为；
②乙车行驶速度为；
③求乙车出发小时，两车相遇；
④两车相遇时，甲车距离C地．

A. ①④B. ②③C. ①②③D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程及一次函数应用，能从图像中获取有效信息是解题的关键．
根据“速度=路程÷时间”并结合图像分别求出甲、乙两车的速度即可判定①②；先根据行程问题中的相遇问题列出方程求得相遇时间，进而确定甲车与C地的距离，即可判定③④．
【详解】解：甲车行驶速度是，乙车行驶速度是，即①②正确；
设乙车出发m小时，两车相遇，由题意得：
，解得：．
∴乙车出发小时，两车相遇．故③错误；
∴此时甲车行驶时间为小时，
∴甲车距离C地的距离为：，即④正确；
综上，正确的有①②④．
故选：D．
10. 关于x的多项式：，其中n为正整数，各项系数各不相同且均不为0．当时，，交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“兄弟多项式”，给出下列说法：
①多项式共有6个不同的“兄弟多项式”；
②若多项式，则的所有系数之和为1；
③若多项式，则；
④若多项式，则．
则以上说法正确的个数为（ ）．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查已知字母的值求代数式的值，解题关键在于对x进行赋值，即对其取，得到不同的多项式进行加减运算进而求得结果．
①根据兄弟多项式的含义，对多项式的三项系数进行互换共有6种情况即可判断；②③④取和，分别代入各式中求出代数式的值即可判断．
【详解】解：①多项式有三项系数，互相交换共有6种不同结果，所以共有6个不同的“兄弟多项式”，故①正确，符合题意；
②若多项式，且，则取时，，即的所有系数之和为，当n为偶数时，系数之和为1，当n为奇数时，系数之和为，故②错误；
③若多项式，，取时，，取时，，两式相加得，解得，故③正确，符合题意；
④若多项式，，
取时，，取时，，两式相减得，解得，故④错误，符合题意；
综上，正确的有2个．
故选：B．
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）
11. _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算．根据负整数指数幂和零次幂的性质化简即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 如图所示，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，先求得，再根据两直线的交点坐标即可求解，熟练掌握数形结合思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：当时，则，
解得：，
，
关于x的不等式的解集为，
故答案为：．
13. 已知，则的值等于______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的求值，利用分式的基本性质对已知条件进行变形是解题的关键．
由可得，再对进行变形，然后八代入计算即可．
【详解】解：由可得：，
所以．
故答案：．
14. 若点，点，点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
先根据点代入可得，再根据一次函数的增减性即可得．
【详解】点在一次函数的图象上，
，解得：，
一次函数解析式为，
，
随的增大而减小，
又点，点都在一次函数的图象上，且，
．
故答案为：．
15. 把直线向左平移4个单位后，再上平移5个单位得到直线l，则直线l的解析式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图像的几何变换，掌握直线平移变换的规律“对直线而言：上下移动，上加下减；左右移动，左加右减”是解题的关键．
直接根据“左加右减、上加下减”的平移法则解答即可．
【详解】解：由“左加右减、上加下减”的平移法则可知：将直线向左平移4个单位后，再上平移5个单位得到直线l的解析式为：，即．
故答案为：．
16. 如图，在中，AD是的角平分线，，垂足为D，过D作交AB于点E，过D作交AC于点F，连接EF，已知，，则______．

【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了角平分线定义，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质．由是的角平分线，得，根据平行线的性质可求，从而有，延长和相交于点，利用勾股定理结合面积法求得的长，再通过勾股定理即可求出的长．
【详解】解：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
延长和相交于点，

∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得，
∵，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
17. 已知关于x的分式方程的解为正数，关于y的不等式组有解且最多5个整数解，则所有符合条件的整数m之和为______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程、一元一次不等式组的解法等知识点，能够结合解得情况确定m的取值范围是解题的关键．
先解方程及不等式组，再根据不等式组解的情况及该分式方程的解为正数可求解m的取值范围，进而可求解所有满足条件的整数m之和即可．
【详解】解：解分式方程，
去分母得：，解得，
∵方程的解为正数，
∴，即，
∵当时是方程的增根，
，解得，
∴且；
解不等式组，由解得：，
由解得：，
∵此不等式组有解，
∴，
又∵此不等式组最多有5个整数解，
∴，
综上，且，
∴所有符合条件的整数m的值有：0、1，
∴所有符合条件的整数m的和为：．
故答案为：1．
18. 如果一个三位自然数m的各数位上的数字均不相同且均不为0，且满足将m的各个数位中任取两个数位构成一个两位数这样就可以得到六个两位数，这六个两位数叫做m的“海纳数”例如：，则m的“海纳数”是57、75、58、85、78、87，m的所有“海纳数”之和与11的商记为，若，则______；若s和t是两个三位数，它们都有“海纳数”，，（，a、b、c均为整数），若的能被4整除，记，则p的最大值为______．
【答案】 ①. 26 ②. ##
【解析】
【分析】本题主要考查新定义问题、整除的意义、因式分解的应用等知识点，理解新定义成为解题的关键．
由“海纳数”的定义可以即可得到的值；然后再确定、的表达式，由a、b、c的取值范围可以算出的取值，然后得到关于a、b、c的等式，最后再根据a、b、c的取值范围写出满足条件的几组a、b、c的取值，从中选出使p取值最大的组合并计算出的值即可．
【详解】解：，
∵，（，a、b、c均为整数），
∴s的百位数是a，十位数是9，个位数是b；t的百位数是2，十位数是1，个位数是c；
∴，，
∵能被4整除，
∴能被4整除，
∴，即，
∵，，
∴，
，
∴或或或或或或或或或或或．
∴经比较p的最大值为．
故答案为：26，．
三、解答题（本大题8个小题，19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查实数计算，绝对值化简，二次根式计算，完全平方公式，平方差公式，整式计算等．
（1）先将每项整理后从左到右计算即可；
（2）先将每项计算后合并同类项即可．
【小问1详解】
解：原式，
；
小问2详解】
解：原式，
．
20. 先化简：，再从不等式组的解集中选一个合适的整数x的值代入求值．
【答案】；当时，原式=4
【解析】
【分析】先求出不等式组的解集，得到整数解，再对原代数式进行化简，确定合适的x的值代入求解即可．
【详解】解：
由①得：，
由②得：，
∴该不等式组的解集为：，
∴整数解为，0，1，2，
=
=
=
=；
∵，
∴
∴可取，
∴原式=，
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和分式的化简求值，涉及到了分式的加减乘除混合运算，解题关键是掌握解不等式的方法和分式的运算法则等知识．
21. 如图，在正方形中，对角线相交于点O，的平分线交于点E，连接．

（1）请用尺规完成基本作图：作的平分线交于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）；
（2）由（1）中的作图，小明给出了证明四边形是菱形的步骤，请根据小明的思路完成下面的填空．
证明：∵四边形是正方形，
∴，，．
由．
∴ ① ．
∵AE平分，CF平分，
∴，．
∴ ② ．
∴．
又∵，．
∴ ③ ．
∴．
∴四边形是 ④ ．
又∵ ⑤ ．
∴四边形是菱形．
【答案】（1）见解析 （2），，，平行四边形，
【解析】
【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可解答；
（2）根据正方形的性质可得，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到．则可判断．接着证明得到．则可判断四边形是平行四边形．然后利用可判断四边形是菱形．
【小问1详解】
解：如图：为所求．
【小问2详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，，．
由．
∴．
∵AE平分，CF平分，
∴，．
∴．
∴．
又∵，．
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
又∵．
∴四边形是菱形．
故答案为：，，，平行四边形，．
【点睛】本题主要考查了尺规作图、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质和菱形的判定等知识点，灵活运用相关判定定理是解答本题的关键．
22. 2024年3月28日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校八、九年级进行了校园安全知识竞赛，并从八、九年级各随机抽取了20名学生的竞赛成绩，进行了整理和分析（竞赛成绩用x表示，总分100分，80分及以上为优秀，共分为四个等级：A：，B：，C：，D：），部分信息如下：
八年级20名学生的竞赛成绩为：30，40，50，55，60，60，65，70，70，70，70，72，75，78，85，87，90，93，100，100．
九年级20名学生的竞赛成绩中B等级包含的所有数据为：
80，80，80，80，82．
根据以上信息，解答下列问题：
八、九年级抽取学生竞赛成绩统计表

（1）请填空：______，______，______；
（2）根据上述数据，你认为该校八、九年级的校园安全知识竞赛哪个年级的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校八、九年级参加本次竞赛活动的共有1000人，请估计该校八、九两个年级共有多少人成绩为优秀．
【答案】（1）70，81，55；
（2）九年级成绩相对更好，理由见解析
（3）425人
【解析】
【分析】本题主要考查了众数、中位数，用样本估计总体等知识点，熟练掌握众数、中位数的意义和求法是解题的关键．
(1)根据众数、中位数和优秀率的定义进行计算即可；
(2)可以从众数、中位数以及优秀率三个方面进行判断即可解答；
(3)根据样本估计总体的方法进行计算即可．
【小问1详解】
解：八年级抽取的学生竞赛成绩出现最多的是70分，故众数；
九年级20名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为80、81，
故中位数为，
九年级的优秀率为．
故答案为：70，81，55．
【小问2详解】
解：九年级成绩相对更好，理由如下：
九年级测试成绩的众数、中位数和优秀率大于八年级．
【小问3详解】
解： (人)，
答：估计该校八、九两个年级大约共有425人成绩为优秀．
23. 如图，在中，，，D为上一点，且．动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发至点C（点P不与两点重合），设点P运动的时间为x秒，的面积为y．
（1）直接写出y关于x的函数关系式，并注明x的取值范围；
（2）请在直角坐标系中画出y的函数图象，并写出该函数的一条性质；
（3）若与y的图像没有交点，请直接写出t的取值范围．
【答案】（1）
（2）作图见解析，y随x的增大而减小.
（3）当或时，与y的图像没有交点．
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、求函数解析式、画函数图象等知识点，求出函数解析式以及掌握数形结合思想成为解题的关键．
（1）如图：过P作，根据直角三角形的性质并结合题意可得，即可然后根据三角形的面积公式即可解答；
（2）先画出函数图象，再结合图象写出一条性质即可；
（3）结合函数图象，先求出临界点的t值，进而确定t的取值范围．
【小问1详解】
解：如图：过P作，
∵在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
∴的面积，
即．
【小问2详解】
解：如图：
性质：y随x的增大而减小.
【小问3详解】
解：如图：
当过和是有无交点的临界点，
当过时，有，即；
当过时，有，即．
结合图形可知：当或时，与y的图象没有交点．
24. 观音桥的某水果店花费6000元购进淡雪草莓，另花费1000元购进牛奶草莓，淡雪草莓的进价是牛奶草莓的进价的2倍，淡雪草莓的数量比牛奶草莓的数量多100千克．
（1）求牛奶草莓每千克的进价；
（2）该水果店第一周以40元/千克的价格售出牛奶草莓3m千克，第二周每千克售价降低了0.5m元，售出20千克，第三周售价在第一周的基础上打七折，购进的牛奶草莓剩余部分全部售罄、若购进的牛奶草莓总利润不低于796元，求m的最小值．
【答案】（1）牛奶草莓每千克的进价为20元
（2）m的最小值为6
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点 ，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
（1）设牛奶草莓每千克的进价为x元，则淡雪草莓的进价的进价为，再根据淡雪草莓的数量比牛奶草莓的数量多千克列分式方程求解即可；
（2）根据购进的红灯樱桃总利润不低于元列一元一次不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设牛奶草莓每千克的进价为x元，则淡雪草莓的进价的进价为，
根据题意，得，解得：，
经检验，是原分式方程的根，且符合题意．
答：牛奶草莓每千克的进价为20元．
【小问2详解】
解：购进牛奶草莓的质量为：(千克)，
根据题意，得，
解得，
答：m的最小值为6．
25. 如图，经过点的直线与y轴交于点B，与直线交于点C，点C的横坐标为，点P是直线上的一个动点，过点P作y轴的平行线，分别交直线和x轴于点D，E，设动点P的横坐标为t．
（1）求直线所对应的函数表达式；
（2）当时，求t的值，并求出点P的坐标．
【答案】（1）
（2）或；或
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用、平行线的性质、绝对值方程等知识点，在掌握数形结合思想成为解题的关键．
（1）先求出C的坐标，然后用待定系数法求出的解析式即可；
（2）由题意可得，，则，解绝对值方程可得t，进而确定点P的坐标．
【小问1详解】
解：设直线AB的解析式为，
∵C的横坐标为，且C在上，
∴，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：．
【小问2详解】
解：∵动点P的横坐标为t，
∴，，
∵，
∴，
∴，解得或，
∴点P的坐标为或．
26. 在中，，E为平面内一点，连接．
（1）如图1，若点E在线段上，，，，求线段的长；
（2）如图2，若点E在内部，，，求证：；
（3）如图3，若点E在内部，连接BE，，，请直接写出的最小值．
【答案】（1）5 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）如图1，过作的延长线于，则，，设，则，由勾股定理得，，可求，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可；
（2）如图2，过作交的延长线于，在上截取，使，由勾股定理得，，证明，由全等的性质，等边对等角，三角形内角和定理等可求，证明，则，根据，可得；
（3）如图3，将绕着点顺时针旋转到，连接，则，由勾股定理得，，证明，则，由，可知当四点共线时，最小，即最小，为，如图3，过作的延长线于，则，，，，由勾股定理得，，，可求，则，由勾股定理得，，计算求解，然后作答即可．
【小问1详解】
解：如图1，过作的延长线于，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，
解得，，
∴，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴的长为5；
【小问2详解】
证明：如图2，过作交的延长线于，在上截取，使，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：如图3，将绕着点顺时针旋转到，连接，
图3
∴，，
∴，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当四点共线时，最小，即最小，为，
如图3，过作的延长线于，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理得，，，
解得，，
∴，
由勾股定理得，，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质是解题的关键．年级
平均数
众数
中位数
优秀率
八年级
71
a
70
30%
九年级
71
80
b