21，广西壮族自治区南宁市青秀区第十四中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

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注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上．
2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效．
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式．根据被开方数中不含有开方不尽的数或式，化简判断即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
2. 一个直角三角形的两条直角边分别是和，斜边长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用．解题的关键掌握勾股定理并利用勾股定理直接解答即可．
【详解】解：∵一个直角三角形的两条直角边分别是和，
∴斜边长是：．
故选：B．试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。3. 如图，已知四边形是平行四边形，是它的两条对角线，下列条件中能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定．熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
根据矩形的判定对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：当时，四边形是矩形，故A符合要求；
，不能判定平行四边形为矩形，故B不符合要求；
，不能判定平行四边形为矩形，故C不符合要求；
，不能判定平行四边形为矩形，故D不符合要求；
故选：A．
4. 若一次函数的函数值随的增大而增大，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数图象的增减性来确定（k-2）的符号，从而求得k的取值范围．
【详解】解：∵在一次函数y=（k-2）x+1中，y随x的增大而增大，
∴k-2＞0，
∴k＞2，
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
5. 在学校开展的劳动实践活动中，生物兴趣小组7个同学采摘到西红柿的质量（单位：）分别是：5，9，5，6，4，5，7，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 6，6B. 4，6C. 5，6D. 5，5
【答案】D
【解析】
【分析】将这7个数从小到大排列，第4个数就是这组数的中位数．出现次数最多的数即是众数．
【详解】将这7个数从小到大排列：4、5、5、5、6、7、9，
第4个数为5，
则这组数的中位数为：5，
出现次数最多的数是5，
故这组数的众数是5，
故选：D．
【点睛】本题考查了中位数、众数的定义，充分理解中位数、众数的定义是解答本题的基础．
6. 如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）， 直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解是解题的关键．
【详解】解：∵直线与交于点，
∴关于的二元一次方程组的解为，
故选：A．
7. 顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形一定是（ ）
A. 矩形B. 菱形C. 平行四边形D. 正方形
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的的判定．如图，根据三角形的中位线得出，，进而得证平行四边形．
【详解】解：如图，四边形中，、、、分别是、、、的中点，
，，
同理，，
，，
四边形是平行四边形，
故选：C．
8. 若一次函数的图象向下平移3个单位后经过点，则b的值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】设一次函数的图象向下平移3个单位后的解析式为，然后把点代入求解即可．
【详解】解：设一次函数的图象向下平移3个单位后的解析式为，则把点代入得：
，解得：；
故选C．
【点睛】本题主要考查一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象的平移是解题的关键．
9. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ）
A. 3B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．连接，过作轴于，由矩形的性质得，再由点的坐标得，，然后由勾股定理求出的长，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，过作轴于，
四边形是矩形，
，
点的坐标是，
，，
，
，
故选：C
10. “五一节”期间，数学老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象．他们出发2.2小时时，离目的地还有（ ）千米．
A. 12B. 24C. 146D. 164
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式和函数值的求解，要注意求的是离目的地的距离，这也是本题容易出错的地方．
设段图象的函数表达式为，利用待定系数法求一次函数解析式求出函数表达式，再把代入进行计算求出行驶的路程，再用全程减去行驶的路程计算即可得解．
【详解】解：设段图象的函数表达式为，
函数图象经过点，，
，
解得，
，
当时，，
千米．
故选：B．
11. 如图，在菱形中，，过点D作，交的延长线于点E，则线段的长为（ ）
A. 4B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理，求得的长，继而可求得的长，然后由菱形的面积公式可求得线段的长．
【详解】解：如图，设与的交点为O，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
12. 将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图1所示，动点从点出发，沿路径匀速运动，速度为，点到达终点后停止运动，的面积与点运动的时间（s）的关系如图2所示，根据图象获取了以下的信息：①；②；③点从点运动到点需要s；④矩形纸板裁剪前后周长均为．其中正确信息的个数有（ ）

A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了动点运动问题，函数图象，一元一次方程的应用．理解题意，从图象中获取正确的信息是解题的关键．
由题意和函数图象可知，，，，当点与重合时，，可求；进而可判断①的正误；当点与重合时，，即，可求，进而可判断②的正误；，，，，然后求点从点运动到点的时间，进而可判断③的正误；由矩形纸板裁剪前的周长为，裁剪后的周长为，可判断④的正误．
【详解】解：由题意和函数图象可知，，，，
当点与重合时，，即，
解得，；①正确，故符合要求；
当点与重合时，，即，
解得，，②错误，故不符合要求；
∴，，
∴，，
∵（），
∴点从点运动到点需要s，③正确，故符合要求；
矩形纸板裁剪前的周长为（），
裁剪后的周长为（），④正确，故符合要求；
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 直线与轴交点坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】令x=0,求出y的值即可求解．
【详解】令x=0，=-3
∴直线与轴交点坐标为
故答案为：．
【点睛】此题主要考查一次函数与坐标轴的交点，解题的关键是熟知一次函数的性质．
14. 如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，之间的距离是______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．
根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解作答即可．
【详解】解：由题意知，是直角三角形，是斜边上的中线，
∴，
故答案为：5．
15. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下： ，，，，则成绩最稳定的同学是______．（填写甲或乙、丙、丁）
【答案】丙
【解析】
【分析】本题考查了方差与稳定性．熟练掌握方差越小越稳定是解题的关键．
根据方差越小越稳定求解作答即可．
【详解】解：∵，
∴ ，
∴成绩最稳定的同学是丙，
故答案为：丙．
16. 阅读材料：在进行二次根式运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化成有理数，这就是分母有理化．例如：，，根据材料化简： ______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了分母有理化．熟练掌握分母有理化是解题的关键．
根据分母有理化求解作答即可．
【详解】解：由题意知，，
故答案为：．
17. 如图，点P（﹣4，3）在一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象上，则关于x的不等式kx＋b＜3的解集是________．
【答案】x＞﹣4
【解析】
【分析】利用函数图象，写出函数值小于3所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：当x＞﹣4时，y＜3，即kx＋b＜3，
所以关于x的不等式kx＋b＜3的解集是x＞﹣4.
故答案为x＞﹣4．
【点睛】此题主要考查函数与不等式，解题的关键是根据函数图形的特点求解．
18. 如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、．如果，则阴影部分的面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由勾股定理得出，再根据即可得出的值，即为图中阴影部分的面积．
【详解】解：由勾股定理得，
，
即，
，
，
由图形可知，阴影部分的面积，
阴影部分的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先化简绝对值，计算二次根式的乘方运算，有理数的乘法运算，再合并即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查的是化简绝对值，二次根式的乘方运算，实数的混合运算，掌握实数的混合运算的运算法则是解本题的关键．
20. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握二次根式的混合运算，平方差公式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．
先利用平方差计算二次根式的乘法，利用二次根式的性质进行化简，然后合并同类项即可．
【详解】解：
．
21. 如图，在中，交于点，点在上，．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若求证：四边形是菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）先根据四边形ABCD平行四边形，得出，，再根据，得出，即可证明结论；
（2）先证明，得出，证明四边形ABCD为菱形，得出，即可证明结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形．
【小问2详解】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴四边形ABCD为菱形，
∴，
即，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握菱形和平行四边形的判定方法，是解题的关键．
22. 联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”．某校八年级在三月份开展了以“数学文化”为主题的阅读活动，并随机抽查了部分学生在活动期间阅读相关文章的篇数．
收集数据：15，12，15，13，15，15，12，18，15，18，18，15，13，15，12，15，13，15，18，18；
整理数据：
请你根据提供的信息解答下列问题：
（1）直接写出的值及学生阅读篇数的中位数；
（2）求本次调查学生阅读篇数的平均数；
（3）若该年级有300名学生，请你估计该校八年级学生阅读关于“数学文化”的文章共多少篇？
【答案】（1）m的值为3，中位数为15；
（2）本次所调查学生阅读篇数的平均数是15；
（3）估计该校八年级学生阅读关于“数学文化”的文章共为4500篇．
【解析】
【分析】本题考查了中位数，平均数以及样本估计总体等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）观察题中数据即可得出m值，根据中位数的定义即可求出学生阅读篇数的中位数；
（2）根据平均数的定义即可求出本次调查学生阅读篇数的平均数；
（3）根据样本的平均数即可估计出八年级学生阅读关于“数学文化”的文章篇数．
【小问1详解】
解：由题中数据可知阅读文章13篇的人数m的值为3，
将数据从小到大排序：12，12，12，13，13，13，15，15，15，15，15，15，15，15，15，18，18，18，18，18；
处于中间的两个数为15，15，
∴学生阅读篇数的中位数为15；
【小问2详解】
解：本次所调查学生阅读篇数的平均数为：
，
答：本次所调查学生阅读篇数的平均数是15；
【小问3详解】
解：（篇），
答：估计该校八年级学生阅读关于“数学文化”的文章共为4500篇．
23. 阅读下列一段文字，回答问题．
【材料阅读】平面内两点，，则由勾股定理可得，这两点间的距离．
例如，如图1，，，则．

【直接应用】
（1）已知，求两点间的距离；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，，，与x轴正半轴的夹角是45度．
①求点的坐标；
②试判断的形状．
【答案】（1）
（2）①②是直角三角形
【解析】
【分析】（1）根据题意，把两点坐标代入到公式中计算即可；
（2）①过点作轴于点，根据题意得出，即可得到最终结果；②根据题意，计算出的长，从而得出，即可得到最终结论．
本题主要考查勾股定理及逆定理，两点间的距离等知识，解题的关键是理解题意，准确计算并熟练掌握勾股定理及逆定理．
【小问1详解】
解：∵
【小问2详解】
解：①过点作轴于点，

∵与x轴正半轴的夹角是45度，
，
∵
，
；
②∵，，
，，
，，
，
是直角三角形．
24. 某商场购进两种商品共200件进行销售，其中商品的件数不大于商品的件数，且不少于50件，两种商品的进价、售价如下表：
（1）设商场购进商品的件数为件，购进两种商品全部售出后获得利润为元，求和之间的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）在（1）的条件下，要使商场获得最大利润，该公司应购进多少件？最大利润是多少？
（3）在（1）的条件下，商场决定在销售活动中每售出一件，就从一件的利润中拿出元捐给慈善基金，求该商场售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大利润．
【答案】（1）；
（2）该公司应购进商品件，最大利润是元；
（3）最大利润为元．
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
（1）根据题意和表格中的数据可以写出与之间的函数关系式，然后根据商品的件数不大于商品的件数，且不小于件，可以求得的取值范围；
（2）由函数关系式和的取值范围计算最大值即可；
（3）根据题意可以写出最后获得的利润与之间的函数关系式，再根据一次函数的性质和的取值范围，可以求得最大利润．
【小问1详解】
解：由题意可得，
，
商品的件数不大于商品的件数，且不小于件，
，
解得，
即与之间的函数关系式是；
【小问2详解】
解：与之间的函数关系式是；
随增大而增大，
当时，利润最大，最大利润为：．
答：该公司应购进商品件，最大利润是元；
【小问3详解】
解：设最后获得的利润为元，
由题意可得：，
，
，
随的增大而减小，
，
当时，取得最大值，此时，
答：该商场应购进商品件，方可获得最大利润，最大利润为元．
25. 如图，已知正方形，，点在边上，射线交于点，交射线于点，过点作，交于点．
（1）求证：．
（2）判断的形状，并说明理由．
（3）作的中点，连接，若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）是等腰三角形，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质，利用“”证明即可；
（2）由全等三角形的性质可得，由余角的性质可得，从而得出结论；
（3）由三角形中位线定理可求，再由勾股定理计算即可得出答案．
小问1详解】
证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
；
【小问2详解】
解：是等腰三角形，理由如下：
，
，
，，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
【小问3详解】
解：如图，连接，
，，，
，
，
，
点是的中点，，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理，灵活运用这些性质是解此题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，线段的端点分别为，．
（1）求所在直线的表达式．
（2）如图，点，，点从点沿以每秒2个单位长度的速度运动到点，设运动时间为秒．
①连接，，当的周长最短时，求点的坐标；
②当直线与线段有交点时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，待定系数法求一次函数解析式，轴对称最短路径问题：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①作点Q关于的对称点H，连接，则，则可推出当三点共线时，最小，即此时的周长最小，求出直线解析式为，进而求出点M的坐标即可；②分别求出直线经过点P，经过点Q时的运动时间即可得到答案．
【小问1详解】
解：设所在直线表达式为，
把，代入中得：，
∴，
∴所在直线的表达式为；
【小问2详解】
解：①如图所示，作点Q关于的对称点H，连接，则，
∴，
∴的周长，
∵为定长，
∴当三点共线时，最小，即此时的周长最小，
同理可得直线解析式为，
在中，当时，，
∴点M的坐标为；
②当直线恰好经过点P时，同理可得直线解析式为，
在中，当时，，则此时点M的坐标为，
∴运动时间为，
同理可得当直线恰好经过点Q时，运动时间为2，
∴当直线与线段有交点时，．阅读文章（篇）
12
13
15
18
人数（人）
3
9
5
进价（元/件）
150
130
售价（元/件）
220
195