上海市民办金盟学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（时间90分钟，满分100分）
一、选择题(本大题共6小题，每题2分，满分12分)
1. 下列实数中，无理数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的概念，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【详解】解：A． 是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
B． 是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C．，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D．是无限不循环小数，是无理数，故本选项题意．
故选D．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 负数没有方根；
B. 数轴上的每一个点都与一个有理数相对应；
C. 平方根和立方根都等于它本身的数是0和1；
D. 近似数0.0360有3个有效数字．
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查平方根和立方根，实数与数轴，有效数字，根据相关知识逐项判断即可
【详解】解：A、负数有立方根，故选项A说法错误，不符合题意；
B、数轴上的每一个点都与一个实数相对应，故选项B说法错误，不符合题意；
C、平方根等于它本身的数是0，立方根等于它本身的数是0，1和，故选项C说法错误，不符合题意；
D、近似数0.0360有3个有效数字,说法正确，符合题意．
故选：D
3. 下列运算正确的是（ ）
A. ；B. ；C. ；D. ．
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是算术平方根的含义，先分别求解每个选项中的算术平方根，再判断即可．
【详解】解：没有意义，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，正确，故C符合题意；D不符合题意
故选C
4. 如图，直线和相交于点O，，那么下列选项中与互为邻补角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了邻补角的定义，解题的关键是熟练掌握邻补角的含义“有一条公共边，另一条边互为反向延长线的角是邻补角”；
根据邻补角的定义即可解答．
【详解】解：直线和相交于点O
与互为邻补角的有：，，
故选：A
5. 如图，点E在的延长线上，则下列选项中，能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A、∵，
，不能判断，故该选项不符合题意；
B、，
∴，故该选项符合题意；
C、∵，
∴，
不能判定，故该选项不符合题意；
D、∵，
∴，
不能判定，故该选项不符合题意；
故选：B．
6. 如图，图中所有的同位角共有几对（ ）
A. 4对B. 5对C. 6对D. 8对
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是同位角的辨认，熟悉同位角的特征是解题的关键． 根据同位角的特征，在截线的同侧，在被截线的位置一致，按照“F”形态特征进行选择即可．
【详解】解：图中的同位角有：与；与；与；与；与；与；共6对；
故选C
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分）
7. 10的平方根是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据平方根的定义即可求解.
【详解】10的平方根是
故填：.
【点睛】此题主要考查平方根，解题的关键是熟知平方根的定义.
8. 实数a的立方根是3，那么________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是已知一个数的立方根，求原数，根据立方根的含义可得，从而可得答案．
【详解】解：∵实数a的立方根是3，
∴，
故答案为：
9. 把表示成幂的形式是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分数指数幂的性质，利用分数指数幂的意义解答即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
10. 比较大小：________（填“”或“=”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是实数的大小比较，熟知两个负数相比较，绝对值大的其值反而小是解题的关键．
根据负数比较大小的法则解答即可．
【详解】解： ，
，
故答案为：
11. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分数指数幂的意义，解题的关键是熟练掌握“分数指数幂是根式的另一种表现形式，即n次根号（a的m次幂）可以写成a的次幂，（其中n是大于1的正整数，m是整数，a大于等于0）；”
根据分数指数幂的法则即可求解
【详解】解：，
12. 近似数精确到________位．
【答案】万
【解析】
【分析】本题考查近似数和有效数字，理解近似数精确到在原数中的位置是解本题的关键．
【详解】解：∵，
∴近似数精确到万位，
故答案为：万
13 化简：＝__．
【答案】＃＃
【解析】
【分析】根据先估算的大小，进而根据二次根式的性质化简即可
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查了无理数的大小估算，二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．
14. 如图，如果直线是线段垂直平分线，垂足为O，且，那么________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的定义，由定义可得，．
【详解】解：∵直线是线段的垂直平分线，垂足为O，且，
∴，，
故答案为：
15. 如图，如果直线，那么图中标记的、、、中一定相等的角是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了对顶角相等、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见解析），先根据对顶角相等可得，再根据平行线的性质可得，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，由对顶角相等得：，，，
∵，
，，
，，
故答案为：．
16. 如图，已知直线和直线相交于点O，且夹角为，现将直线绕点O逆时针方向旋转，那么此时直线和直线的夹角为________度．

【答案】20
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，
根据旋转的性质即可求解
【详解】解：依题意可得：
故答案为：20
17. 如图，长方形中，点E、F分别为边上的任意点，、的面积分别为15和25，那么四边形的面积为________．
【答案】40
【解析】
【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是能正确作出辅助线，
连接，可得，再根据面积的和差可得，同理可得，即可解答
详解】解：连接，

，
又，，
同理
，
又，，
，
故答案为：40
18. 已知点A为直线上一点，点B在直线外，且A、B两点之间的距离是，如果点B到直线的距离是x，那么x的取值范围是________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了点到直线的距离， 解题的关键是熟练掌握垂线段最短；
利用垂线段最短即可解答；
【详解】解：当时，，
，
故答案为：
三、计算题（本大题共5题，每题5分，满分25分）
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的加减运算，解题的关键是熟练掌握实数的运算法则，
根据实数的加减运算法则计算即可；
【详解】解：
20. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键，先计算乘法与除法运算，再合并即可．
【详解】解：
；
21. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数混合运算，以及开方，解题的关键是熟练掌握实数的运算法则，
根据开方和实数的运算法则解答即可；
【详解】解：
22. 计算∶
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分数指数幂，负整数指数幂和零指数幂以及算术平方根等计算，先计算分数指数幂，算术平方根，负整数指数幂和零指数幂，再计算除法，最后计算减法即可．
【详解】解：原式
．
23. 利用幂的运算性质计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是分数指数幂的混合运算，掌握分数指数幂的含义以及幂的运算法则是解本题的关键，先把运算式化为分数指数幂的形式，再按照从左至右的顺序计算即可．
【详解】解：
；
四、简答题（本大题共3题，24题6分，25题5分，26题6分，满分17分）
24. 按下列要求画图并填空：
如图，直线和相交于点O，M是上的一点，

（1）过点M画出直线的垂线，交直线于点N；
（2）过点M画出直线的垂线，垂足为点F；
（3）点M到点N之间的距离是线段________的长；
（4）点O到直线的距离是线段________的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查作图-复杂作图，垂线，到直线的距离，点到点的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据垂线的定义画出图形即可；
（2）根据垂线的定义画出图形即可；
（3）根据点到点的距离的定义，判断即可．
（4）根据点到直线的距离的定义，判断即可．
【小问1详解】
解：如图所示：直线即为所求：
【小问2详解】
解：如上图所示，直线即为所求：
【小问3详解】
解：点M到点N之间的距离是线段的长
故答案为：，
【小问4详解】
解：点O到直线的距离是线段的长，
故答案：
25. 如图，点B、C、E在同一直线上，，，请填写理由，说明．
解：因（已知），
所以（ ）．
所以（ ）．
因为（已知），
所以________________（ ），
所以（ ）．
【答案】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；；两直线平行，内错角相等；等量代换
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题干给定的信息逐步填写推理过程与推理依据，熟记平行线的判定与性质是解本题的关键．
【详解】解：因为（已知），
所以（同旁内角互补，两直线平行）．
所以（两直线平行，内错角相等）．
因为（已知），
所以（两直线平行，内错角相等），
所以（等量代换）．
26. 如图，已知，，垂足分别为点D和点F，，请填写理由，说明．
解：因为，（已知），
所以，（ ），
所以（等量代换）．
所以（ ）
所以________________（ ）．
因为（已知），
所以（ ）
所以（ ）．
【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；
【解析】
【分析】本题考查的是垂直的定义，平行线的判定与性质，根据题干信息逐步填写推理过程与推理依据即可．
【详解】解：因为，（已知），
所以，（ 垂直的定义），
所以（等量代换）．
所以（同位角相等，两直线平行）
所以（两直线平行，同旁内角互补）．
因为（已知），
所以（同角的补角相等）
所以（内错角相等，两直线平行）．
五、解答题（本大题共3题，27题6分题，28题6分、29题10分，满分22分）
27. 如图，如图，已知，，，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质，
先利用同旁内角互补证明，再根据内错角相等证明，再根据平行线的性质即可求解
【详解】解：，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
28. 阅读理解题
在六年级时，我们已经学过绝对值的概念，一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．表示数轴上表示x的点A到原点的距离，即，
如图1．
在七年级时，我们进一步学习了绝对值，知道了在数轴上表示实数a和b的两点A、B两点之间的距离，即．如图2
下面让我们一起利用绝对值的几何意义来探究最小值问题．
例如：求代数式的最小值．
解：表示数轴上表示实数x和的两点A、B之间的距离，表示数轴上表示实数x和2的两点A、C之间的距离，那么表示它们的距离之和，即．
当时，即点A在点B的左边时，，如图3：
当时，即点A在点B和点C之间（包括点B、C）时，，如图4；
当时，即点A在点C的右边时，，如图5；
由此可知，当时，有最小值3．
问题：请你模仿上述研究方法：
（1）求当代数式取最小值时，相应的x的取值范围．
（2）求代数式的最小值是________．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴，数轴上两点距离，掌握数轴上两点距离，分区间结合数形结合的方法是解题关键．
（1）由对应的数为，对应的数为，表示数轴上表示实数x的点和表示，的两点之间的距离和，再利用数形结合的方法解题即可；
（2）如图，对应的数为，对应的数为，对应的数为，对应的数为，可得表示数轴上表示实数x的点和表示，，的三点之间的距离和，再利用数形结合的方法解题即可．
【小问1详解】
解：如图，对应的数为，对应的数为，
∵表示数轴上表示实数x的点和表示，的两点之间的距离和，
∴当时，；
当时，如图，
∴，
当时，如图，
∴，
综上：当代数式取最小值时，相应的x的取值范围为：．
【小问2详解】
如图，对应的数为，对应的数为，对应的数为，对应的数为，
∴表示数轴上表示实数x的点和表示，，的三点之间的距离和，
当重合时，即时，
∴，
当时，如图，
，
当时，如图，
∴，
当时，如图，
∴，
当时，如图，
∴，
综上：当时，的最小值为．
29. 探索题：
问题1：如图1，已知，点P夹在和之间，联结和，形如一个“V”字，那么、和之间有怎样的数量关系？请你说明理由．
问题2：在问题1中，如果在点P的右上方增加一个点Q，形如一个“V”字再加半个“V”，如图2，为了表述方便，我们将开口方向朝下的角的度数用x表示，开口方向朝上的角的度数用y表示，，，，，求的值．
问题3：如果在和之间依次增加点的个数，有n个P点和n个Q点，形如n个“V”再加半个“V”，如图3，那么的值是________．
【答案】问题1：，理由见解析；问题2：；问题3：
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，平行线的公理，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和公理
根据平行线的性质和公理即可解答
【详解】解：问题1：
，理由如下：
过点P作，如图所示：
，
，
又，
，
，
；
问题2：过点Q作如图所示：
，，
，
由问题1结论可知：，
，
，
，
；
问题3：
过点作如图所示：
,
同理可得：，
故答案为：